三角形五心及其性质延伸

1、三角形五心及其性质延伸1. 内心：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。角平分线性质:到角两边距离相等.内心性质：到三角形三边距离相等。延伸：内角平分线定理如图，AD为ZABC中ABAC的平分线，则有AB BD “上左下左、=(=)AC DC上右下右c :* 11IE证明过程如下：作 BE ZE = ADACZBAD = ZDAC ,ZE = ZBAD, AB = BE=C.EB _ BD AB ACDC ACBDDC(同上)ZAEC = ZEAF ZEAF =FZAEC = ZEAC, AC = AE.AD”2bccos 2cos CE 空=竺二匹 ABAC AD = （或-1

2、）AC CE DCb+c11+ b cb+c丄思馭又AD+DE=AE,即AD = AE.而ZABE为等腰三 鏗形BF丄怔，Cb+c/A2bccos 仝 / 2cos AE = 2AF = 2ABsinZBAF=2csin-, /. AD =d或一吝）.2b+c .1 丄 1十 b cEb+c内心到三边距离r（三角形内切圆半径）设三角形面积为S,则有（即面积的2倍除以周长） a+b+c证明过程如下：连接 OA, OB, 0C °相切，：.OF 丄佔，即 SAAqb= -ABOF = -cr ,2 2同理S aaoc 二br ,2*（a+b+c）r,S ABOC1 ar 2又 SS AA

3、OB +S AAOC + S ABOC 2S r=a+b+c2. 重心：三角形三条中线交点B 、'd C中线性质：将三角形面积等分成两部分.重心性质：分三角形的中线两段长比例为2:1 （长：短）如图:AD, BE, CF为AABC三条中线，G为其重心，AG: GC = BG: GE = CG: GF = 2:1证明过程如下:作 BHGD = DH,GH = 2GD AG = GH = 2GD AG:GC = 2:1延伸：三角形中线长公式如图，AD为ZkABC的中线，则有AD = Jb2+c2+2bccos/l2证明过程如下：作BE AD = DE,B|UD= - AE ZABF = Z

4、A 丄 cos ZABF ccosA csinA ccos A+b 2AD = AE J(ccos A + b)2 +(csin A)2 = Jb'+c'+2bccos A 心： 三角形 三边 2 2v 2垂直平分线的交点，三角形外接圆圆心。垂直平分线性质：到线段两端点距离相等。外心性质：到三角形三个顶点距离相等。内心到三顶点距离R（三角形外接圆半径）R二島（某边除以它对角正弦的2倍）证明过程于下:连接A0并延长交圆0于D,则AD为圆直径,AD=2R.又ZABD = 90Q （直径所对的圆周角是90。），AB二c, ZADB = ZC侗弧AB所对的圆周角相等），.AD二一兰一，

5、即 sin ZADB2R = , R=sinC2sinC延伸：正弦定理由于R二金'同理易证/瓷廿鼎=金'变形得到正弦定理： = = = 27?（每边除以它所对角的正弦 sin A sin B sin C为2R)延伸:余弦定理a2 =h2 +c2 -2bccos A证明过程如下:作 CD 丄 AB 交其于 D,AD = AC cos A = bcosAf BD= c-bcosA,CD = bsinA ,又 BC2 = BD2 +CD2 f 即=(c-Z?cosA)2+(Z?sin A)2 =c2 - 2Z?ccos A + b cos2 A + b2 sin2 A = b2 +c

6、2 -2bccos A ,其他边角也同 求4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线 的交点。旁心性质：三角形的四心(内心、重心、垂心、外心) 只有一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线 距离相等。j .证明过程如下：如图，Pi> P2、P3为ZABC三个旁心°M3 /以円为例，在zbam2平分线上，"N,AP,到AB、 AM?距离相等，即Pi到AB、AC所在直线MN、M2N2距离相等,补充：三角形面积公式同理,R在ZABM3平分线上,到AB、BM3距离相等,即R 到AB、BC所在直线MN、M3N3距离相等，故得到旁心到三边所 在直线距离相等。 S = - ah （丄底x高）2 2 S = ab sin C = ac sin B = b