电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方精编版

1、一章习题解答1.1 给定三个矢量A、 B和C 如下：Aexey 2ez3Bey 4 ezC ex 5 ez2求：（ 1） aA ；（ 2） AB ；（3） A B ；（4）AB ；（ 5） A 在 B 上的分量；（ 6） AC ；（7） A (B C)和(A B) C ；（8）(A B)C和A (B C)。解 （ 1） aAAexey 2 ez31ey2ez3A1222ex1414( 3)214（ 2） A B (exey 2 ez3) ( ey 4 ez )exey6 ez453（3）AB(exey 2 ez3) ( ey 4 ez)11（4）由 c o s ABA B1 41 111，得A

2、Bc o s1 (11 )135.5A B1 72 3 8238（5） A在B上的分量ABA c o s ABA B11B17exeyez（6）A C1 23ex 4 ey13 ez10502exeyez（7）由于 BC041ex 8 ey 5ez 20502AB所以A(BC)(AB)C（8）(AB)Cexeyez123ex 10 ey1ez 4041(exey 2ez 3) (ex8 ey 5ez 20)42( ex10 ey1 ez 4) ( ex 5 ez 2)42exeyez10 1 4 ex 2 ey 40 ez5502exeyezA( BC )123ex55ey 44ez11852

3、0- 1 -1.2三角形的三个顶点为P1(0,1,2)、P2(4,1,3)和P (6, 2,5)。3（ 1）判断PP P是否为一直角三角形；123（ 2）求三角形的面积。解 （ 1）三个顶点 P1 (0,1,2) 、 P2 (4,1,3) 和 P3 (6, 2,5)的位置矢量分别为r1eyez 2 ， r2ex 4 eyez 3 ， r3 ex 6 ey 2 ez5则R12r2r1ex 4 ez ，R2 3r 3 r 2 ex 2 eyez8 ，R31r1r3ex 6 eyez 7由此可见R12 R23(ex 4 ez ) (ex 2 eyez 8) 0故 PP12 P3为一直角三角形。（ 2

4、）三角形的面积S1 R12R 2 31R 1 2R 2 31 1 769 17. 132221.3求 P ( 3,1,4) 点到 P(2,2,3) 点的距离矢量R及R的方向。解rPex 3 ey ez 4 ， rPex 2ey 2 ez 3 ，则RP PrPrPex 5 ey 3 ez且 RP P 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为xcos 1 ( exRPP )cos 1(5)32.31RP P35cos1eyRP P)cos1(3120.47y()RP P35zcos 1 ( ezRPP )cos 1(1) 99.73RP P351.4给定两矢量Aex 2ey 3 ez 4和 Bex

5、4ey5ez 6 ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。解A 与 B 之间的夹角为ABcos 1 ( A B )cos 1(31) 131A B29 77A 在 B 上的分量为ABAB313.532B771.5 给定两矢量 A ex 2 ey 3ez4 和 Bex 6ey 4ez ，求 AB 在 C ex ey ez上的分量。exeyez解AB234ex13 ey 22 ez10641所以 AB 在 C 上的分量为( AB)C( AB) C2 5C314. 431.6证明：如果 A BAC和A B AC，则BC ；- 2 -解由 ABAC，则有A( AB)A(A C)，即(A B)A (A

6、A)B (A C)A (A A)C由于 AB AC，于是得到(A A)B(A A)C故BC1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 A 为一已知矢量，pAX而PAX ， p 和 P 已知，试求 X 。解由 PAX ，有APA(AX)( A X ) A ( A A) X pA ( A A) X故得XpAAPA A1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4, 2,3) 定出，求该点在： （1）直角坐标中的坐标；（ 2）球坐标中的坐标。3解 （ 1）在直角坐标系中x4 c o s ( 23 )、 24sin(23)23、z3y故该点的直角坐标为( 2,23,3)

7、。（ 2）在球坐标系中r225 、tan1(4 3)53.1 、2312043故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 )1.9用球坐标表示的场Eer25 ，（ 1）求在直角坐标中点r 2(3,4,5) 处的 E 和 Ex ；（ 2）求在直角坐标中点(3,4,5)处 E 与矢量 Bex 2ey 2ez构成的夹角。解 （ 1）在直角坐标中点(3,4,5) 处， r 2(3)242( 5)250 ，故Eer251r 22ExexEE cosrx133225220（ 2）在直角坐标中点(3,4,5) 处， rex 3ey 4ez 5 ，所以E25 25rex 3 ey 4 ez 5r2r 3102

8、故 E 与 B 构成的夹角为EBcos 1(E B )cos 1 (19 (102) )153.6EB3 21.10 球坐标中两个点 (r1,1 ,1 ) 和 ( r2 ,2 ,2 ) 定出两个位置矢量R1和 R2。证明 R1和 R2间夹角的余弦为coscos 1 cos 2sin1 sin2 cos(12 )解由R1exr1 sin1 cos1eyr1 sin1 sin1ezr1 cos1R2ex r2 sin2 cos2ey r2 sin2 sin2ez r2 cos 2- 3 -得到cosR1R2R1R2sin1 cos 1 sin2 cos2sin1 sin1 sin2 sin2 co

9、s 1 cos 2sin1 sin2 (cos1 cos21 sin1 sin2 )cos 1 cos2sin1 sin2 cos( 12 )cos1 cos21.11一球面 S 的半径为5 ，球心在原点上，计算：S(er3sin) d S 的值。(er 3sin) d S( er 3sin )er d S252 sin d75 2解d3sinSS001.12在由 r 5 、 z0 和 z4 围成的圆柱形区域，对矢量Aer r 2ez 2z 验证散度定理。解在圆柱坐标系中A1r(rr 2 )(2 z)3r242r5z所以A dd zd(3r2)r d r1200000又A dS(er r 2e

10、z 2z) (erd Sre d Sez d Sz)SS4 25 2525dd z24r d r d12000000故有Ad1200A d SS1.13求（ 1）矢量 Aexx2ey x2 y2ez 24 x2 y2 z3 的散度；（ 2）求A 对中心在原点的一个单位立方体的积分； （ 3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 （1）A(x2 )(x2 y2 )(24 x2 y2z3 )2x2x2 y72x2 y2 z22）xyz（A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为1 21 21 21Ad(2 x 2x2 y 72 x2 y2 z2 )d x d y dz1 21 21 224

11、（3） A 对此立方体表面的积分1 21 2(1) d ydz1 21 2A d S( 1) d y dz22S1 21 221 21 221 21 22x2 ( 1) 2 d x dz1 21 21 )2 d x dz2x2 (1 21 221 21 221 21 224x2 y2 (1 )3 d x dy1 21 21)3 d xd y124 x2 y 2 (1 21 221 21 2224- 4 -故有Ad1A d S24S1.14计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求r 对球体积的积分。2解r d Sr er d Sdaa2 sind4 a3SS00又在球坐标系

12、中，r1(r 2r )3 ，所以r 2r2ar d3r 2 sind r dd4a300 01.15求矢量 Aex xeyx2ez y2 z 沿 xy 平面上的一个边长为2 的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和 y 轴相重合。再求A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。2222解A d lxd xxd x22 d y0d y 8C0000exeyez又Axyzex 2 yz ez 2xxx2y2 z2 2所以A d S(ex 2 yz ez 2x) ez d x d y8S0 0故有A d l 8A d SCS1.16求矢量 Ae xexy 2 沿圆周x2y2a2 的线积

13、分， 再计算A对此圆面积的积分。xyA d lx d xxy2 d y2a2 cos sina4 cos2sin 2a4解()dCC04AyAx ) ez d Sa 2a4A d Sez(y2 d Sr 2 sin 2r dd rxSSyS0041.17证明：（ 1）R3 ；（2）R0 ；（ 3） ( A R) A 。其中 R exxey y ez z ，A 为一常矢量。解 （1）xyzRy3xz- 5 -exeyez（ 2）Ryz0xxyy（ 3）设 A ex Ax ey Ayez Az ，则 A RAx x Ay y Az z ，故( A R) exx ( AxxAy y Azz) ey

14、y ( Ax x Ay y Az z)ezz ( Ax xAy y Az z)ex Ax ey Ay ez Az A0 ，那么函数 f (r ) 会有什么特点呢？1.18一径向矢量场 Ferf (r ) 表示，如果F解 在圆柱坐标系中，由F1 d rf (r )0可得到r d rf (r )CC 为任意常数。r在球坐标系中，由1 d 2Fr 2 d r r f (r )0可得到Cf (r )r 21.19给 定 矢 量函 数 E ex yeyx ， 试 求从 点 P1 (2,1,E d l ：（ 1）沿抛物线 x y2 ；（ 2）沿连接该两点的直线。这个解 （1）E d lEx d x Ey

15、d yyd x x d yCCC2y d(2 y2 ) 2 y2 d y26y2 d y 14111)到 点的线积分P2 (8, 2, 1)E 是保守场吗？（ 2）连接点 P1 (2,1,1) 到点 P2 (8, 2,1) 直线方程为x2x8即x6 y 40y1y222故Ed lEx d xEy d yyd(6 y4)(6 y4)d y(12y 4)d y 14CC11由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20求标量函数x2 yz 的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex3ey4ez5 定出；求(2,3,1) 点的方向导数值。505050解222exx ( x yz)eyy (

16、x yz)ezz (x yz)ex 2xyzey x2 zezx2 y- 6 -z故沿方向 elex3ey4550ez的方向导数为r5050rlel6xyz4x2 z5x2 yz505050r点 (2,3,1) 处沿 el 的方向导数值为z361660112oyl505050501.21试采用与推导直角坐标中xAAxAyAz相似的方法推导圆柱坐标下的公式题 1.21 图xyzA1(rAr )AAz。rr rz解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21 图所示。矢量场A 沿 er方向穿出该六面体的表面的通量为zzz zrAr r r ( rr )d r dArr r d r dzz(rr )Ar(r

17、r , z)rAr (r , z)z(rAr ) rz1(rA r )rrr同理rrz zrrzzAd r d zAd r d zrzrz A (r , z)A (r , z)rzAzArrrrrrzAz z z r d r dAz z r d r drr Az( r, zz) Az (r , z)rrzAz rrzAz因此，矢量场A 穿出该六面体的表面的通量为zz r z 1(rAr)AAz rrrz故得到圆柱坐标下的散度表达式Alim1(rAr )AAzrrrz01.22方程 ux2y2z2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。22c2ab2x2 y2z解由于uex a2ey b

18、2ez c2- 7 -u2( x2 )2( y2 )2( z2 )2abc故椭球表面上任意点的单位法向矢量为uxynu(ex a2ey b21.23 现有三个矢量A、B、C为Aer sincoszez c2 )e cos( x2 )2( y2 )2( z2 ) 2abccose sinBer z2 sine z2 cosez 2rz sinCex (3y22x)ey x2ez 2z（ 1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（ 2）求出这些矢量的源分布。解（ 1）在球坐标系中A1r (r2Ar )1(sinA )1Ar 2r sinr sin1(r 2

19、sincos)1(sin coscos )1( sin )r 2rr sinr sin2 sincoscos2sincoscos0rr sinrr sinerr er sineA1r 2 sinrArrAr sinAerr er sine10r 2 sinrsin cosr coscosr sinsin故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中11BBzB =(rB r )zrrr1(rz 2 sin)1( z2 cos )(2rz sin )r rrzz2 sinz2 sin2r sin2r sinrr- 8 -err e ezerr eez1

20、10Bzrrr rzBrrB Bzz2 sinrz 2 cos2rz sin故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中C = C xCyCzyxz(3 y22x)( x2 )(2 z) 0xyzexeyezCyzez(2 x 6 y)x3 y22x x22z故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。（ 2）这些矢量的源分布为A0 ，A0 ；B = 2r sin，B0 ；C0 ，Cez (2 x6 y)1.24利用直角坐标，证明( fA)f A Af解在直角坐标中fA A ff (AxAyAz) ( AxffAzfxyzxAy)yz( fAxf) ( fAyAyfAzAzfxAxy

21、) ( fz)xyz( fAx )( fAy )( fAz )( fA)1.25xyz证明( AH ) HA AH解根据算子的微分运算性质，有(A H)A(A H)H(A H)式中A 表示只对矢量 A 作微分运算，H 表示只对矢量H 作微分运算。由 a (b c)c (a b) ，可得A(A H)H ( AA)H (A)同理H(A H)A ( HH )A (H )故有1.26( AH )HAAH利用直角坐标，证明- 9 -解在直角坐标中( fG)fGfGfG f ex (GzG y)GxGz)GyGx)yzey (xez (xyzf G ex (GzfGyf ) ey (GxfGzf ) ez (G yfGxf )yzzxxy所以fGf G ex( GzffGz ) (GyffGy)zyyzey(GxffGx) (GzffGz)zzxxez(G yffGy) (GxffGx)xxyyex ( fGz )( fG y ) ey ( fGx )( fGz )yzzxez( fGy )( fGx )( fG)yx1.