北京市西城区第二学期期末考试高二数学(理科)试卷

1、北京市西城区第二学期期末试卷高二数学(理科)试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二二本卷总分151617181920分数、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合要求的.1 .复数 _2_()1 i(A) 1 i(B) 1 i(C) 1 i(D) 1 i2 .已知函数f (x) e x,则f ( 1)()(A) 1(B)1(C) e(D) eee3 .甲射击命中目标的概率为 工，乙射击命中目标的概率为 -.现在两人同时射击目标，则 23目标被击中的概率是()(A) -(B) 1(C) (D)43364 .已知函数f(x)在R上可导，其部

2、分图象如图所示, 设_2_ a ,则下列不等式正确的是(2 1(A) af(1)f(2)(B) f(1)af(2)(C) f(2)f(1)a(D) f(1)fa2 ,5 .直线y x与抛物线y x所围成的封闭图形的面积是()(A)(B) 1(C) (D)128646 .用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比 2000大的偶数共有()(A) 16个(B) 12 个(C)9个(D) 8个7.函数f(x) x 72sin x在区间0,上的最大、最小值分别为()(A),0(B) >/2,0(C),1(D)0,12|448 . 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的

3、是()(A)总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(B)总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(C)总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个(D)总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.“八1 _9 .曲线y 在x 2处切线的斜率为. x110. (2x )4展开式中的常数项是 .(用数字作答) x11 .离散型随机变量的分布列为123pPiP214且 E 2,则 d ； p2.12 .某班举行的联欢会由 5个节目组成，节目演出顺序要求如下节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编

4、排方案共有 种.13 .若函数f(x) ax3 ax2 x在区间(1,0)上恰有一个极值点，则 a的取值范围是14 .已知，对于任意x R , ex ax b均成立.若a e,则b的最大值为；在所有符合题意的 a,b中，a b的最小值为 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 .(本小题满分13分)n 2.一.在数列4中，ai 1, an 1 an 1 ,其中 n 1,2,3,L .n(i)计算 a2, a3, a4, a5 的值；(n)根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16 .(本小题满分13分)甲、乙两个篮球运动员互不影响

5、地在同一位置投球，命中率分别为1与p ,且乙投球22次均未命中的概率为 .16(I )求甲投球2次，至少命中1次的概率；(n)若甲、乙两人各投球 2次，求两人共命中3次的概率.17 .(本小题满分13分)已知函数f(x) x3 3ax2.(i)若a 1,求f (x)的极值点和极值;(n)求f(x)在0,2上的最大值.18 .(本小题满分13分)一个袋中装有黑球，白球和红球共n(n N )个，这些球除颜色外完全相同.已知从袋 中任意摸出1个球，得到黑的概率是 2.现从袋中任意摸出2个球.5(I)用含n的代数式表示摸出的 2球都是黑球的概率， 并写出概率最小时n的值.(直接写 出n的值)(n)若n

6、 15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是-,设X表示摸出的2个球中7红球的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望.19 .(本小题满分14分)2已知函数 f(x) ax bx和 g(x) ln x .(I)若a b 1,求证：f (x)的图象在g(x)图象的上方；(n)若f (x)和g(x)的图象有公共点 P ,且在点P处的切线相同，求a的取值范围20 .(本小题满分14分)已知函数f(x) (x 1)ex.(I)求f (x)的单调区间；(n)证明：当 a 0时，方程f(x) a在区间(1,)上只有一个解;(出)设h(x) f (x) aln(x 1) ax ,其中a 0 .若h(x)

7、0恒成立，求a的取值范围北京市西城区2016 2017学年度第二学期期末试卷高二数学(理科)参考答案及评分标准、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A;2.D;3. C ;4. B ;5. C;6. D;7. C; 8. B .二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. ；10. 24;11. ， ;12. 42;44 21 -113. (,5);14. 0;&.注：一题两空的题目，第一空 2分，第二空3分.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.15.(本小题满分13分)解：(I)根据已知，a2 4 ； a9 9； a 16； a5 25. 4 分2(n)

8、猜想 an n . 6分证明：当n 1时，由已知21 ；由猜想，a1 12 1 ,猜想成立.8分2假设当n k ( k N )时猜想成立，即 ak k , 10分则n k 1 时，ak1 k-ak 1 k2 1 (k 1)2. kk所以，当n k 1时，猜想也成立. 12分.一一_2- .*由和可知，an n对任意的n N都成立.13分16.(本小题满分13分)解：(I)设“甲投球一次命中”为事件 A,11则 P(A) -,P(A) -. 2 分、.- 3故甲投球2次至少命中1次的概率为1 P(A A) 1 P(A)P(A) . 54分(n)设“乙投球一次命中”为事件 B.816，由题意得 p

9、(B B) (i p)(i p)分-r 35-解得p 3或2(舍去)，44一一. 3-1所以 P(B) -, P(B)-. 44甲、乙两人各投球 2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次.9分113 13甲中两次，乙中一次的概率为 P(A)P(A)C2P(B)P(B) 2 - 一.11分2 24 4 32甲中一次，乙中两次的概率为c2 P(a)p(A)p(b)p(b)93212分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件933概率为一一一.32 32 8所以甲、乙两人各投 2次，共命中3次的概率为3. 13分817.(本小题满分13分)解

10、：(1)当 a 1 时，f(x) x3 3x2 , f(x) 3x2 6x. 2 分令 f (x) 3x2 6x 0,得 x 0或 x 2.4分f (x)与f (x)在R上的情况如下：x(,0)0(0,2)2(2,)f (x) 100f(x)Z04Z所以，函数f(x)的极大值点为x 0,极大值为0;极小值点为x 2,极小值为 4.6分._2一(n) f (x) 3x 6ax 3x( x 2a). 7 分当a 0时，f (x) 0 (仅当x 0时，f (x) 0),函数f(x)是增函数，f(x)在0,2上的最大值为f (2) 8 12a 8. 8分当a 0时，在区间(0,)± f (x

11、) 0 ,函数f (x)是增函数.f (x)在0,2上的最大值为f(2) 8 12a. 10分当a 0时，f (x)与f (x)在区间(0,)上的情况如下:x0(0, 2a)2a(2a,)1f (x)00f(x)0f( 2a)Z11分此时，f(0) 0, f(2) 8 12a.2c.一一当8 12a 0,即 a 0时，f(x)在0,2上的最大值为 f (2) 8 12a. 12 3分、，一 一一 rr2当8 12a 0,即a 时，f(x)在0,2上的最大值为f (0) 0.13分322综上，当a时，f(x)在0,2上的最大值为0；当a时，f(x)在0,2上33的最大值为8 12a.18.(本小

12、题满分13分)2解：(I)依题意有2 n个黑球.记“摸出的2球都是黑球”为事件 A,5C2n则 P(A) -5rCn2 2,、n(n 1)5 54n10n(n 1)25n25分P(A)最小时n5.(II)依题意有2 15 6个黑球.6分5一C2则 P(B) 1 Cx CR设袋中白球的个数为 x(个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B,4» I 2-,整理得 x 29x 120 0 ,解得x 5或x 24 (舍).8分所以袋中红球的个数为 4(个).随机变量X的取值为0,1,2. 9分CiP(X 0) -rC1511一；P(X 1)21c4c1；C12544C2；p(

13、x 2) -4-105C125235X012P114422110535X的分布列为:12分14114428数学期望EX1104412221105351519.(本小题满分14分)解：(I)当 a b 1 时，f(x) x2 设 h(x) x2 x In x, x 0 .则 h(x) 2x 1 - 2x一1 x x一 1 ，所以，在区间(0,-)± h (x) 0,是增函数. 13 所以，h(x)的最小值为h(-)-即f (x)的图象在g(x)图象的上方(2x 1)(x 1)x1h(x)是减函数；在区间(万，)± h (x) 0, h(x)4分1 31In ,又一 In -

14、0,所以h(x) 0恒成立.2 42.5分 八，、1(n )设 P(xO, y°),其中 x0 0.由已知 f (x) 2ax b , g (x)-. x因为在点P处的切线相同,12所以 2ax0 b 一, y0 ax0 bx0,y0 Inx0.x0消去 b,y0 得 ax2 In x0 1 0 .根据题意，方程ax2 In x0 1 0有解.设 F(x) ax2 In x 1,则 F(x)在(0,)上有零点.1F (x) 2ax 一 x2ax2 1x当a 0时，F (x) 0,函数F(x)在(0,)上单调递增当 a 1 时，F(1) a 1 0, F()1L，、，工In -y=0

15、, F (x)有零与 八、.1122当 0 a 1 时，F(1) a 1 0, F(e ) ae 1 0, F(x)有零点 分当a 0时，令F (x) 0 ,解得x J .1 2aF (xpf F(x)在区间(0,)上的情况如下:F (x)0F(x)Z,rv 3 1nV 2a 2令 ln J - - 0 ,得 a ，. .2a 22e3此时F(1) a 1 0.所以F(x)有零点.13分综上，所求a的取值范围为工2e).14分20.(本小题满分解：(I)由已知所以，在区间在区间(0,14分)f (x) ex (x 1)ex(,0)上 f (x) 0 ,xex .函数f (x)在()上f (x)

16、 0,函数f (x)在区间(0,0)上单调递减, )上单调递增.(n)设 g(x)f (x) a (x 1)ex a解.g (x) xex,由(I)知，函数 g(x)在区间(0, 且 g(1) a 0, g(a 1) aea 1 a a(ea 1所以，g(x)在区间(1,)上只有一个零点，方程(m)设 h(x)f (x) a ln( x 1)上单调递增.1)0.f (x) a在区间(1,)上只有一个h (x) xexa x(exax , a六)0, h(x)定义域为x|x白(x 1)ex a，令 h(x) 0,则(x1)e0,由(n)知,g(x)(x1)exa在区间(1,)上只有一个零点，是增