概率论与数理统计期末考试题附答案

1、概率论与数理统计期末考试题一.填空题(每小题 2 2 分，共计 6060 分)1、A、B 是两个随机事件,已知 p(A)=0.5,p(B)p(A)=0.5,p(B) =0.3,p(AB)=0.3,p(AB) =0.1=0.1 , ,则p(A- B) =0.4、p(AUB)=0.7、p(A B) = 1/3 ,P(A B) = 0.3。2、一个袋子中有大小相同的红球 4 只黑球 2 只，(1)从中不放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：8/15。(2)若有放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：4/9。(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋

2、中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为：13/21 .3、设随机变量 X 服从参数为 6 的泊松分布，WJ p X 21 =1- e_4、设随机变量 X 服从 B (2, 0. 6)的二项分布，则 pX=2=0.36, Y服从 B (8, 0. 6)的二项分布，且 X 与 Y 相互独立，则X+Y 服从 B (10, 0. 6)分布,E(X +Y) =6。5、设二维随机向量(X,Y)的分布律是有则 a=0.3,X的数学期望E(X)=_05, X与Y的相关系数 Py第1页共46、三个可靠性为 p0 的电子元件独立工作，(1)(1) 若把它们申联成一个系统，则系统的可靠性为：p;(2)(

3、2) 若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为： 1-(1-p)3;7、(1)若随机变量X U (1,3)，则 p6X2=_05; E(X2)=_13/3,D(2X 1) =_(2)若随机变量XN(1,4)且中(1) = 0.8413则P 1 X 3 =0.6826,Y=2X+1,则 Y N( 3,16)。8、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)=1 , E(Y)=2,方差 D(X)=1 , D(Y)=2,且 X、Y 相互独立，则：E(XY2Y)=5, D(X+2Y)=。9、设 X1,.,X10及丫,.,丫5分别是总体N(20,6)的容量为 10, 15 的两个独立样本，X,Y 分别为样本均

4、值,S2, S2分别为样本方差。贝U: X N(20,3/5), X -YN(0,1) , p&YA=0.3174 ,322S12-S12/2(9) , -V F(9,14)。2S2此题中小(1) =0.8413。10、 在假设检验中，显著性水平 a 是用来控制犯第一类错误的概率，第一类错误 是指：Hp成立的条件下拒绝 Hg_的错误_ 。第2页共4页. 、x + a.0壬x 1、(6(6 分)已知随机变量 X X 的密度函数f(x) = %其它求：(1)常数a ,(2) p(0.5X15) (3)X 的分布函数 F(X)解：(1)由f(x)dx=1,得 a =1/22(2)p(0.5X

5、 15)=(：f(x)dx= L(x+；)dx=0.6752(3)(3)F(x) = 0.5x2+0.5x,ox主12 J2-.三、(6 分)设随机变量 X , Y 的概率密度分别为：fX(x)=%x ,一日它，fY(y0y，：它，且随机变量X，丫相互独立。(1)求(X, Y)的联合概率密度为：f(x,y)(2)计算概率值 p( Y 4 2X 。解:(1) X , Y 的边缘密度分别为：11。19P(Y : 2X) =f (x,Y)dxdy = dyy6x ydx =y：2x0220四、(8 分)从总体XN(u,。2)中抽取容量为 25 的一个样本，样本均值和样本方差分别是:X = 80,S2

6、= 9 , t0.025(24) = 2.0639,对.975(24) = 12.4, x；025(24) =39.36求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 a2的置信度为 0.95 的置信区问。解：n=25，置信水平1 - a =0.95,a/2 =0.025,t t0.025(1)(1) = = 2.13152.1315 , ,X =80,S2=9 由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区问为:f(x) -(“fX(x)Y-0r _松.一 f(x,122y)dy =Q6Xydy = 3x ,其他fY(y) = 2.7767,s/寸 5算得:X=794.4,s =8.6169,t =

7、X一驱=1.4527 s/ 5 n=25，置信水平1 -a = 0.95,。/2 =0.025, x2.975(24) =12.4,x2.25(24) =39.36S2=9由此 u2的置信水平为 0.95 的置信区问为:24 924 9( - ,-)=(5.49,17.42)；。25(24)方(24)4五、（1010 分）设总体X服从 N（u,o2）,s2已知，u 未知。X1,Xn是 X 的一个样本,求 u 的矩估计量，并证明它为 u 的无偏估计。解：样本 X1,.,Xn的似然函数为：L(Xi,.,Xn,u) =(2二)0/2exp- (Xi-u)22k旦2而In L(Xi,.,Xn,u) =

8、 n/2ln(2：)一1、(为u)22 j1人d(ln L(Xi,.,Xn,u):令：-= (Xiu) =0,duk解得：i? =1 Xiu的最大似然估量i? =1 Xinkin号2一1 /E(。 )=E(-xnk*Xk） = u, 它为 u 的无偏估计量.2H0: u = 800,H1:u-8001t 值不在拒绝域内，故接受 Ho,认为日产量没有显著变化七、(5 分)设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布N(U,Q2),Q2,U未知, 现他声称他的温度计读数的标准差为不超过 0.5,现检验了一组 16 只温度计，得 标准 0。7度，试检验制造商的言是否正确(取 a=0.05)，此题中 7O.05(15) =24.996。解：按题意温度计读数X -N(U,S2),U,。2未知，现取a =0.05检验假设：H。：二-0.5, Hi：。0.51用 X2检验，现有n =5, a