考向3直线与椭圆的综合问题精编版

1、考向 3直线与椭圆的综合问题 (高频考点 )命题视角直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有：(1) 由已知条件求椭圆的方程或离心率；(2) 由已知条件求直线的方程；(3) 中点弦或弦的中点问题；(4) 弦长问题；(5) 与向量结合求参变量的取值【典例3】 (2014 ·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点1，3的2x2y2椭圆 C：22的右焦点为F(1,0)，过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆C 交于 A，B 两点，点a b 1(a>b>0)B 关于坐标原点的对称点为P，直线PA， PB 分别交椭圆 C 的

2、右准线 l 于 M， N 两点(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2)8，33 ，试求直线 PA 的方程；若点 B 的坐标为 55(3)记 M， N 两点的纵坐标分别为yM， yN，试问 yM·yN 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由思路点拨 (1)根据椭圆定义求出a 的值， 再由 c 1 求出 b 的值，就可得到椭圆的标准方程，(2) 根据条件分别解出 A，P 点坐标，就可写出直线PA 的方程， (3) 先根据直线 AB 垂直 x 轴的特殊情况下探求yM， yN的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值本题难点在如何利用条件消去参数点共线可得到坐标关系，而

3、利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键解 (1) 由题意，得2a1 12 30 21 1 2 3 0 2 4，即 a 2，222 2又 c 1， b23，椭圆 C 的标准方程为 x4 y3 1.(2)B8， 33，P8， 33 ，又 F(1， 0)， kAB3，直线 AB：y 3(x1) ，5555x2y2联立方程组4 3 1，解得 A(0，3)，y 3 x1，3直线PA： y 4 x3，即3x 4y 43 0.(3) 当 kAB 不存在时，易得yMyN 9，1当 kAB 存在时，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 P( x2， y2)，2222x2 x1 x2 x1 y2 y1

4、y2 y1 ，x1y1 1， x2 y2 1，两式相减，得434343 y2 y1y2 y1 3 k，令 kk y2，则 k 3 ，2 x12 x14PA·kABAB21PA4kxxx直线 PA 方程： y y23 (x x2)， yM 3(x2 4) y2，4k4kyM 3 x2 4 x2 122，4y2 y2，直线 PB 方程： yy ·x， yN 4yx2x2yM yN 3× x24 x2 1222 4y2，又 x2 y2 1， 4y22 12 3x22，x2x243 yM yN 3× x24 x2 1 4x22 9，所以 yM yN 为定值 9.

5、, x2【通关锦囊】(1) 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或 y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2) 涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0 或不存在等特殊情形(3) 弦长问题利用根与系数的关系、弦长公式求解(4) 中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交(5) 与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可223，过点 F 且与 x【变式训练3】(2013 ·天津高考 )设椭圆 x2y2的左焦点为F，离心率为a b 1(a>b>0)34 3轴垂直的直线被椭圆截

6、得的线段长为3 .(1) 求椭圆的方程； (2) 设 A，B 分别为椭圆的左、 右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于C，D 两点若AC·DB AD·CB 8，求 k 的值解 c3，知 a 3c.(1) 设 F( c,0)，由 a3过点 F 且与 x 轴垂直的直线为x c，代入椭圆方程有 c2y26b ，a22 b 1，解得 y ± 326b432于是3 3，解得 b2，则 b 2又因为 a2 c2 b2，从而 a2 3， c21，所以所求椭圆的方程为x2 y2 1.32yk x1 ，(2) 设点 C(x1， y1)， D (x2， y2)，由 F( 1

7、,0)得直线 CD 的方程为 y k(x1)，由方程组22消x y 132去 y，得 (2 3k2)x2 6k2x3k2 6 0.2根据根与系数的关系知x1 x26k23k2 62，x1 x22.2 3k2 3k因为 A(3， 0)，B(3，0)， 所以 AC·DB AD ·CB (x13， y1) ·( 3 x2， y2) (x23， y2) ·( 3 x1， y1) 6 2x1x2 2y1y2 6 2x1x2 2k2(x11)( x2 1) 6 (2 2k2)x1x22k2 (x1 x2) 2k222k 122k2 12由已知得6 2 3k2 8，解

8、得 k ± 2.掌握 1 条规律椭圆焦点位置与x2， y2 系数之间的关系22给出椭圆方程 x y 1 时，椭圆的焦点在x 轴上 ? m>n>0；椭圆的焦点在y 轴上 ? 0<m<n.mn熟记 2 种方法求椭圆标准方程的方法1定义法：根据椭圆定义，确定a2， b2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程2.待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出22a ， b .掌握 3 种技巧与椭圆性质、方程相关的三种技巧1求椭圆离心率e 时，只要求出a，b，c 的一个齐次方程，再结合 b2 a2 c2 就可求得e(0 e 1)2.待定系数法求椭圆方程，应首先判定是

9、否为标准方程，判断的依据是：(1) 中心是否在原点；(2) 对称轴是否为坐标轴若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用3.椭圆上任意一点M 到焦点 F 的最大距离为a c，最小距离为a c.规范解答之 11直线与椭圆的综合问题xOy 中， F 1，F 2 分别是椭圆x2y2(14 分 )(2014 江·苏高考 )如图，在平面直角坐标系a2 b2 1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为 (0， b)，连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连接 F1C.4 1(1) 若点 C 的坐标为 3，3 ，且 BF

10、2 2，求椭圆的方程；(2) 若 F1C AB，求椭圆离心率e 的值3解：设椭圆的焦距为2c，则 F1 ( c,0)，F 2( c,0)(1) 因为 B(0， b)，所以 BF 2b2 c2 a.又 BF 2 2，故 a2.(2 分 )1612因为点 C 4， 1 在椭圆上，99所以故所求椭圆的方程为x y2 1.(6 分 )a2 2 1，解得 b2 1.(4 分 )33b2xy(2) 因为 B(0， b)， F 2(c,0)在直线 AB 上， 所以直线 AB 的方程为 c b1.x y 1，x1 2a22 c2， 0，222cba cx2所以点 A 的坐标为2a cb c a解方程组x2y2

11、得y1b c2 a2y2 b.a2 c2，a2 c2 .2 2 1，22 ，aba c又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为2a2c ， b a2 c2.(8 分)a2 c2a2 c2b a2c222 0b a2 c2bb a2 c2ba c因为直线 F 1C 的斜率为 2a2c3a2c c3 ，直线 AB 的斜率为 c，且 F1C AB，所以 3a2cc3 · ca2 c2 c 1.又 b2 a2 c2，整理得 a2 5c2.故 e2 1，因此 e 555 .(14 分 ),【智慧心语】易错提示： (1)忽略 a， b，c 三者的关系，造成运算量大而出现错误；

12、(2)不知把直线 BF2 的方程写成截距式x y1，导致无法得出关于a， b， c 的等式；c b(3)方程整理错误；(4)方程求解错误防范措施： (1)注意题已知条件关系的挖掘；(2) 写直线方程时，要注意分析已知条件，选取恰当的形式；(3) 要强化化简及运算能力(2014 ·苏州市高三调研测试 )如图，已知椭圆 x2y2【类题通关】22a b 1(a>b>0)1的右顶点为 A(2,0)，点 P 2e，2在椭圆上 (e 为椭圆的离心率 )(1) 求椭圆的方程；(2) 若点 B， C(C 在第一象限 )都在椭圆上，满足OC BA，且 OC·OB0，求实数 的值解

13、 (1) 由条件， a 2， e c2，代入椭圆方程，得2所以椭圆的方程为x y2 1.42c 1 2 1. b2 c2 4， b21， c2 3. 4 4b2(2) 设直线 OC 的斜率为k，则直线OC 方程为 y kx，代入椭圆方程x4 y2 1 即 x2 4y2 4，4得(1 4k2)x2 4， x2. 则 C22，2k2 .1 4k1 4k1 4k2又直线 AB 方程为 y k(x 2)，代入椭圆方程x2 4y2 4，得 (1 4k2)x2 16k2x16k24 0.xA 2， xB 2 4k2 12 4k2 1 4k2 .2. 则 B1 4k2 ，4k1 4k1 22 4k2k2 4

14、k 1OC·OB0， 1 4k2· 1 4k2 1 4k2· 14k20.k21. C 在第一象限， k>0，k2.2222k24k44kOC2 ，BA 22 4k 12 ，2，14k2 ，22，1 4k14k1 4k1 4k1 4k2123由OC BA，得 k 4.k 2 ， 2 .课堂练习：一、填空题22y1 (2014 安·徽高考 )设 F1， F 2 分别是椭圆E： x b2 1(0< b<1) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A， B 两点若 |AF 1| 3|F 1B|， AF 2 x 轴，则椭圆 E 的方程为

15、_2解析 设点 B 的坐标为 (x0， y0) x2 y2 1， F1( 1 b2， 0)， F2(1 b2， 0)bAF 2 x 轴， A(1 b2， b2)1 b2， b2) 3(x0 1b2， y0) |AF1| 3|F1 B|， AF1 3F1B， ( 252b2x0 31b ， y03 .点 B 的坐标为 52 5221b2， b.将 B1 b2， b代入 x2 y2 1，得 b2 2.3333b3椭圆23 2答案 23 21E 的方程为 x2y 1.x y2x2y22 (2013 ·标全国卷课 )已知椭圆E：a2 b2 1(ab 0)的右焦点为F(3,0) ，过点 F 的

16、直线交E 于 A，B两点若AB 的中点坐标为(1， 1) ，则 E 的方程为 _ 22x1y1解析 设 A(x1， y12， y2a2 b2 1，则 22)， B(x) ，x2y2a2 b2 1. x1 x2 x1 x2y1 y2 y1 y2y1 y2b2x1 x2得a2b2. x1 x2a2y1 y2.2bx1x2 2， y1 y2 2， kAB a2.2而 kAB 0 1 1， b2 1， a2 2b2，312a252222c2a2 b2 b2 9， b c 3， a 32，E 的方程为 x y 1. 答案 x y 1189189二、解答题x2y23(2014 ·标全国卷课 )设

17、 F1，F 2 分别是椭圆C：a2 b2 1(a>b>0)的左、右焦点， M 是 C 上一点且MF 2与 x 轴垂直，直线MF 1 与 C 的另一个交点为N.(1) 若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；(2) 若直线 MN 在 y 轴上的截距为2，且 |MN | 5|F1 N|，求 a， b.解 (1) 根据 c2 b2及题设知 Mb2， b2 3， 2b2 3ac.ac， aa42c将 b2 a2 c2 代入 2b2 3ac，解得 c 1， c 2(舍去 )故 C 的离心率为 1a2 a2.(2) 由题意，原点O 为 F 1F 2 的中点， MF 2 y 轴，所以直线

18、 MF 1 与 y 轴的交点D(0,2) 是线段 MF 1 的中点，故b22 4a. 4，即 ba由|MN| 5|F1N|得 |DF 1|2|F1N|.设 N(x1， y1)，由题意知 y1<0，则2 c x1 c，1 3 2y1 2，即x2c，y1 1.代入 C 的方程，得9c214a2 b2 1.将及 ca2 b2代入得 9 a2 4a1 1.4a2 4a解得 7，b2 4a 28，故a7， 2 7.ab4以定点 A(2,8)和动点 B 为焦点的椭圆经过点P（ 4,0）、 Q(2,0)(1) 求动点 B 的轨迹方程；(2) 是否存在实数 k，使直线 y=kx+2 与上述 B 点轨迹的

19、交点 ， 恰好关于直线 l ：y=2x 对称？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由解：设 B(x,y) ，依题设及椭圆定义有：|PA|+|PB|=|QA|+|QB| |QB| |PB|=|PA| |QA| (2 4)2828 2 B 的轨迹是以 P，Q 为焦点的双曲线的左支，由2a 2， 2c 6，得 b2=c2 a2= 321282y 2故所求的轨迹方程为 (x+1) 8=1(x2)若存在， 设交点为 C(x1，y12，y2122(x1 2) 又)，D( x) C、D 关于 l:y= 2x 对称， CD 中点在 l 上，y +y+x6C、D 在直线 y=kx+2 上， y1+y

20、2=k(x 1+x 2)+4 ，由、得 x1+x 2=42kykx2222由1) 2y得 (8 k )x +4(2 k)x 401( x84（4k）44(4 k )8 x1+x 2=8k 2由、得8k 2解得 k=2 k38216 1，故直线 CD 与 l 垂直这样的实数k 不存在。但 kCD ·k335过椭圆 C： y2x21(ab 0) 上一点 P 引圆 O： x2y 2b 2 的两条切线 PA、PB，切点为 A、 B，a2b2直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别相交于M、N 两点（1）设 P( x0 , y0 ) ，且 x0 y00 ，求直线 AB 的方程；（2）若椭圆 C 的

21、短轴长为8，且a 2b225 ，求此椭圆的方程；|OM |2|ON|216（3）试问椭圆C 上是否存在满足PA·PB =0 的点 P，说明理由解：（ 1）直线 AB 的方程：0x0yb2 (x0y00)2C的方程：x 2y21( xy 0)xy（ ）椭圆1625（3）假设存在点PAOB 为正方形，P( x0 , y0 ) 满足 PA·PB =0，连结 OA 、 OB，由 |PA|=|PB|，知四边形|OP|=2|OA| x02y022b 2又 P 在椭圆上 a 2 x02b 2 y02a 2 b2由得 x02b2 ( a22b2 )， y02a 2b 2a 2b 2a 2b

22、 2 ab0 a 2b2当a22 20即 a2b 时，椭圆 C 上存在点 P 满足题设条件；b当 a 22b 2 即 ba2b 时，椭圆 C 上不存在满足题设的点P.7考向 3直线与椭圆的综合问题 (高频考点 )命题视角直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有：(1) 由已知条件求椭圆的方程或离心率；(2) 由已知条件求直线的方程；(3) 中点弦或弦的中点问题；(4) 弦长问题；(5) 与向量结合求参变量的取值【典例3】 (2014 ·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点1，3的2x2y2椭圆 C：22的右焦点为F(1,0)，过

23、焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆C 交于 A，B 两点，点a b 1(a>b>0)B 关于坐标原点的对称点为P，直线PA， PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M， N 两点(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2)8，33 ，试求直线 PA 的方程；若点 B 的坐标为 55(3)记 M， N 两点的纵坐标分别为yM， yN，试问 yM·yN 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由思路点拨 (1)根据椭圆定义求出a 的值， 再由 c 1 求出 b 的值，就可得到椭圆的标准方程，(2) 根据条件分别解出 A，P 点坐标，就可写出直线PA 的方程， (3)

24、 先根据直线 AB 垂直 x 轴的特殊情况下探求yM， yN的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值本题难点在如何利用条件消去参数点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键【通关锦囊】(1) 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或 y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2) 涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0 或不存在等特殊情形(3) 弦长问题利用根与系数的关系、弦长公式求解(4) 中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交(5) 与向量结合的问题，通常利

25、用向量的坐标运算即可8223，过点 F 且与 x【变式训练3】(2013 ·天津高考 )设椭圆 x2y2的左焦点为F，离心率为a b 1(a>b>0)3轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433 .(1) 求椭圆的方程； (2) 设 A，B 分别为椭圆的左、 右顶点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于C，D两点 若AC· AD·DBCB 8，求 k 的值掌握 1 条规律椭圆焦点位置与x2， y2 系数之间的关系22给出椭圆方程 x y 1 时，椭圆的焦点在x 轴上 ? m>n>0；椭圆的焦点在y 轴上 ? 0<m<n.mn熟

26、记 2 种方法求椭圆标准方程的方法1定义法：根据椭圆定义，确定a2， b2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程2.待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a2， b2.掌握 3 种技巧与椭圆性质、方程相关的三种技巧1求椭圆离心率 e 时，只要求出 a，b，c 的一个齐次方程，再结合 b2 a2 c2 就可求得e(0 e 1) 2.待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1) 中心是否在原点；(2) 对称轴是否为坐标轴若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用3.椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的最大距离为 a c，最小距离为 a c.直线

27、与椭圆的综合问题22(14 分 )(2014 江·苏高考 )如图，在平面直角坐标系，F分别是椭圆 xy2 1(a>b>0)的左、右xOy 中， F 1 22ab焦点，顶点B 的坐标为 (0， b)，连接 BF2 并延长交椭圆于点A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连接 F1C.94 1(1) 若点 C 的坐标为 3，3 ，且 BF2 2，求椭圆的方程；(2) 若 F1C AB，求椭圆离心率e 的值【智慧心语】易错提示： (1)忽略 a， b，c 三者的关系，造成运算量大而出现错误；(2) 不知把直线 BF2 的方程写成截距式x y1，导致无法得出关于a， b， c 的等式；c b(3) 方程整理错误；(4) 方程求解错误防范措施： (1)注意题已知条件关系的挖掘；(2) 写直线方程时，要注意分析已知条件，选取恰当的形式；(3) 要强化化简及运算能力22【类题通关】(2014 ·苏州市高三调研测试) 如图，已知椭圆xy 1(a>b>