9二项分布及其应用-简单难度-讲义

1、二项分布及其应用引入姚明作为中锋,他职业生涯的罚球命中率为0. 8,假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少？问题1:在4次投篮中姚明恰好命中 问题2:在4次投篮中姚明恰好命中 问题3:在4次投篮中姚明恰好命中 问题4:在4次投篮中姚明恰好命中 问题5:在n次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少？ 2次的概率是多少？ 3次的概率是多少？ 4次的概率是多少？ k次的概率是多少？解读1、条件概率(1 )条件概率的定义：对于任何两个事件A和B,在事件 A发生的条件下,事件 B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A) 来表示.(2)条件概率公式：P A I BPBAPA其中PA 0'A

2、IB称为事件A与B的积或交(或积).把由事件A与B的交(或积),记做D AI B (或D AB ).(3)条件概率的求法：利用定义,分别求出P A 和 p B A,得 P B A P AI B . P A借助古典概型概率公式,先求事件A包含的根本领件数,即 nA再求事件n AI B,得n AI Bn A2、相互独立事件同时发生的概率(1)事件的独立性 ：如果事件A (或 B)是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响, P(B|A) P(B),这时,我们称两个事件 A , B相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事 件.P AgB P A gP B .如果事件A , A2,An相互独立,那么

3、这 n个事件都发生的概率,等于每个事件发 生的概率的 积,即P(A I A2 I L I An) P(AJ P(A2)L P(An),并且上式中任意多个事 件A换成其对立事件后等式仍成立.(2)相互独立与事件互斥两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型).两事件相互独立不一定互斥.3、二项分布(1)独立重复试验如果每次试验,只考虑有两个可能的结果A及A,并且事件 A发生的概率相同在相同的条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n次独立重复试验.n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率

4、为Pn(k)Cn pk(1 p)n k (k 0, 1, 2, L , n).(2 )二项分布假设将事件A发生的次数设为 X ,事件A不发生的概率为q 1 p ,那么在n次独立重复试验 中,事件A恰好发生k次的概率是P(X k) V pkqn k,其中k 0, 1, 2, L , n .于是得到X(qnp)0 OnCn p q11 n 1.Cn p q Lk k n kCn p qn nL Cn p q各对应项的值,所以称这样的散型随机变量X B(n, p).X服从参数为n , p的二项分布,记作的分布列X01knP00 nCn p q11 n 1Cn p qk k n kCn p qnn 0

5、Cn p q由 于 表 中 的 第 二 行恰 好 是典例精讲一选择题(共19小题)1. (2021春？重庆期末)设随机变量XB (3, 0.2),那么E (2x+1)=()A. 0.6B. 1.2C. 2.2D. 3.2【分析】由随机变量XB (3, 0.2), E (2x+1) =2E (X) +1,由此能求出结果.【解答】解：随机变量XB (3, 0.2), E (X) =3X 0.2=0.6, E (2x+1) =2E (X) +1=2X 0.6+1= 2.2.应选：C.2. (2021春？泉州期末)设随机变量 X, 丫满足：丫=3X- 1 , XB (2 ,5(X> 1) =9

6、,那么 D (Y)=()A. 4P),B. 5D. 7C. 651【分析】由XB (2, p), P (X> 1)求出p=-,从而XB (2,93能求出D (X),利用D (Y) =9E (X),能求出结果.由此【解答】解：随机变量X, 丫满足：丫=3X- 1, XB (2,5p),P( X> 1) =9, P (X=0) =1 - P (X> 1) =?(1 - ?2=4,91 1解得 P=3,二 XB (2 , 3),144 =9X _=4.91 D(X)=2X 3 X D (Y) =9E (X)应选：A.3. (2021春?大连期末)设X为随机变量,XB (n, 1),

7、假设随机变量X的数学期望E (X) =2 ,那么P (X=2)等于8013A.B.243243【分析】根据X为随机变量,XB)4C.243113D. 一16-),利用二项分布的变量的期望值公3式,代入公式得到n的值,再根据二项分布概率公式得到结果.(n,1【解答】解：随机变量X为随机变量,XB (n ,-),31其期望 EX=np=n=2,二 n=6 ,3 p( x=2) =?(!) 2(1 -1)4=2803应选：A.4. (2021春?金州区校级期末)假设3B (n, p),且?(?= 3 , ?(?= 2,那么 P(E =)的值为 ()31A.B. 一243C.32【分析】利用二项分布的

8、数学期望和方差性质列出方程组,求出1D.16n , p,由此能求出P (E =1的值.3【解答】解：T B (n , p),且?(?= 3 , ?(?= 3 ,? 3?(-1 ?)= |,解得 n=6 ,1p=2, P ( E =) =?(2)(1)5=32应选：C.5. (2021春?庆城县校级期末)随机变量X, Y满足 X+Y=8,假设 XB (10,0.6),那么 E (Y), D (Y)分别是()A. 6 和 2.4B. 2 和 2.4C.2 和 5.6D. 6 和 5.6(10, 0.6),求出 E (X), D (X),【分析】由随机变量X, 丫满足X+Y=8, XB由此能求出E

9、(Y), D (Y).【解答】解：随机变量X, 丫满足X+Y=8, XB (10, 0.6), E (X) =10X 0.6=6,D (X) =10X 0.6X 0.4=2.4,E (Y) =E (8-X) =8-E (X) =8 - 6=2 ,D (Y) =D (8 - X) =D (X) =2.4.应选：B.6. (2021春?黄山期末)随机变量 幼服从二项分布 B (n , P),且E ( $ =300, ?D ( $ =200,贝L等于()A. 3200B. 2700C. 1350D. 1200【分析】根据数学期望和方差列不等式组解出 n, p,从而得出答案.【解答】解：? 300?=

10、 900由题意可得?(_1?)=0200 ,解得?_ ,?应选：B.7. (2021春?龙海市校级期末)离散型随机变量 X服从二项分布XB (n ,p)且E (X) =12, D (X) =3,那么n与p的值分别为()2 311A. 18, A. n=45, p=3B. 16, 4C. 16, 1D. 18,帀【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出.【解答】解：XB (n, p)且 E (X) =12, D (X) =3,?22 12' ?(-1 ?)= 3? 16解得 ? 3 ,-4应选：B.18. (2021春？辛集市校级月考)假设?(? ?)=2：C. 35A. 1B.

11、 20?!那么一一的值为 3!(?-3)!D. 7【分析】根据?(? ?)= 4?2?1 ?(?_1)(?_2) 【解答】解：由?(?= ?)= J?得"(")(") 2?7X 6X 5X 4!3!4!=?!求出n,即可求出亦可的值.?(?-1)(?-2)(?-3)?!所以一?- 3!(?-3)!应选：C.3X 2X17X 6X5 =35.3 X 2 X14X 3X 2XI?= 7,9. (2021秋？东胜区校级期末)随机变量 X服从二项分布B ( n , p),假设E(X) =30 , D (X) =20,贝U n p 分别等于()1B. n=45, p=31C

12、 n=90, p=32D. n=90, p=3【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.【解答】解：随机变量X服从二项分布B (n , p),假设E (X) =30, D (X) =20 ,21可得 np=30, npq=20, q=-,那么 p=-, n=90,3 3应选：c.110. (2021秋?天心区校级月考)随机变量 X: B (20,-),要使P (X=k)的3值最大,那么k等于()A. 5 或 6B. 6 或 7C. 7D. 7 或 81 2121【分析】利用 C2击？()k? () 20 k> C20k 1 - P (x=1) =C21h? (一)11=3?2

13、 10. 2应选：B.12. (2021春？抚顺期末)设服从二项分布B(n, p)的随机变量E的期望和方差分别是2.4与1.44,那么二项分布的参数n、p的值为()A. n=4, p=0.6 B. n=6, p=0.4C. n=8, p=0.3 D. n=24, p=0.1【分析】根据随机变量符合二项分布,根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值,得到关于n和p的方程组,解方程组得到要求的两个未知量.? () k 1? () 21 k, C20k? () k?333332 12(-)20 k> C20k+1? (-) k+1? (-) 19k,即可得出结论.3 331

14、2【解答】解：P (X=k) =C20k? (-) k? (-) 20k,贝U331 2 _ _ 1 _ 2 _ 1 2由题意 C20k? (_) k? (_) 20 k> C20k 1? (_) k 1? (_) 21 k, C20k? (_) k? (_) 20333333k> C20k+1? (-) k+1? (-) 19k,33 k=6或 7.应选：B.11. (2021秋？七里河区校级月考)假设 XB (n , p),且E (x) =6, D (x) =3,那么P (x=1)的值为()1313A.B.C. pD.-162102184【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公

15、式,求得p和n的值,根据P(X=k)1 1=C2k? (-)k? (一)nk,即可求得 P (X=1)的值.2 21【解答】 解：由题意 Ex=np=6, Dx=np (1 - p) =3,解得 p= , n=12,【解答】解幼艮从二项分布B(n , p)由 EE =2.4=np DE =1.44=np( 1 - p),“口1.44可得 1 - p= 24 =0.6 ,2.4 p=0.4 , n= =6.0.4应选：B.13.(2021春?天津校级期末)离散型随机变量X服从二项分布XB(n , p) 且E (X) =12, D (X) =4,那么n与p的值分别为()2 12 1A. 18, 3

16、B. 18, 3C 12, 3D. 12 , 3【分析】根据随机变量符合二项分布,由二项分布的期望和方差的公式, 及条件中所给的期望和方差的值,列出期望和方差的关系式,得到关于n和p的方程组,解方程组可得到n, p的值.【解答】解：随机变量X服从二项分布XB (n, p),且 E (X) =12, D (X)=4,-E( X)=12=np,D (X) =4=np (1 - p),1与相除可得1 - p=-,32ph, n=18.3应选：A.14. (2021春?红桥区期末)随机变量1E服从二项分布,且 B (3,-),那么3P ( E =)等于1A.-3)4B.-92D.-3【分析】根据随机变

17、量E服从二项分布,2C. -91B (3 , -),得到变量对应的概率公3式,把变量等于1代入,求出概率.【解答】解：随机变量E服从二项分布,1B (3,-),3 P ( E =) =?号?(3)2=4, 应选：B.315.2021春？福建校级期末假设随机变量 B 10,那么D 5E- 3等于5C. 57A. 9B. 12D. 60【分析】【解答】利用二项分布的方差公式进行计算.310,：5解：随机变量匕B3 2 12 D (B=10x x=5 5 5 D (5E- 3) =25D ( E =60.应选：D.16. 2021春?铜仁市校级期中 差等于10,那么n, p的值分别为1 1A. 40

18、0,B. 200,-2 20【分析】根据随机变量符合二项分布,中所给的期望和方差的值,得到关于随机变量XB n, p,其均值等于200,标准1 1C. 400,D. 200,-4 4根据二项分布的期望和方差的公式和条件n和p的方程组,解方程组得到要求的两个未知量.【解答】解：随机变量XB (n , p),均值等于200,标准差等于10,由 EE =200=np DE =100=np( 1 - p), 1可得 p=-, n=400.2应选：A.17.2021秋？孝感期末随机变量 幼服从二项分布 Bn,p,且EE =30,dDE =200那么p等于B. 02 1C. 1A.B. 0C. 1D.-3

19、 3【分析】根据随机变量符合二项分布,根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值,得到关于 n和p的方程组,解方程组得到要求的 未知量p.【解答】解：幼服从二项分布Bn, pE E =30,0 D E =200 EE =300=np；DE =200=np( 1 - p), 可得1-卩=型£,300 32 1 p=1 -=-33应选：D.118.(2021春?蚌埠期末)设随机变量E服从B( 6,2),那么P(E =)的值是()5C.1653A.B.-88【分析】直接利用独立事件的概率公式求解即可.1【解答】解：随机变量E服从B(6, 2 ),那么P ( =)3D.16应

20、选：C.19. (2021春?珠海期末)在比赛中,如果运发动甲胜运发动乙的概率是I,那么在五次比赛中,运发动甲恰有三次获胜的概率是(408011020A.B.C.D.243243243243【分析】由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式,计算求得结果.一 2【解答】解：根据每次比赛中,甲胜运发动乙的概率是 -,故在五次比赛中,33280运发动甲恰有三次获胜的概率是？?(2)?(1 - I)=243,应选：B.填空题(共5小题)20. (2021春?泰兴市校级月考)设随机变量 XB (2, p).假设P (X> 1) =4,4那么p=1一2 【分析】根据随机变量服从 XB

21、(2, P)和P (X> 1)对应的概率的值,写出概率的表示式,得到关于P的方程,解出P的值.【解答】解：随机变量服从XB (2, P), P (X> 1) =1 -P (X=0) =1 - ? (1 - p) 故答案为：-. =3,41解得p=2, 2 2021. (2021春?溧阳市期末)二项分布满足XB( 6,3),那么P(X=2) =_T-_,3243EX= 4.2 一【分析】根据随机变量符合二项分布,xB (6, -)表示6此独立重复试验,每32次实验成功概率为-,P (x=2)表示6次试验中成功两次的概率,根据二项分3布的期望公式,代入n和p的值,求出期望.2【解答】解

22、：TX服从二项分布XB (6,-)3p( X=2)=?(3)"(2)2=243、2随机变量E服从二项分布 B (6,-),32期望 EE =np=8-=4320故答案为：;424322. (2021 春？徐州期中)在 0- 1 分布中,设 P(X=0) =p,0vpv 1,贝U P(X=1)=1 - p .【分析】由两点分布的性质知,假设 P (X=0) =p,0v pv 1,那么P (X=1) =1 - p.【解答】解：在0- 1分布中,I P (X=0) =p, 0v pv 1,p (X=1) =1 - p.故答案为：1 - p.23.假设随机变量 X1 B (n,0.2),X2

23、B (6, p),X3B (n, p),且 E(X1) =2,3 VT0V (X2) =2,贝U ( X3)的值是.【分析】利用二项分布的期望与方差公式,即可得出结论.【解答】解：由题意,0.2n=2,. n=10,3 16p (1 - p) =2,二 p=2,1.X3 B (10, 2),.D (X3)1 1 5 =10x 一 x_ =一2 2 2.0- (X3)=2 .故答案为:Vio2?岁24.服从二项分布为B (n , p),那么(?？护=(P)2【分析】随机变量服从二项分布,其 E (爭)=np, D (为)=np (1 - p),即可求?莎出那么一V的值(?护【解答】解：随机变量为服从二项分布为B (n, p), E (Q =np, D (Q =np (1 - p), t/c二亍=(1-p)故答案为(1-p) 2.三.解做题(共3小题)125.设随机变量X具有分布P (X=k)气,k=1, 2, 3, 4, 5,求E (X+2) 2, D5(2X- 1), v?(? 1).1【分析】由 P (X=k) , k=1, 2, 3, 4, 5,知 Eg DE.然后求 E (X+2) 2,