2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

1、2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项.1 .已知集合 A=xCz| - 2< x<3, B=x| -2<x<1,贝 U A AB=（）A. -2, - 1, 0B. -2, - 1, 0, 1 C. x| -2<x<1 D. x| - 2<x<12 .已知向量工二（1, 1）, b=（t3 9）,若/ S，则 t=（）A. 1B. 3C. ± 3 D. - 3z=i （其中i为虚数单位）,则输出的S值为（3 .某程序的框图如图所示，若输

2、入的第1页（共16页）A. - 1 B. 1 C, - i D. i4.右 x,z=!"x+y的最大值为（57A. X B. 3 C. 77 D. 45.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A. . B. - C.D.P到x轴的6 .已知点P （x。，y。）在抛物线 W： y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点距离相等，则x0的值为（）A.B. 1C.D. 2第4页(共16页)1 sinCit+CL ) ,7 .已知函数f (x) ='jI COS”是函数f(x)是偶函数的( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8 .某生产基

3、地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是( 工作A.甲只能承担第四项工作C.丙可以不承担第三项工作B.乙不能承担第二项工作D,获得的效益值总和为78效益一一二四五机器甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9 .函数f (x) =.2空Z的定义域为10 .已知数列an的前n项和为Sn,且 二门 一 4n,则 a2- a1=11 .已知l为双曲线C:22=1的一条渐近线，其倾

4、斜角为JC7,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为 , C的方程为 .12.在二，河 1口g/这三个数中，最小的数是 13.已知函数f (x)=sin (2x+(j),若12A则函数f (x)的单调增区间为.14.给定正整数k>2,若从正方体 ABCD - A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一 个集合 M=Xi, X2,，Xk,均满足？ Xi, XjC M, ? Xi, XtC M,使得直线 XiXjXXlXt, 则k的所有可能取值是 .三、解答题共6小题,15.在 ABC 中，/共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.2元C=三, a=6.(I )若 c=14

5、,求 sinA 的值;(n )若 ABC的面积为3/3,求c的值.16 .已知数列an是等比数列，其前 n项和为Sn,满足S2+ai=0, a3=12.(I )求数列an的通项公式；(n )是否存在正整数 n,使得Sn>2020?若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在, 说明理由.17 .如图，在四棱锥 P - ABCD中，PAL平面ABCD ,四边形 ABCD为正方形，点 M , N 分别为线段PB, PC上的点，MN ±PB.(I )求证：平面PBCL平面PAB;(n )求证：当点 M不与点P, B重合时，MN /平面ABCD ；法，从某班选出10人参加活动，在活动前，

6、对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.(I )根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；(n )这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为sj ,试比较Si与日：的大小(只需直接写出结果)；(出)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.(注：成绩大于等于 75分为优良)畀女卜8 7 670 6 9H 7 819.已知椭圆C：/ +-=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A、B两点,| AB | =2 .(I )求椭圆C的方程；(

7、n)已知点P是椭圆C上的动点，且直线 PA, PB与直线x=4分别交于M、N两点，是 否存在点P,使得以MN为直径的圆经过点(2, 0) ?若存在，求出点 P的横坐标；若不存 在，说明理由.20.已知函数f (x)(1)求曲线y=f (x)在点(0, f (0 )处的切线方程；a的最小值.(2)求函数f (x)的零点和极值；(3)若对任意xi, X2Ca, +8),都有f(xi) - f (X2)成立，求实数 e2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项.1 .已知集合 A=xCz

8、| - 2< x<3, B=x| -2<x<1,贝 U A AB=（）A. -2, - 1, 0 B. -2, - 1, 0, 1 C. x| -2<x<1 D. x| - 2<x<1 【考点】交集及其运算.【分析】由A与B ,求出两集合的交集即可.【解答】 解：. A=xC Z| 2wxv3= 2, 1,0, 1, 2, B=x| -2<x<1,.A AB= -2, - 1 , 0,故选：A.2.已知向量t）.9）,若；/，凡则 t=（）A. 1 B. 3 C. ± 3 D. - 3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示.

9、【分析】由向量共线可得t的方程，解方程可得.【解答】解：.向量丁（1, 3 芯9）,且1X9-t2=0,解得 t=±3故选：Cz=i （其中i为虚数单位）,则输出的S值为（3.某程序的框图如图所示，若输入的A. - 1【考点】B. 1程序框图.C. - i D. i第6页（共16页）【分析】由已知中的程序框图及已知中输入z=i,可得：进入循环的条件为nw5,即n=1,2,，5,模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值.【解答】解：模拟执行程序，可得不满足条件n>5, S=i1, n=2不满足条件n>5, S=i2, n=3不满足条件n>5, S=i3, n=4不满足条

10、件n>5, S=i4, n=5不满足条件n>5, S=i5, n=6满足条件n>5,退出循环，输出 S=i5=i.故选：D.4.若 x,y满足it- y+2>u“工+第- 4<0,贝uz=yx+y的最大值为（A.【考点】【分析】【解答】7B. 3C. - D. 4简单线性规划.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=yx+y 得 y=平移 y= -f-x+y,d-a由图象知当直线y=-x+y经过点A直线的截距最大, 此时z最大，3),5.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）.V3 B V3 c

11、 2732V6A B CD3233【考点】由三视图求面积、体积.由三视图之间的关系求出几何元素的长度,【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥， 锥体的体积公式求出几何体的体积.【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是 2、高是侧视图的底边 必三棱锥的高是侧视图和正视图的高1,几何体的体积V=/吟专，故选：A.6.已知点p(X0, yo)在抛物线 W： y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点 P到X轴的 距离相等，则X0的值为()A.3B. 1 C. D. 2抛物线的简单性质.求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W

12、的焦点F的距离，由题意可得| PF| 二| yo| ,即可得到X0=1 .【解答】解：抛物线 W： y2=4x的焦点为(1,0),准线方程为x= - 1 , 由抛物线的定义可得点 P到W的准线的距离即为 P到W的焦点F的距离， 由题意可得| PF|二| yo| ,则PFx轴,可得xo=1, 故选：B.7.已知函数f (x)”是函数f(x)是偶函数的( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】函数f(x)是偶函数，贝u sin (x+a) =cos( - x+a),可得sin(x+a)书in(今dK 一

13、 口), 化简解出即可判断出结论.【解答】解：函数 f(x)是偶函数,则 sin(x+a)=co s( x+a),可得 sin(x+a)=sin(rK - 口 ),.X+o+2k7i=个 +x - a, 或 兀-(x+a) +2k tt= . +x - a, 解得 口二-kn4，(kCZ).，炉子”是函数f(X)是偶函数”的充分不必要条件.故选：A.8 .某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列第11页(共16页)叙述正确的是()工作效益一一二四五机器甲1517141715乙22

14、23212020丙913141210丁7911911戊1315141511A.甲只能承担第四项工作 B.乙不能承担第二项工作C.丙可以不承担第三项工作D.获得的效益值总和为 78【考点】进行简单的合情推理.17+23+14+11 + 15=80,但不能同时【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为 取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论.【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80,但不能同时取得.要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第

15、三 项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为 17+23+14+11 +13=78 ;乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为 17+22+14+11+15=79 ,所以乙不承担第二项工作， 故选：B.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9 .函数f (x) =Jz* 一 2的定义域为 1, +8)【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据函数f (x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可.【解答】 解：二函数f (x) =J2K -工,.-2x- 2>0,即 2x>2;

16、解得x> 1,.f (x)的定义域为1, +8).故答案为：1, +8).10.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn二门24n,贝U a2ai= 2【考点】数列递推式.【分析】 通过二门24n,利用a2- a1=S2- 2S1计算即得结论.【解答】解： S埼二口 4耳a2- a1= (a1+a2) 2a1=S2 - 2S1=(4-8) -2(1-4)二2,故答案为：2.2,11.已知l为双曲线C：=亍-言=1的一条渐近线，其倾斜角为 且C的右焦点为(0),则C的右顶点为(血 0)C的方程为【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意可得c=2,求出渐近线方程，解方程可得 方程.【解答】 解：

17、由题意可得c=2,即a2+b2=4,k冗一条渐近线的斜率为 k=tan=1, a4解得a=b=6，则双曲线的右顶点为(6，0),a, b,即可得到右顶点和双曲线的2C的方程为三222故答案为：(-72, 0), - =1 .221 亏112.在上,1 口弓g2这三个数中，最小的数是 与一【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】解：:前我>1,log 32 > lo Si，在L2这三个数中，最小的数是2 '上'口去故答案为:.71、“5冗、13.已知函数 f (x) =sin (2x+(j),若 £七叵)一 f (一

18、)=2,£K I 7U间为k lH+五,k" .【考点】正弦函数的图象.则函数f (x)的单调增区. .p, 丁,兀-573T【分析】 由条件可得 一+ j=2k#、,且：+(j)=2k %,626LkCZ,求得。的值，可得f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论.【解答】 解：二函数f (x) =sin (2x+<f),若则函数的周期为为7U12)=sin (+ 4) =1, f (一12)=sin (5K6+ 4)JT-Z-+(j)=2k o7T71+且一+ j=2k 兀-7jr,kCZ,即 行Zkk, kCZ.令2kL兀T7Tf (x)=sin().TT

19、< 2x+ -3故答案为：kn5兀12冗< 2k 时271,求得k兀-元< x< k 7t+14.给定正整数k>2,若从正方体 ABCD - A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一 个集合 M=X1, X2,，Xk,均满足？ Xi, XjC M, ? X|, XtC M,使得直线 XiXj±X|Xt, 则k的所有可能取值是6, 7, 8 .【考点】棱柱的结构特征.【分析】由题意，？Xi, XjCM, ? Xi, XtCM,使得直线XiXjXXlXt,则k至少要取6, 可以保证由四点共面，即可得出结论.【解答】 解：由题意，？Xi, XjCM,

20、?X|, XtCM,使得直线XiXj±X|Xt,则k至少要取6,即可保证有四点共面，由正方形的性质，四点共面时，？ Xi, XtCM,使得直线XiXjXXiXt,.k的所有可能取值是 6, 7, 8.故答案为：6, 7, 8.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.2K15 .在 ABC 中，/ C=1,(I )若 c=14,求 sinA 的值；(n )若 ABC的面积为3/3,求c的值.【考点】 正弦定理；余弦定理.【分析】(I)利用正弦定理解出；(II)根据面积计算b,再利用余弦定理解出c.【解答】 解：(I)在4ABC中，由正弦定理得:a _ 。s

21、i nA sinC，b=2.2x2X 6 义(-y)=52.由余弦定理得：c2=a2+b2 - 2a?b?cosC=4+36 -c=V52=2V13.16 .已知数列an是等比数列，其前 n项和为Sn,满足S2+ai=0, a3=12.(I )求数列an的通项公式；(n )是否存在正整数n,使得Sn>2020?若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在, 说明理由.【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式.【分析】(I )通过设数列an的公比为q,利用2a+a1q=0及a1w0可知q=-2,进而通过 a3=12可知首项a1=3,计算即得结论；(II )通过(I)、利用等比数列的求和公式计

22、算可知Sn>2020等价于(-2) n<- 2020,分n为奇数、偶数两种情况讨论即可.【解答】解：(I )设数列an的公比为q,因为 S2+a1=0,所以 2a1+a1q=0,因为a w 0,所以q= - 2,2又因为与二为4二12,所以a1=3,(n )结论：符合条件的 n的最小值为11. 理由如下：由(I)可知Xf _ L ?力二-<-2r门 1 * L令 Sn>2020,即 1 - (2) n>2020,整理得(2) n< - 2020, 当n为偶数时，原不等式无解；当n为奇数时，原不等式等价于2n>2020,解得n> 11;综上所述，所

23、以满足 Sn>2020的正整数n的最小值为11.17 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA，平面ABCD ,四边形 ABCD为正方形，点 M , N 分别为线段PB, PC上的点，MN XPB.（I ）求证：平面PBCL平面PAB;（II ）求证：当点 M 不与点P, B重合时，MN /平面ABCD ;（出）当AB=3 , PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值.BC【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定.【分析】（I ）通过证明BCL平面PAB,即可证明平面 PBCL平面PAB;（n ）在 PBC中，BCPB, MN LPB,所以MN / BC

24、,利用线面平行的判定定理，证明 MN / 平面 ABCD ;（出）AM的长就是点A至ij MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是 A到线段PB的 距离.【解答】 证明：（I ）在正方形 ABCD中，AB ± BC.因为PAL平面 ABCD , BC?平面 ABCD ,所以PAXBC.又 AB APA=A , AB , PA?平面 PAB ,.所以BC,平面PAB.因为BC?平面PBC,所以平面PBC,平面PAB. ,（n ）由（I ）知，BCL平面 PAB, PB?平面 PAB,所以 BCXPB. .在4PBC 中，BCXPB, MN XPB,所以MN / BC,.又BC?平面 A

25、BCD , MN?平面ABCD ,.所以MN /平面 ABCD .解：（出）因为MN / BC, 所以MN，平面PAB ,.而AM ?平面PAB,所以MN ±AM ,.所以AM的长就是点 A到MN的距离，.而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是 A到线段PB的距离，在 RtPAB 中，AB=3 , PA=4,所以A到直线MN的最小值为普.18 . 一所学校计划举办 国学”系列讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.（I ）根据这1

26、0名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（n）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为,试比较与的大小（只需直接写出结果）（出）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于 75分为优良）畀女I 5 64 百8 7 670 6?K1 S【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差.【分析】（I ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为X"利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩.（II ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差.（出）设 两

27、名同学的成绩均为优良”为事件A,男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2, a3,a4,女生按成绩由低到高依次编号为b1, b2, b3, b4, b5, b6,由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.【解答】解：（I ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为了1，工则 K=-73. 75 .56H9+76+70+88+87功-百该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75, 76.（n）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差.（出）设 两名同学的成绩均为优良 ”为事件A,.男生按成绩由低到Wj依次编号为a1 , a2 , 33, 34,女生按成绩由低

28、到高依次编号为b1, b2, b3, b4, b5, b6,则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法，如）,（a2, b2）,（33, b3）,（31, b2）,（32, b3）,（33, b4）,（31, b3）,（32, b4）,（33, b5）,（31, b4）,（32, b5）,（33, b6）,（31, b5）,（32, b6）,（34, b1）,（31, b6）,（33, b1）,（34, b2）,（32, b1）,（33, b2）,（34, b3）,第13页（共16页）（34, b4）, （34, b5）,（34, b6）,其中两名同学均为优良的取法有12种取法.（

29、32, b3）,（02, b4）,（32, b5）,（32, M）,（33, b3）, （33,b4）,（33, b5）,（33, b6）,（34, b2）,（34, b3）,（34, b4）,（34, b5）,（34,b6）,所以即两名同学成绩均为优良的概率为19.已知椭圆7=1 (a>b>0)的离心率为 学,椭圆C与y轴交于A、B两点,| AB| =2.(I )求椭圆(n)已知点C的方程；P是椭圆C上的动点，且直线 PA, PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P,使得以MN为直径的圆经过点(2, 0) ?若存在，求出点 P的横坐标；若不存在，说明理由.【考点】椭圆的简

30、单性质.【分析】(I )运用椭圆的离心率公式，以及(n )设 P (m, n),可得_T+n2=1,可得4t),运用三点共线的条件：斜率相等，求得a, bA (0,c的关系，计算即可得到所求椭圆方程;1), B (0, 1),设 M (4, s), N (4,的坐标，再由直径所对的圆周角为直角,运用垂直的条件：斜率之积为- 1,计算即可求得 m,检验即可判断是否存在.【解答】解：(I )由题意可得e=,2b=2,即又 a2 c2=1,解得 a=2, c=/3, 2即有椭圆的方程为2(n )设 P (m,n),可得 _T_+n2=142即有 n2=1 -4由题意可得A (0, 1)A, M共线可得,B (0, T)