2020年山东省烟台市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

1、2020年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1 .已知i为虚数单位，a为正实数，若月3|=2，则a=（）A. 1 B . 2 C . VS D . V22.已知全集U=R ,集合A= - 1 , 1 , 3, 5,集合B=x CR|x <2,则图中阴影部分表示的集合（）A . - 1 , 1 B . 3 , 5 C . - 1 , 1 D . - 1 , 13 ,若命题 p： ?xC(0, +°°), x+ > 2 ,命题 q： ?x0CR, 2x0 < 0,则下列为真命题的是()A . p Aq B .

2、pVq C . p V q D . pAq74.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是一，则()开始1+1A. a=3 B . a=4 C . a=5 D . a=65.将函数 f ( x) =sin ( 2x+ 0)(兀20<JUT）的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x）的若f （ x） , g （ x）的图象都经过点PC.的值可以是6.甲、文z717乙两名篮球运动员在7场比赛中的得分情况如茎叶所示，工甲、工乙分别表示甲、乙两人的平均得分，则下列判断正确的是（A .工甲 > 工乙，甲比乙得分稳定 B .工甲工乙，乙比甲得分稳定C .工甲V工乙，甲比乙得分稳定 D .工

3、甲工乙，乙比甲得分稳定p>0-7 .已知变量x、y满足的不等式组以一代0 表示的平面区域是一个直角三k耳-C.角形，则实数k二(A.8 .已知函数f(x)的定义域为x|x R,且x划，若对任意的x都有f ( x) +f ( x) =0 ,当 x > 0 时，f ( x) =log 2x ,则不等式 f ( x ) > 1 的解集为()A. (2, +8)B.(1,+oo)C. (一0)U(2, +8)D.(- 1,0)U(1 , +°°)229 .设F1、F2分别为双曲线三一片二1 (a>。，b>。)的左、右焦点，双曲线1M上存在一点P,使得|

4、PF1|+|PF2|=3b , |PF1|?|PF2|二jab,则该双曲线的渐近线方程为()10 .已知函数f ( x) =x 3+ax 2+bx+c ,给出下列结论：函数f (x)与x轴一定存在交点；当a2 - 3b > 0时，函数f ( x)既有极大值也有极小值；若x。是f (x)的极小值点，则f (x)在区间(-8, xq)单调递减；若f' ( x0)=0 ,则x。是f ( x)的极值点.其中确结论的个数为()A . 1 B. 2 C , 3 D , 4二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在 答题卡的相应位置.11 .在区间-2, 4上随机地取

5、一个数x,若x满足|x| 可 的概率为弓，则实数m=.12 . 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.13 .在4ABC中，|武+菽|=|正-菽|, AB=2 , AC=1 , E, F为BC的三等分点，14 .若一个圆的圆心为抛物线y= - jx2的焦点，且此圆与直线3x+4y - 1=0 相切，则该圆的方程是.15.给定 mina , b二a,ab也b<a已知函数 f ( x) =minx , x2 4x+4+4 ,若第3页(共19页)动直线y=m与函数y=f ( x)的图象有3个交点，它们的横坐标分别为x 1, x2, x3,贝U x1+x 2+x 3的范围为.三、解答

6、题：本大题共6个小题，共75分，解答时要求写出必要的文字说明、 证明过程或推理步H聚.16 .为了调查某区中学教师的工资水平，用分层抽样的方法从初级、中级、高级三个 职称系列的相关教师中抽取若干人，有关数据见下表：职称类型相关人数抽取人数初级27x中级99y高级182(1)求 x , y 值；(2)若从抽取的初级和离级教师中任选2人，求这2人都是初级教师的概率.17 .在 AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2sinC sinB acosBsinBbcosA(I )求角A的大小；(n )若 a=3 , sinC=2sinB ,求 b、c 的值.18 .如图，在四棱锥P- ABCD

7、 中，底面为矩形，平面PCD，平面ABCD ,PC ± PD , PD=AD , E 为 PA 的中点.(1 )求证：PC /平面BDE .(2)求证DE，平面PAC .AB19 .若数列a n的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有2an - Sn=4 ,(1)求数列an的通项公式；(2)令bn= ( - 1) n?g m 二 a 一,求数列b n的前n项和T n .2 r 3 a+120 .设函数 f ( x) =lnx ax2 bx .(1)当a=±, b= 一，时，求函数f ( x)的单调区间；(2)令 F ( x) =f ( x) +3ax2+bx+ 三(0<

8、xv3),其图象上任意一点 P(x0, zay 0)处切线的斜率k4恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a=0 , b= - 1时，方程f ( x) =mx在区间1 , e2内恰有两个实数解， 求实数m的取值范围.21 .已知椭圆C: +(T=1，( a> b>0)的离心率为七，且经过点P ( 0,-1) .(1)求椭圆的方程；3(2)如果过点Q(0,)的直线与椭圆交于A, B两点(A, B点与P点不 5重合).求应?国的值；当 PAB为等腰直角三角形时，求直线AB的方程.2020年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分

9、）、，、, a - 111 .已知i为虚数单位，a为正实数，若|71=2 ,则a=（A. 1 B . 2 C . x/5 D. V2【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】根据查复数的基本概念，的计算即可求出.【解答】解：i为虚数单位，a为正实数，a - i| . -|=| - 1 ai| 一 |1+ai|=2 , 11+a 2=4 ,解得a=Tl，故选：C.2.已知全集U=R ,集合A= - 1 , 1 , 3, 5,集合B=x CR|x U,则图中阴 影部分表示的集合（）A . - 1 , 1 B . 3 , 5 C . - 1 , 1 D . - 1 , 1【考点】Venn图表达集合的关

10、系及运算.【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断.【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素 构成，所以用集合表示为AH （?uB）.集合 A= - 1 , 1 , 3, 5,集合 B=x CR|x V,?uB=x|x >2,则 A H （ ?u B=3 , 5故选：B .3,若命题 p： ?xC（0, +oo）, x+ > 2 ,命题 q： ?x0 R, 2x0 < 0,则下列为真命题的是（）A . p Aq B , pVq C. p V q D , pAq【考点】复合命题的真假.【分析】分别判断出p, q的真假，从而判断出复合命题的真假即

11、可.【解答】解：命题p： ?xC（0, +8）, x+y> 2是假命题，命题q： ?xqR, 2x0<0是真命题，故pAq是真命题， 故选：D .4.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是,，则()第7页（共19页）A. a=3 B . a=4 C . a=5 D . a=6【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S, k的值，当S=/, k=4时，由题意此时满足条件4> a,退出循环，输出S的值为十，结合选项即可【解答】解：模拟执行程序，可得S=1 , k=1不满足条件k> a,不满足条件k> a,不满足条件k> a,k=2k=

12、3k=4由题意，此时满足条件4> a,退出循环， 故选：A .输出S的值为亲5.将函数 f ( x) =sin ( 2x+ 0)0<兀2)的图象向右平移()()> 0)个单位长度后得到函数g (x)C.的值可以是丸2的图象，( )71T若f ( x) , g ( x)的图象都经过点P【考点】正弦函数的图象.【分析】由条件利用函数y=Asin 得4的值.（3X+ Q的图象变换规律，求得。的值，可【解答】解：将函数f （ x） =sin(2x+ 0)(一7U2v 0<7L2）的图象向右平移。()个单位长度后得到函数g ( x)=sin（2x - 2（j）+ 0）的图象，若

13、f (x)g （ X）的图象都经过点P （ 0,则 sin 。=&3 2冗0= 3再根据 sin ( - 2()+ 0) =sin (2（j）+)V32则。的值可以是6.甲、乙两名篮球运动员在7场比赛中的得分情况如茎叶所示，工乙分别表示甲、乙两人的平均得分，则下列判断正确的是（A .工甲 > 工乙，甲比乙得分稳定 B .工甲工乙，乙比甲得分稳定 c, G甲乙，甲比乙得分稳定 d. G甲乙，乙比甲得分稳定 【考点】茎叶图.【分析】由茎叶图，得出5场比赛甲、乙的得分，再计算平均数与方差，即 可得到结论.【解答】解：7场比赛甲的得分为11、16、23、37、39、42、48,7场比赛乙

14、的得分为15、26、28、30、33、34、44 ,乂甲=千（11 + 16+23+37+39+42+48） 30.86 ,(15+26+28+30+33+34+44-213通过比较数据的波动情况，得：Stp <.麻> 五乙比甲得分稳定.7.已知变量x、y满足的不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k二（第9页(共19页)A.B. C. 0 D .。或一【考点】简单线性规戈ij .k>0【分析】由题意结合不等式组，2x-y<0 表示的平面区域是一个直角三角形 占耳- y+lO画出过定点(0, 1)的直线kx - y+1=0 ,由此可确定其斜率k的值.【解答】解：

15、由约束条件2y- yCO作出可行域如图，k的值应为。或一8.已知函数f(x)的定义域为x|x R,且x划，若对任意的x都有f ( x) +f ( x) =0 ,当 x > 0 时，f ( x) =log 2x ,则不等式 f ( x ) > 1 的解集为()A. (2, +8)b.(i,+oo)C. (一0)U(2, +8)D.( 1,0)U(1 , +°°)【考点】对数函数的图象与性质.【分析】首先令x<0,则-x>0,根据函数f(x)为奇函数，求出f(x)的 解析式；又f(0) =0,故f(x)在R上的解析式即可求出，然后分x>0和x v

16、0两种情况分别求出不等式f (x) >1的解集，最后求其并集即可.【解答】解：f ( x) +f ( - x) =0 ,f ( x) = f ( x),当 x<0 时，x>0 时，f( x) =log 2( x) = f(x),即 f ( x ) = - log 2 ( - x ),当 X=0 时，f ( 0) =0 ,' io s-mf(x)=40区二。；-lBg2( - x) K<0当X > 0时，由log 2x > 1 ,解得X > 2,当 XV0 时，由一log2( x) >1,解得 x>一二， riL-a综上，得x>

17、2或x> -二，故不等式f (x) >1的解集为：(一二，0) U (2, +8).故选：C .22b>0)的左、右焦点，双曲线9 .设Fl、F2分别为双曲线三 -J=1(a>0, a2 b2上存在一点P,使得|PF i |+|PF 2 |=3b ,程为()|PF 11? |PF 2|=；yab ,则 该双曲线的渐近线方【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的定义可得，|PF1|- |PF2|=2a ,两边平方，再由条件，即 可得到a, b的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【解答】解：由双曲线的定义可得，|PF1|- |PF2|=2a , 由 |PF1|+|PF

18、2|=3b , |PF 1|?|PF2尸卷ab ,则有(|PF 1|+|PF 2|) 2 - 4|PF 11? |PF 2|=9b 2 - 9ab=4a 2,即有(3b - 4a) ( 3b+a ) =0 ,即有3b=4a ,所以该双曲线的渐近线方程为y=居x. 10 .已知函数f ( x) =x 3+ax 2+bx+c ,给出下列结论：函数f (x)与x轴一定存在交点；当a2 - 3b > 0时，函数f ( x)既有极大值也有极小值；若x0是f ( x)的极小值点，则f ( x)在区间(-8, xq)单调递减；若f ' ( x0)=0 ,则xq是f ( x)的极值点.其中确结论

19、的个数为()A . 1 B. 2 C. 3 D. 4【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.【分析】根据函数的单调性判断，根据导函数的根的情况判断，特殊 值法判断.【解答】解：函数 f ( x) =x 3 +ax 2 +bx+c , f' ( x) =3x 2 +2ax+b , =4 ( a2 3b ), 若 4,则f(x)单调递增或单调递减，若 >0, f(x)可能递减、递增、 递减，或递增、递减、递增；函数f(x)与x轴一定存在交点；正确；当a2 - 3b > 0时，即 > 0,函数f ( x)既有极大值也有极小值；正确； 若xo是f ( x)的

20、极小值点，可能f ( x)递减、递增、递减，则f ( x)在 区间xo)不一定单调递减；错误；若f' ( xo) =0 ,则xo是f ( x)的极值点；错误，比如a=b=c=0 时，f ( x) =x3, f ( 0) =0 ,却不是极值点；故选：B .5分，共25分，把正确答案填在二、填空题：本大题共有5个小题，每小题 答题卡的相应位置.11 .在区间-2, 4上随机地取一个数x,若x满足|x| <m的概率为三，则实数m= 1.【考点】几何概型.【分析】根据几何概型的概率公式建立方程关系进行求解即可.【解答】解：若x满足|x|币的概率为寺, 且一m <x<m,则对应

21、的概率P=-f八二拿委,4 一 I - 2 J6 3则 m=1 ,故答案为：1 .12 . 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 2兀【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥， 由三视图求出几何元素的长度，由球体、锥体的体积公式求出几何体的体积.【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆 锥，且球的半径为1 ;圆锥的底面半径为1、高为4,几何体的体积 V=r1-X-X n xp-4-x nxx 士 JJ二 2H故答案为：2兀.，13.在 4ABC 中，|靛+菽 |=|AS-菽|, AB=2 , AC=1

22、, E, F 为 BC 的三等分点，则盛?示号【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据题意，得到三角形为直角三角形，由港、麻求出版，标，即可 求出彘?菽的值.【解答】解：由于在4ABC中，麻+标1=1瓦-菽I,贝U / BAC=90 °,由于E , F为BC的三等分点，则回=蒜-诙, c?=旨5, E三林lJQ又有融菽而，A?=蔽而，则质=获菽，A? =yAB+yAC,又由 AB=2 , AC=1 ,故答案为：14 .若一个圆的圆心为抛物线y= 一九2的焦点，且此圆与直线3x+4y - 1=0 相切，则该圆的方程是x2+ （ y+1 ） 2=1.【考点】抛物线的简单性质.【分析】根

23、据抛物线的焦点确定圆心为（0, - 1）;由于圆与直线相切，圆心 到直线3x+4y - 1=0的距离等于半径，根据点与直线的距离公式确定圆的半 径，从而确定出圆的方程【解答】解：抛物线y= 一卷x2，可化为x2= - 4y ,所以焦点坐标为(0 , - 1), 则圆心坐标为(0, - 1);又圆与已知直线3x+4y - 1=0相切，则圆心到直线的距离 7d=r=r=1，2=1所以圆的标准方程为X2+ (y+1 ) 故答案为：X2+ ( y+1 ) 2=1 .15 .给定 minaa,b= b<a已知函数f (x) =minx,x2 - 4x+4+4第15页(共19页)动直线y=m与函数y

24、=f ( x)的图象有3个交点，它们的横坐标分别为x 1, x2, x3,贝U x1+x 2+x 3 的范围为 (4 , 5 ).【考点】函数的图象.【分析】画出函数f(x)的图象以及直线y=k的图象，根据条件数形结合求 得k的范围.【解答】解：设 g ( x) =minx , x2- 4x+4,贝U f ( x) =g ( x) +4 ,故把g(x)的图象向上平移4各单位，可得f ( x)的图象，函数f ( x) =minx , x2 - 4x+4+4 的图象如图所示：由于直线y=m与函数y=f ( x)的图象有3个交点，数形结合可得k的范围为(4, 5).故答案为：(4, 5).三、解答题

25、：本大题共6个小题，共75分，解答时要求写出必要的文字说明、 证明过程或推理步H聚.16 .为了调查某区中学教师的工资水平，用分层抽样的方法从初级、中级、高级三个 职称系列的相关教师中抽取若干人，有关数据见下表：职称类型相关人数抽取人数初级27x中级 高级9918(2)若从抽取的初级和离级教师中任选2人，求这2人都是初级教师的概率.【分析】(1)根据频率=频触由已知条件能求出x ,(2)记从高中初级教师中抽取的3人为bi, b2, b3,y .从高中教师中抽取的2人为ci , C2,先求出从这两个系列中抽取的5人中选2人的基本事件总数，再由列举法求出抽取的这2人都是初级教师包含的基本事件个数，

26、由此能求出抽取的这2人都是初级教师的概率.【解答】解：(1 )由题意，根据频率=翳,解得 x=3 , y=11 .(2)记从高中初级教师中抽取的3人为b1，27 99 18b2, b3 ,从高中教师中抽取的2人为C1 , C2,则从这两个系列中抽取的5人中选2人的基本事件总数n= C ： =10 ,抽取的这2人都是初级教师包含的基本事件有：b 1, b2 , b 1 , b3 , b 2, b3,共 3 个，抽取的这2人都是初级教师的概率p=17 .在ABC 中，角 A、B、C的对边分别为a、b、(I )求角A的大小；c,且2白inC 一 sittBsinEbeDsA【考点】列举法计算基本事件

27、数及事件发生的概率；频率分布表.(n )若 a=3 , sinC=2sinB ,求 b、c 的值.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】(1)由已知及正弦定理可得abcosB= ( 2c - b) bcosA ,结合余弦定 理可得bc=b 2+c2 - a2,由余弦定理可解得cosA= y ,结合A的范围即可求A(n )由已知及正弦定理可得c=2b ,由余弦定理可得：a2=9=b 2+c2-2bccosA=b 2+4b 2 - 2b x2b ,从而可解得 b, c 的值.【解答】解：(I )由正弦定理可得2sinC - sinB QCosB =.sinh bcosA(2c b) bcosA ,2

28、c- bl acosB a：=r，即 abcosB=b bcosA '由余弦定理可得：ab 9W2ac=(2c b) ?b 卡,2 , 2 , 2 b -be a2bc-，整理可得：bc=b 2+c2 - a2,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a2.l =.2bc 3结合0v A v兀，可解得：A=.(n ) sinC=2sinB ,由正弦定理可得：c=2b ,由余弦定理可得：a2=9=b 2+c2- 2bccosA=b 2+4b 2 - 2b >2bXy,可解得：b=J ,c=2b=2 18 .如图，在四棱锥P- ABCD 中，底面为矩形，平面PCD，平面ABCD ,PC

29、± PD , PD=AD , E 为 PA 的中点.(1 )求证：PC /平面BDE .(2)求证DE，平面PAC .PAB【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【分析】(1)设AC , BD交于点O,连结OE ,则由中位线定理得出OE / PC , 故PC /平面BDE ;(2)由面面垂直的性质得出AD，平面PCD ,得出PC ± AD ,又PC ± PD ,故 而PC，平面PAD ,于是PC，DE,又由三线合一得出DE，PA,故 DE，平面 PAC .【解答】解：(1 )设AC nBD=O ,连结OE ,底面ABCD 是矩形，. O是AC的中点，

30、OE是 PAC的中位线，PC / OE ,又 PC ?平面 BDE , OE ?平面 BDE ,PC / 平面 BDE .(2) ,.平面 PCD，平面 ABCD ,平面 PCD n平面 ABCD=CD , AD ± CD , AD ? 平面ABCD ,AD，平面 PCD , PC?平面 PCD , PCX AD ,又 PC ± PD , PD ?平面 PAD , AD ?平面 PAD , PD AAD=D , PC，平面 PAD , . DE ?平面 PAD , PCX DE ,PD=AD , E 是 PA 中点，DE ± PA ,又 PA ?平面 PAC ,

31、PC?平面 PAC , PA APC=P ,DE，平面 PAC .19 .若数列a n的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有2an - Sn=4 .(1)求数列an的通项公式；2n43(2)令 bn= ( - 1 ) n?j_Dg a og a 一,求数列b n的前 n 项和 T n .02 n 2 n+1【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(1)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；(2)利用 裂项求和"、分类讨论方法即可得出.【解答】解：(1) ;对任意正整数n都有2an- Sn=4,1- 2a1 - a1 =4 ,解得 a1 =4 ；当 n g时，2an - 1 - S

32、n _ 1=4 ,可得：2a n - 2an 1 - an=0 ,化为 an=2a n- 1,，数列a n是等比数列，首项为4 ,公比为2 , . an=4 gn1=2n+1.(2)bn=( - 1)n?77=( " nmn+S) =( - 1)” ，/.当 n=2k ( k CN )时，数列b n的前n项和Tn=T 2k = 一()+:QF)= 一2 n+2当 n=2k 1( kCN*)时，数歹Ubn的前 n 项和 T n=T 2k - 1=-in+22n+4 , Tn =20 .设函数 f ( x) =lnxax2 - bx .(1)当 a=b= 一亍时，求函数f ( x)的单调

33、区间；(2)令 F ( x) =f ( x) +=ax2+bx+ ±(0vxv3),其图象上任意一点 P(x0, 2ayo)处切线的斜率k弓恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a=0 , b= - 1时，方程f ( x) =mx在区间1 , e2内恰有两个实数解， 求实数m的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理.【分析】(1)将a, b的值代入f(x),求出其导数，解关于导函数的不等式， 求出函数的单调区间即可；«o-a 1(2)求出F (x),求导得到在(0, 3)上恒成立，分离参数求出a的范围即可；(3)得到m=1+ 只需m=1+二上在区间1

34、, e2内恰有两个实数解，令g(x) =1+二四(x> 0),根据函数的单调性求出m的范围即可.【解答】解：(1) f (x)的定义域是(0, +8),当 a= y, b= 一 £ 时，f(X)=lnx - %2+会，( x) =-&(叶1),令 f ' (x) >0,解得：0v xv 2,令 f' ( x) < 0,解得：x>2,故f(x)在(0, 2)递增，在(2, +8)递减；(2) F ( x) =lnx+ £，(0V xv 3),町Nii则有K=F'(x) =在(0，3)上恒成立，x0=1(3) a=0 , b= 1 时，f ( x) =lnx+x ,由 f (x) =mx 得 lnx+x=mx ,p 八、 InK又 x > 0 , . . m=1