2018高考——空间向量与立体几何理科

1、第14讲空间向量与立体几何知识要点.空间向量1 .空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示 .同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不变性2 .空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。OB = OA+AB = a + b ； BA = oA-oB = a-b；运算律：加法交换律：a b = b a加法结合律：(a , b) , c = a , (b , c)数乘分配律：(a b) = a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3 .共线向量。(1)如果表示空间向量

2、的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b,记作a b。(2)共线向量定理：空间任意两个向量 a、b ( b W 0 ) , a/ b存在实数 入，使a =入b。(3)三点共线：a b、C三点共线<=> AB = A AC<=>OC=xOAyOB （其中 x + y = 1）a(4)与a共线的单位向量为一百4 .共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线,p与向量a, b共面的条件是存在实数x, y使p = xa + yb。（3）

3、四点共面：若a、r c、p四点共面<=>AP= xAB+ yAC<=>OP = xOA+ yOB+ zOC(其中 x+ y+ z=1)5.空间向量基本定理：如果三个向量c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x, y, z,使p = xa+yb +叫做基向量，空间任意OA = xi + yi + zk ,若三向量 ab,C不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底, 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A, B,C是不共面的四点，则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数 x, y, z,使 OP =xOA + yOB+zOC。6.空

4、间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系 O - xyz中，对空间任一点 a ,存在唯一的有序实数组 （x, y, z）,有序实数组（x, y, z）叫作向量A在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，记作A(x, y,z) , x叫横坐标,x轴的的对称点为（x,-y,-z）,注：点A （x,y,z ）关于关于xoy平面的对称点为（x,y,-z）. 即点关于在y轴上的点设为（0,y,0）,在平面yOz什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。中的点设为（0,y,z）（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用i, j, k表示

5、。空间中彳e一向量 a xi + yj + zk =（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律；若 a = (4,a2,a3), b = (bpbz'A)，则 a+b =(司 + U,a2 + b2,a3 + A)，a 一 b = (a - n, a2 一 b2, a3 一 b3)，& a = (&al, 九 a2, 九 a3)( W R)，T 4a b =时 + a2b2 + a3b3， 4abu a1 =九bi,a2 = 'ub2,a3 = ,心(九三 R),T 4a -L b- a1ti + a2b2 + a3b3 = 0。若 A(Xi,yi,Zi),

6、B(x2,y2,z2),贝 u 命=3yy2 y1,z2 z1)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), AP =九PB，则点p坐标为XiX2 yi y2 ziz2(,)。推导：设 P (x，y，z )贝Ui i i ,P(xx2(x-%y yzz) = Mx2 x,y2 y,z2 z),显然，当 p为 ab中点时，ViV2 ,z2,)22 AABC中，A（Xi, y1,z1）, B（x2, yzzJ'C% 丫3，4），三角形重心 p坐标为P(xix2x3 yiy2y

7、3 ziz2z3A ABC的五心:内心P:内切圆的圆心，角平分线的交点:AB AC、AP =儿（尸=i 尸=i）（单位向量）ABAC外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点:|PA =同 “PC垂心p：高的交点：PA PB = PA PC = PB PC （移项，内积为o,则垂直）i ,一 重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP （AB AC）3中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若 a=（ai，a2,a3）, b = （h,b2,t3）,(5)夹角公式： cos/a b)=:a b|a| |b|aiaibia2b2asho222 222a2a3 , bib24A ABC中ABAC0

8、<=>A为锐角 ABAC <0<=>A为钝角，钝角A(6)两点间的距离公式：若 A(xi, yi, zi) , B(x2,y2, z2),T-*2-则 | AB LqAB,2；2(x2 - xi)( y2 - yi)(z2 - zi)3:72二72二22或 d A,B - (X2 _ xi)(y2 _ yi)(z2 _ zi )7.空间向量的数量积。（i）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,b ,在空间任取一点 O ,作OA = a,OB = b ,显然有则NAOB叫做向量a与b的夹角，记作< a,b > ；且规定0工父a,b n才 W-I n .

9、彳.一<a,b >=< b,a a；若<a,b *一，则称a与b互相垂直，记作：a _Lb 。2（2）向量的模：设 OA = a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|B 八,11 I I 一 MJ "八B _ 4 4（3）向量的数量积：已知向量a,b,则|a 11 b18s < a b >叫做a,b的数量积，记作a b即 a b 二面 |b| cos a,b（4）空间向量数量积的性质:2 2 a e = | a | cos Ma,eA。aLbu ab=0。|a| =(5)空间向量数量积运算律：（交换律）。 八八 3 Ga) b =九(

10、a b) = a (九 b)。 a b = b，/h + i i - a (b + c) = a 'b + a c (分配律)。不满足乘法结合率：（a b）c=a（b c）.空间向量与立体几何1 .线线平行 u两线的方向向量平行i-i线面平行u线的方向向量与面的法向量垂直i-2面面平行u两面的法向量平行2 .线线垂直（共面与异面） 二 两线的方向向量垂直2-i线面垂直二线与面的法向量平行2-2面面垂直 之 两面的法向量垂直3 .线线夹角9 （共面与异面）0O,90Ou两线的方向向量n1，n2的夹角或夹角的补角,cos-二cos < ni, n2 >3-1线面夹角e0O,90

11、O：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sing = cos< AP,n>3-2面面夹角（二面角）日0°,180°：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1,n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 .cos = ± cos< n1,n2 A4.点面距离h :求点P（x0,y0 ）到平面支的距离： 在平面口上取一点Q（x, y）,得向量PQ ;计算平面a的法向量n ;. hPQ nn|4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-

12、2面面距离（面面平行）：转化为点面距离'-4随堂演练一.选择题1 . （2017浙江）如图p已关口正四面体D-ABC（所有校长均相等的三棱锥）,P、Q% R分别为AE% BCx CA上的点，AP=PB ,空空=2,分别记二面角DPRQC-Qt D-PQ-R； D-QR-P的平面角为小07,则（）D . P<y<aA . y<a<p2 - （ 2017清城区校级一模）已知向量展二（2m-l, 3 , m-1） , ；=（2, m-m）,且展。贝炫数m 的值等于（>3. (2017* 甘肃二模)已知工=(-3 j 2 j S") j %= ( 1 j

13、 X, -1 ) j 且"工=L 则 x 的值是 (D. 34. （2017阳山县校级一模）已知A （2, -5, 1） , B （2, -2, 4） C （1, -4, 1）,则向量方与就 的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. （2017成安县校级模拟）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为底面的边长都为若P为底面A1B1C1的中心，贝"PA与平面ABC所成角的大小为（）6. （2017上饶县模拟）若一条直线与一个平面成72c角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所 成角中最大角等于（）

14、A. 72°B. 90°C . 108°D. 180°7. （2016秋马鞍山期末）空间四边形ABCD中，若向量方=CD=（7,1, -4）点E, F分别为线段BC, AD的中点,则而的坐标为（(-3, 5, 2)，A. (2, 3, 3)B. (-2, -3, -3)C. (5, -2, 1)D. (-5, 2, -1)8. （2017南开区模拟）已知长方体ABCD-AiBCDi中，AB=BC=4, CG=2,贝U直线BG和平面DBBQi所成角的正弦值为（）c.叵9. （2017娄底二模）过正方体ABCD-AiB（iDi的顶点A作平面a,使接AB ,

15、AD, AAi所在直线与平 面a所成角都相等，则这样的平面a可以作（A.1个B. 2个C. 3个D. 4个10.（2017江西二模）三棱柱ABC-AiBiCi的削棱与底面垂直，4A1=AB=AC=1 ,二B1C, N是BC的中点，点P在AI】上，且满足直线PX与平面ABC所成角H的正切值取最大值时人的值为（D*二填空题1 . C2017新课标III） a, b为空间中两条互相垂直的直线j等腰直角三角形ABC的直角边RCP斤在直线 与a, b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60匕角时，AB与b成30。角s当直线AB与a成60c角时，AR与b成60口角；直线AB

16、与a所成角的最小值为45，直线AB与m所成角的最小值为6。，其中正确的是 .填写所有正确结论的编号）2 .（2017仁寿县校级三模）已知Aj B, C三点都在体积为半的球O的表面上j若AB=4, ZACB=3 J01则球心。到平面ABC的距离为.3- （2017 晋中一模）设二面角*CD书的大小为45。A点在平面a内，B点在CD上，且/AEC=450贝J AB与平面R所成角的大小为4,（2017湖南一模）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球。的体积为幽巨则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为35. （2017 徐汇区校级模拟）在正三棱柱 ABC AB1cl中，各棱长都相等，

17、M是BB1的中点，则BC1与平面AC1M所成角的正弦值是.解答题1 . （2017天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD1平面PDC, A D / BC, PD1PB, AD=1, BC=3, CD=4, PD=2 .（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值j（n）求证：PDl平面PBC;（m）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.2. （2017浙江）如图，已知四棱锥P.ABCD, /iPAD是以AD为斜边的等艘 直角三角形，BCAD, CD1AD, PC=AD=2DC=2CB , E为PD的中点.（I）证明：CE"平面PAB;（n）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.3. （2017北京）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为 正方形，平面PAD1平面ABCD,点M在线段PB上，PD”平面 MAC, PA=PD= AB=4.（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B-PDA的大小j（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.4. （2017新课标n）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且 垂直于底面ABCD, AB=BC=!aD, ZBAD=ZABC=90°. E是PD的中点.2（1 ）证明：直线CE”平面PAB3（2）点M在棱PC上，旦直线BM与底面ABCD所成角为45。，求二面角M-A B-D的余弦值.5. （2016四