高等代数专题研究形成性考核册作业答案样本

1、高等代数专题研究作业参考答案高等代数专题研究作业1单项选择题：1-5: BCBDB、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、Aa1 a a2(a1)(a2)，且是A至ij B的双射。4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足:i :1 M;ii :如果 a M ,则 a' M。则 M含有一切自然数，即M N5、对于一个与自然数有关的命题T,若i：若n=1时命题T正确；ii:假设命题T对n<k正确，就能推出命题T对n=k正确。则命题T对一切自然数正确。计算题1、 解：A a,b到A a,b的映射一共有22 4 个,它们是：:a a,b a ,2: a a, b b ,3: ab,ba,

2、b, b a2、解：fg(x) f(3x2) 3(3x 2) 1 9x7,gf(x) g(3x 1) 3(3x1) 2 9x 53、解:1)在G中，14,41,而且26,65,52,可表为两个不相交的轮换的乘积:142652)3)四、1、证明题证明:(AC)(BC)(AC)(CC)(BC) (C C)(A C)(BC)B C (A C)(A C)(B C) (B C)A (C C) B (C C) A B2、证明：则于a b a b是由a与b惟一确定的(即ab a b不会得出以上不同的结果)，且为实数,因止匕”是一个代数运算。a b) ：c(a b a b) c (a ba b) cbacbc

3、abca*b;c) a/c b c)a (b c b c) a (bc b c)bacbcabc,因止匕 a ：|(b f|c)(a|b)|1c,即”满足结合律。 u u3、证明：当n=2时,Xix22Jxx2 ,因此命题对n=2正确当 n=4 时，x1x2x3x4为乂2)2鹏乂4)2同理可推出命题对n23 8, n24,2III无穷多个自然数成立。设命题对 n=kx1 x2X3X4)44，因此命题对n=4正确。2s,|“，都正确(s为任意自然数)，因此命题对xX2kkxk -,Sk 1X x2 I”k 1Xk 1Xix2Sk 1-2Xix2k 1自然数成立。4、IL kJtl kxk 1xk

4、 1Xk纳假设命题对n=k 正确，因此当n=2时,则32 HI于是对一切n简述题1、答：f(n)任取 n1,n2 Z ,任取f(n) N ,xk 1xk )kk 1 x#2空2"人1Sk 1,所发Sk 1k 1xk 1 ,命题对n=k-1也正确,11, 12 21 k2 (k 1)2 k2的自然数n来说,1,由反归纳法原理知，命题对一切假设之221(k 1)21122 3222n1nn00，给予证明如下且 B 1 ,则 f (nJf (02),若f(n)为奇数，则有n 0,132IIIk2 k 1 k(k 1)2111I-21n nf(n)是单射。使 f(n) 2n141, k(k

5、1)2k 11与之对应；若f(n)为偶数，则有n 0,使f(n) 2n与之对应，因此有f(n)是满射。因此f(n)是从Z到N的双射。2、答：空集合的募集不是空集合。应为 P()高等代数专题研究作业2单项选择题：1-5: DACCB填空题:1、n(daj2i 1naii 1b2 2、 (a b)b0 3、f(q1x1 q?x2) q1 f (Xi) q2 f (x?)4、P1345、P34计算题1、解：*(X 1)(x 2) 0x 5(x 1)(x 2)( x 5) 0因此原不等式的解集为(5,1) (2,) o2、 解：f 2(x, y, z) (3x6y 5z)2 1(3x)6 ( -12y

6、).5( ,5z)21212扁)2 (病2(9x212y25z2) 9(9x2 12y2 5z2) 9 9 81 ,即 f2(x,y,z)81 o6 一 一当 3x k, -12y6-k 、. 3k, 5z 、5k.129x222 k 212y2 5z2 9(3)2(,3k)2(J5k)2 9 成立,fmax(3x 6y 5z)d”11.ix-,y-,z1时329。f 取极大3、解：这是一个求具有约束条件a b c 1的极值同题，由于它有三个变量a,b,c因而不能用消元法来解，但1H)2 32 9,只有当a b C时等式成立。1、证明：右2 (x1 x22222 卬 X1因X1,X2,1“,

7、Xn都是正数，上式变为X| X2Xn222X1X2Xnr 1 FX2X3X1得证1 .1 11 一 .因此只有当a b c 1时，-1 -1 :取最小值27。3 a2 b2 c2四、证明题(X2 X3 UI % .吟氏 |K T x2 x3xn2、一. CA B再令u sinC 0,得u的一兀二次方程：2u2 2cosBu 1 t 224cos2 A-B 8(1 t) 0, 因 止匕 t 1 cos2 B 12223cos A cosB cosC 一。20,12由于uR,因此, 即3、证明：因为a1,a2,|,an是等差数列，则a1 a? | an(a1 an),则均值不等式 2AB C2 C证明：令 cos A cosB cosC 2cossin 1 2sin 一 t,222a an naa24 an 2aannn 2又：aana2an1,aa3an 2,aananan12 2n因此(aan)2 2包|信冏，因止匕Jaan 西司眄谪"，故结论得证。五、简述题1、答：设函数f(X)在某区间上定义，对于区间上的任意两点X1,X2,都有f(q1X1 q2X2) qf(X1)q2f(X2),其中 q1,q2 0,q q2 1 ,则称 f (x)在该区间上是下凸函