高等数学经典方法与典型例题归纳

1、2014 年山东省普通高等教育专升本考试2014 年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业： 电气工程及其自动化、 电子信息工程、 机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013 年 5 月 17 日星期五曲天尧编写1一、求极限的各种方法1约去零因子求极限例 1：求极限 lim x 41x 1 x1【说明】x1x1，所以x1表明 x与1无限接近，但这一零因子可以约去。【解】 lim ( x1)( x1)( x 21)lim ( x1)( x 21)6 =4x 1x1x 12分子分

2、母同除求极限3 2例 2：求极限 lim x 3 xx 3x 1【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。3211【解】 limxxlim13xx3x1x313x 3【注】 (1)一般分子分母同除x 的最高次方；an x nan 1 xn 1a00mn(2) limmnbm xmbm 1 xm 1b0xanmnbn3分子 (母 )有理化求极限例 3：求极限 lim (x23x 21)x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 lim (x23x21)lim ( x23x 21)(x 23x 21)xxx23x 21lim20x 2x 2x31例 4

3、：求极限 lim1tan x1sin xx3x 02【解】 lim1 tan x1 sin xlimx3 1tan xsin xsin xx 0x 3x 0tan x1lim1limtan xsin x1 lim tan xsin x1x 0 1tan x1sin x x 0x32 x 0x 34【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限两个重要极限是 lim sin x1 ) x1 ) n11和 lim (1lim (1lim (1 x) x e，第一个x 0xxxnnx 0重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限

4、。xx 1例 5：求极限 limx x 11【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。Xxxx12limx1lim 12lim112【解】x 11xx1xx 1xx 12xx2ax例 6： (1) lim 11； (2)已知 lim8 ，求 a 。x2xaxx212e25用等价无穷小量代换求极限【说明】(1) 常见等价无穷小有：当 x0 时 , x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1 x) ex1,1 cos x 1 x2 , 1 ax b1 abx ；2(2) 等价无穷小量代换 ,只能代换极限式中的因式 ；(3) 此方法在各种求

5、极限的方法中应作为首选。例 7：求极限 lim x ln(1x)x 0 1cosx【解】 lim x ln(1x)limxx2 .x 0 1 cosxx 0122x例 8：求极限 lim sin xxx 0 tan3 x3【解】 limsin xxlimsin x xlimcos x 1lim12 x 213x3226x 0tanx0xx 03xx 03x6用洛必达法则求极限ln cos 2xln(1sin 2 x)例 9：求极限 limx2x 0【说明】或 0 型的极限 ,可通过罗必塔法则来求。02sin 2xsin 2xsin 2【解】 limln cos2 xln(1x)limcos2x

6、1sin 2 xx22xx0x 0lim sin 2x2123x 02xcos 2x1sinx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解x( xt ) f (t) dt0例 10：设函数 f(x) 连续，且 f (0)0 ，求极限 limx.x 0xf ( x t )dt0xx t u0f (u)(du)x【解】 由于f ( xt )dtxf (u)du ,于是00x( xt ) f (t)dtxxxf (t )dttf (t )dtlim0xlim0x0x 0xf (x t )dtx 0xf (u)du00xf (t) dt xf (x) xf (x)xf (t )dt= lim

7、0x= limx0x 0f (u)du xf (x)x 0f (u)du xf ( x)00xf (t )dt0f (0)1= limx=xf (0).x 0f (u)duf (0)20xf ( x)7用对数恒等式求 lim f ( x) g ( x) 极限2例 11：极限 lim 1ln(1x) xx0【解】 lim 122 ln 1 ln( 1 x)lim2 ln 1ln(1 x )lim 2 ln(1x)ln(1 x) x = lim e x= ex0xex 0xe2 .x 0x04【注】对于 1型未定式 limf ( x) g( x) 的极限，也可用公式limf (x) g ( x)(

8、1) = elim(f ( x) 1) g ( x)因为limf ( x) g( x )elim g ( x) ln( f ( x)elim g ( x) ln( 1 f ( x)1)elim( f ( x) 1) g (x )12cos xx例 12：求极限 lim1 .x 0x33xln2cos xln2cos x31【解 1】 原式elim3limx3x2x0x0（）1（）2l n 3si nxl nc ox sl i m2l i m2 c o xsx 0xx02x1l i m1si xn1c oxsx62 x 02xln2cos xln2cos xe313【解 2】 原式limlimx

9、3x2x0x0（1co sx1）limln3c o sx11x2l i m2x0x03x68利用 Taylor 公式求极限例 13求极限 lim a xa2x2 ,( a 0 ) .x 0x2x【解】a xexln a1x ln aln 2 a( x 2 ) ,a x1 x ln ax 2ln 2 a ( x2 ) ;2a xa x2x 2 ln 2 a( x 2 ).5lim axa2x2lim x 2 ln 2 a2( x2 )ln 2 a .x 0xx 0x例 14求极限 lim 1( 1cot x) .x0 xx【解】lim 1 ( 1cot x)lim 1 sin x xcos xx

10、 0 xxx 0xx sin xxx3(x3 )x1x2(x2 )lim3!x32!x 0( 11 ) x3( x3 )1lim 2!3!x33 .x 09数列极限转化成函数极限求解n 2例 15：极限 lim n sin 1nn【说明】这是 1 形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7 提供的方法结合罗必塔法则求解。x2x2xsin 1111 sin y 11【解】考虑辅助极限 limx sin 1lim exlim e y 2ye 6xxxy 0n211e 6所以， lim n sinnn10n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极

11、限问题有两种处理方法(1) 用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2) 利用两边夹法则求极限 .例 16：极限 lim111222222nnn2nn1【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算, 是把 f ( x) 看成 0,1定积分。6lim112n1ffff ( x) dxnnnnn0【解】原式 lim 11121nn221112nnn1n11dx1 ln2101x2221例 17：极限 lim111n 2n2n2n12n【说明】 (1)该题遇上一题类似， 但是不能凑成 lim112fnff的形式，nnnnn因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最

12、大的或最小的。【解】 lim111222nn1n2nn因为n111nn 2nn 21n22n2nn 21又limnlimn122nnnnn1所以lim111n2n 2n2n12n11单调有界数列的极限问题例 18：设数列xn 满足 0x1, xn 1sin xn (n1,2,)（）证明 lim xn 存在，并求该极限；n1（）计算limxn 1 xn2 .n xn【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在 .7【详解】（）因为 0x1，则 0x2sin x11.可推得 0xn 1 sin xn1, n 1,2,，则数列xn 有界 .xn 1sin x

13、n1 ，（因当 x0时，sin xx ）， 则有 xn 1xn ，可见数列xn 单于是xnxn调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim xn 存在 .n设 lim xnl ，在 xn 1sin xn 两边令 nn1，得lsin l ，解得 l0 ，即 lim xn0 .n1limxn 1xn2limsin xnxn2（）因，由（）知该极限为 1 型，nxnnxn111sin x x21 sin x211limxlim e x2sin xe 6xlim e x3(使用了洛必达法则 )x0xx0x0111limxnxn2limxn2故1sin xne 6 .nxnnxn8二、常见不定积分

14、的求解方法的讨论0. 引言不定积分是高等数学中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如dxsin xdxe x21 dx1 k2sin2x （其中 0k 1）；dxx；ln x 等。这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同

15、一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。1. 不定积分的概念定义：在某区间I 上的函数f (x) ，若存在原函数， 则称 f (x) 为可积函数， 并将 f (x)的全体原函数记为f ( x)d x,称它是函数f (x) 在区间 I 内的不定积分， 其中为积分符号，f (x) 称为被积函数，x 称为积分变量。若 F (x) 为 f ( x) 的原函数，则：f (x)d x= F (x) +C(C 为积分常数 )。在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行

16、曲线，也就是说：ddx (f ( x)dx ) 和 f ( x)dx是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：1.微分运算与积分运算时互逆的。注：积分和微分连在一起运算时：9d>完全抵消。d >抵消后差一常数。2. 两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即： f ( x)g( x)dx =f ( x)dx ±g( x)dx 。3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：kf ( x)dx = kf (x)dx ( k 0)。在这里，给出两个重要定理：(1) 导数为 0 的函数是常函数。(2)

17、 若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。2. 直接积分法 (公式法 )从解题方面来看， 利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法 )。下面先给出基本求导公式：(1)(kx)'k(2)( x)'x1(3)(ln x)'1(4)(arctan x)'1x1x2(5)(arcsin x)'1(6)(log ax)'11 x

18、2x ln a(7)( e x )'e x(8)(sin x)'cos x(9)(11)(cos x)'sin x(10)(tan x)'sec2 x(cot x)'csc2 x 。根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：10(1)kdxkxC (k是常数 )(2)x dxx 1C (1)1(3)dxln xC(4)1dxarctanxCx1x21xdxarcsinx CaxdxaC(5)(6)1x2ln a(7)exdxex C(8)cos xdxsin xC(9)sin xdxcos x C(10)sec2 xdx tan x C(11)c

19、sc2 xdxcot xC 。下面举例子加以说明：例 2.1： 求(3 x24x1)dx解原式 =3x2dx4xdxdx= 3 x2dx4 xdxdx=3( x3C1) 4( x2 C2) ( x C3)32= x32 x2xC注意：这里三个积分常数都是任意的， 故可写成一个积分常数。 所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。x2例 2.2：求dxx21( x21) 1dx解原式 =dx=dxx21x2 1= x arctanxC注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1 减 1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，

20、下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体11讲解。直接积分法只能计算较简单的不定积分， 或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。3. 第一类换元法 (凑微法 )利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如2s i nxc o sx d x就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。如果不定积分f (x)dx 用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为f ( x)g( x)( x) ，作变量代换 u (x) ，并注意到 ( x)dx d ( x) ，则可将关于变量

21、 x 的积分转化为关于 u 的积分，于是有f (x)dxg( x)( x)dxg(u)du.如果g(u)du 可以求出， 不定积分f ( x)dx 的计算问题就解决了， 这就是第一类换元法 (凑微分法 )。注：上述公式中，第一个等号表示换元( x)u ， 最 后 一 个 等 号 表 示 回 代u(x) .下面具体举例题加以讨论例 3.1：求(2x1)10 dx .解原式 =1(2x1)10 (2x1) dx21(2x1)10 d ( 2x1)211112x111 C10u2 x 1 u2u du211C u122(2x1)对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。12例 3.2

22、：求1d (x).x28x25解原式1d ( x)112d ( x )( x 4)23 2x491(3)112d( x34)3( x4 )131x 4C3ar c t an3dx例 3.3：求1x2解11x)1 (11 )1x2(1 x)(12 1x 1x111 d(1x)d (1 x) x221x1x1 ln 1xln 1x C21 ln 1xC21xdx在这里做一个小结，当遇到形如：a x2bxc 的不定积分，可分为以下3中情况：a x2bxc 的：大于 0 时。可将原式化为 ( x x1)( xx2) ，其中， x1、 x2 为 a x2bxc0 的两个解，则原不定积分为：13dx1d(

23、xx1)d(x x2) (x x1)( x x2) ( x2 x1)(xx1)( x x2)1xx1Clnxx2( x2 x1)等于 0时。可利用完全平方公式，然后可化成( x k) 2 d( xk ) 。然后根据基本微分公式(2)便可求解。小于 0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求解。例 3.4： 求解原式secxdxdxcos xdxd sin xcos xcos2 x1 sin 2 xd sin x(1 sin x)(1s i nx)1 d s i nxd s i nx 2(1 s i nx)(1 s i nx)1 ln 1s i nxC2 1s i n

24、x该题也可利用三角函数之间的关系求解：sec2 xsec x tan x原式dxsec x tan x1d ( s exc t a nx)s e cx t a nxln s e cxt a nxC .虽然两种解法的结果不同，但经验证均为secx 的原函数，这也就体现了不定积分的解法以及结果的不唯一性。例 3.5：求cos2xdx .14解cos2xdx1cos2xdx1 (dxcos2xdx)221dx1c o s2xd (2x)24xsin 2 xC24例 3.6：求 sec6 xdx .sec6 xdx2sec22解(sec2 x)xdx(1tan2 x) d (tan x)24(1 2

25、t a nxt a nx)d ( t a n)xt anx 23 x15 x C3t an5t an注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。例 3.7：求x2100 dx .( x1)解原式x 21 1dx( x1001 )x111)99( x100 dx( x1)x1 21dx1)99(x100( x1)121d ( x 1)1)98( x98100( x1)(x 1)151 ( x1) 97 1 ( x 1)981 ( x 1) 99C97499

26、9注：这里也就是类似例2 所说的方法，此处是“减1 加 1”法。4. 第二类换元法如果不定积分f (x)dx 用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量替换 x(t ) 后，所得到的关于新积分变量t 的不定积分f (t)(t )dt可以求得，则可解决f ( x) dx 的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分 )法。设 x(t) 是单调、可导函数，且(t )0 ，又设 f (t)(t) 具有原函数 F (t ) ，则f ( x)dxf (t)(t)dtF (t )CF( x)C ，其中(x) 是 x(t) 的反函数。注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好

27、相反。例 4.1：求不定积分a2x2 dx(a0) .解令 xas i nt ，则 dxa cost d t， t(2,2) ，所以a2x2dxa costa costdta2(1cos2t)dt2a2(t1 s i n2t)Ca2(ts i nt c o ts)C222为 将 变 量 t 还 原 回 原 来 的 积 分 变 量 x ， 由 xasint 作 直 角 三 角 形 ， 可 知costa2x2，代入上式，得aaxa2arcsin xxa2x2dxa2x2C2a2t16a2x2注：对本题，若令xacost ，同样可计算。1dx(a0)例 4.2：求不定积分2a2.x解令 xat an

28、t ，则 dxa sec2 t d t， t(2, 2) ，所以1dx1a sec2 tdtsectdtx2a2a sectln s e ctt a ntC1ln xx2 a2 C1dx(a0) .例 4.3：求不定积分x2a2解令 xas e ct，则 dxasecttant d t， t (0,2) ，所以1dxa secttan tdttdtx2a2a tan tsecln s e ctt a ntC1ln xx2 a2 C注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中含有a2x2时，可令 xasint ， t(2, 2) ；如果被积函数中含有x2 a2，可令 xa tant ， t(2,2) ；如果被积函数中含有x2 a2；可令 xasect ， t (0,2) .17dx例 4.4：求不定积分ex e x令 tex (t0)，则 xln t ，所以， dxdt解t。dx11t2 dtxext1dt1et