高中数学竞赛试题[]

1、竞赛试卷数学竞赛决赛试题一、选择题 （本大题共6 小题，每小题6 分，共36 分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题表的相应位置）1若集合 M a, b, c 中的元素是ABC 的三边长，则ABC 一定不是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形2设 cos100k ，则 tan 80 =（）A1 k 2B1k 21k 2D kkkC kk 213如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积为（）正视图左视图俯视图A 1B 1C 1D 16324 若 A 、 B 两点分别在圆2

2、2616480和2248440上运动，则x yyxyxyx| AB |的最大值为（）A 13B 19C 32D 385设 x1, x2 是函数 f (x)2008x 定义域内的两个变量，且 x1x2 ，若 a1 ( x1x2 ) ，那么，下2列不等式恒成立的是（）AC| f (a)f (x1 ) | | f ( x2 )f (a) |B f ( x1 ) f ( x2 )f 2 (a)| f (a)f (x1 ) | | f ( x2 )f (a) |D| f ( a)f (x1 ) | | f (x2 )f (a) |6已知函数n(n N *) ，则f (1)f ( 2)f ( 2008)（

3、）f (n) cosf (10)f (21)f (32) f (43)5A1B0C-1D4竞赛试卷二、填空题 （本大题共6 小题，每小题6 分，共 36分请把答案填在答题卡相应题的横线上）7右图的发生器对于任意函数f x ， x D 可制造出一系列的数据，其工作原理如下：若输入数据x0 D ，x0x1则发生器结束工作；若输入数据x0 D 时，则发生输入 x0输出 x1器输出 x1 ，其中 x1fx0，并将 x1 反馈回输入端 . 现x1f (x0 )定义 f x2x1D( 0,50) . 若输入 x0 1x0 D是,那么,否（第 7 题图）当发生器结束工作时, 输出数据的总个数为结束8若点（

4、1,1 ）到直线 x cosy sin2 的距离为 d ，则 d 的最大值是9. 从0 ，1之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25 的概率是 _10函数 yx2x1（ xn,n 1 ，其中 n 为正整数）的值域中共有2008 个整数，则正整数2n .11. 把 1，2，3，100这 100个自然数任意分成 10 组，每组 10 个数， 将每组中最大的数取出来，所得 10个数的和记为S.若S的最大值为 M ，最小值为 N ，则 M N.12 设集合A x x 2x 2， Bx x 2 ，其中 符号 x 表 示不大于x 的最 大整 数，则A B.三、解答题 （本大题共 6 小题，共78 分.

5、 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13（本小题满分12 分）已知向量 AB(1tanx,1tan x) ， AC(sin( x), sin( x) 44（ 1）求证：BAC 为直角；（ 2）若 x, ，求ABC 的边 BC 的长度的取值范围4414（本小题满分12 分）已知函数f ( x)ax 2( a2) x1. 若 a 为整数， 且函数f ( x) 在 ( 2, 1) 内恰有一个零点，求竞赛试卷a 的值 .15（本小题满分12 分）设 A 、B 是函数 ylog 2x 图象上两点,其横坐标分别为a 和a4 ,直线 l : xa2 与函数y log 2 x 的图象交于点 C , 与

6、直线 AB 交于点 D .(1) 求点 D 的坐标；(2) 当 ABC 的面积大于 1 时 , 求实数 a 的取值范围 .16（本小题满分 14 分）D 1如图，在正方体 ABCDA1 B1C1D1 中， E 、 F 分别C1A1B1为棱 AD 、 AB 的中点（ 1）求证： EF 平面 CB1 D1 ；（ 2）求证：平面 CAA C平面 CB D；DCE1 11 1（ 3）如果 AB 1，一个动点从点 F 出发在正方体的AFB表面上依次经过棱 BB1 、 B1C1 、 C1 D1 、 D1 D 、 DA 上的点，最终又回到点F ，指出整个路线长度的最小值并说明理由 .17（本小题满分14 分

7、）已知以点C (t,2)(tR,t0) 为圆心的圆与x 轴交于O、A 两点，与y 轴交于O 、 Bt两点，其中O为坐标原点.（ 1）求证：OAB 的面积为定值；竞赛试卷（ 2）设直线y2x4 与圆 C 交于点 M 、 N ，若 | OM | | ON |，求圆 C 的方程 .18（本小题满分 14 分）对于函数 f (x) ，若 f (x)x ，则称 x 为 f ( x) 的“不动点” ，若 f ( f x ) x ，则称 x 为 f ( x)的“稳定点” . 函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和 B ，即 A x | f xx ，B x | f f xx .（ 1）求证： AB

8、；（ 2）若 f xax2 1 aR, x R ，且 A B，求实数 a 的取值范围；（ 3）若 f ( x) 是 R 上的单调递增函数， x0 是函数的稳定点， 问 x0 是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.竞赛试卷2008 年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题DBACDC二、填空题758 229101003111505121,316三、解答题13（ 1）证明：因为ABAC(1tan x) sin( x)(1 tan x) sin( x)442cos xsin xcos x sin x(sin xcos x)2(sin xcos x)cos xcos x0，

9、4 分所以 ABAC ，即BAC90 5 分所以 ABC 是直角三角形 6 分（2）解： | AC |sin 2 ( x)sin 2 (x)1，44因为 ABC 是直角三角形，且ABAC ，所以|BC|2|AB|2|AC|232 tan2x 9 分又因为 x4, ，0tan 2 x1 ，4所以 3|BC|5所以， BC 长度的取值范围是3,5 12 分14解：（ 1） a0 时，令 f (x)2x10 得 x1，所以 f ( x) 在 (2,1) 内没有零点； 2 分2（ 2） a0 时，由 f (x)ax2(a2) x1,(a 2) 24aa 240 恒成立，知 f (x)ax2(a2)x1

10、必有两个零点5 分若 f ( 2)0 ，解得 a5Z ；若 f (1)0 ，解得 a3Z ，62所以 f (2) f (1)07分又因为函数f ( x) 在 (2,1) 内恰有一个零点，所以 f (2) f (1)0即 (6 a5)(2 a 3)0 10 分解得3a5 ,26竞赛试卷由 a Z ,a1综上所述，所求整数a 的值为115解：（ 1）易知 D 为线段 AB 的中点 , 因 A(a, log 2a ) ， B(a4,log 2(a 4 ) ) ，所以由中点公式得 D(a 2,log2a(a4) )（ 2）连接 AB ，AB 与直线 l : xa2交于点 D，D 点的纵坐标为yD1 (

11、log 2 a log2 ( a4) 2所以 S ABC S ACDS BCD1|CD|(22)22|CD |2 log 2(a2)1log 2 (a4)(log 2 a2(a2) 2= log 24)a(a(a 2) 2得 0a222 ，由 SABC = log 2>1,a(a4)因此 ,实数 a 的取值范围是0a222.16（ 1）证明 : 连结 BD .在正方体 AC1 中，对角线 BD / B1 D1 . 12 分 2 分 4 分 8 分 10 分 12 分又 E 、 F 为棱 AD、 AB的中点，EF/BD.EF / B1D1. 2 分又 B1D1平面 CB1D1 ， EF平面

12、 CB1 D1 ，EF 平面 CBD. 4 分11（ 2）证明 :在正方体 AC1 中， AA1平面 A1B1C1D1，而 B1D1平面 A1B1C1D1，AA1 B1D1.F又在正方形A1B1C1D1 中， A1C1 B1D1，B1D 平面 CAAC . 6 分111又B D 平面 CBD，1111F竞赛试卷平面 CAAC 平面 CBD 8 分1111（ 3）最小值为32 . 10 分如图，将正方体六个面展开成平面图形， 12 分从图中 F 到 F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB、 B C 、C D 、 D D、 DA上的中点，111111所求的最小值为3 2. 14 分17解：（ 1

13、）圆 C过原点 O，OC2t24t2设圆 C 的方程是( xt )2( y2 ) 2t 24tt 2令 x0，得 y10, y24；令 y0，得 x10, x22t . 2 分tS OAB1OAOB1|4| 2|4 ，即：OAB 的面积为定值 .4分22tt（ 2）|OM | |ON |,|CM | |CN |,OC 垂直平分线段 MN .k MN2,koc1，直线 OC 的方程是 y1 x . 6 分2221 t ，解得： t2或 t2 . 8 分t2当 t2 时，圆心 C 的坐标为(2,1) ， OC5 ，此时 C 到直线 y2x4 的距离 d15 ，5圆 C 与直线 y2x4 相交于两点

14、 10 分当 t2时，圆心 C 的坐标为 (2,1)， OC5 ，此时 C 到直线 y2x4 的距离 d955圆 C 与直线 y2x4 不相交，t2 不符合题意舍去 13 分圆 C的方程为 ( x2)2( y1) 25. 14 分18解：（ 1）若 A，则 AB 显然成立； 若 A，设 tA，则 ftt f,f tf t t，tB，故 AB. 4分竞赛试卷（ 2）A,ax21x 有实根，a1. 又 AB ，所以 aax221 x ，14即 a3 x42a2 x2xa10的左边有因式 ax2x1，从而有 ax 2x1a2 x2axa10 . 6 分AB ，a2 x2axa10 要么没有实根，要么实根是方程ax2x1 0的根.若a2 x2axa10 没有实根，则 a3 ；若 a2 x2axa10 有实根且实根是方程4ax2x 10的根，则由方程 ax 2x10，得 a2 x2axa ，代入