BB52常数项级数的判敛法ppt课件

1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、任意项级数的判敛法三、任意项级数的判敛法 第二节第二节一、正项级数的判敛法一、正项级数的判敛法常数项级数的判敛法常数项级数的判敛法 第五章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法假设,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数正项级数1nnu收敛部分和序列nSnSSSS321,有界 .假设1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”定义定义定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 1,1nnu 21nnv且存在,ZN对一切,Nn

2、 有1、 若级数2)则级数(1)2、 若级数1）则级数2）证略证略则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 两个正项级数, (常数 k 0 ),121. 1nn解解 1：21nun11nn发散 ,例例1：判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性11. 2nn11nnvn211nnn1112nnn而收敛由比较判别法可知原级数收敛解解 2：nun1nvn1nn11而由比较判别法可知原级数发散例例2. 讨论讨论 p 级数级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 假假设设, 1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散

3、,pn12假设, 1p顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起pppppppp151817161514131211pppppp8181414121211312112121211ppp收敛121pq此式由比较判别法可知 p1 时，p 级数收敛。发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu证明级数1) 1(1nnn发散 .证证: 因为因为2) 1(1) 1(1nnn

4、),2, 1(11nn而级数111nn21nn发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .例例3.3.211的敛散性判别级数nnn:解nnnnu2121收敛而级数121nn.211收敛级数nnn例例4 4定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l =+ ,1发散时且nnv.1也发散nnu证明略！证明略！设两正项级数满足(1) 当 0 l 1, 则原级数收敛。1!. 4nnnen解：解：nnnuu1limnlimnne111比值法失效，但的，的

5、增大单调上升趋于是随ennn11, 11nnuun都有对任何故级数发散。11)1()1( !limnnnnnen! nennnnnnnne)1 (limnlim 0!2nnn解：考虑以解：考虑以 2!nnn为通项的级数 21!nnnn用比值法知级数收敛，nnulim 2!nnnnlim0例例2：求证：求证定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设 1nnu,limnnnu那么;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 证明略证明略 为正项级数, 且1例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p

6、级数发散 .时 , 级数可能收敛也可能发散 .例例1：判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性12. 1nnnnnnu2解：解：nlimnnnulimnnn221由正项级数的根值判别法可知原级数发散。1. 2nnnen解：解：nnnenu nnnulimnlimen由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。1313. 3nnnnnnnu34313解：解：nvnnnvlimnlimnn3431由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法判别

7、法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于S, 且,1uS :的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibn

8、itz 判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛nnu101三、任意项级数的判敛法三、任意项级数的判敛法 定义定义: 对任意项级数对任意项级数,1nnu假设若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称111) 1(nnn,!1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛 ,1nnu原级数1nnu为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称原级数条件收敛条件收敛 .nu可正可负可为零。定理定理7. 绝对收敛的级数

9、一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛 , 令例例1. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :;sin) 1 (14nnn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因而14sinnnn绝对收敛 .解解,2nnenunnnulim11e因而12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.) 1()2(12nnnen例例1. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :11321) 1()

10、3(nnnn:解021limnnu发散11321) 1(nnnn例例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。1111. 1nnnn分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别法，关键是将通项绝对值如何放大或缩小。nlim又nunnn11lim0nnuu1nunn1nn11121nnv解：解：原级数条件收敛！1而nnv是发散的级数11) 1ln(1) 1(2nnnnnun0) 1ln(1) 1ln(1nun1)2ln(1nun条件收敛11) 1ln(1) 1(nnn:解) 1ln(1nun11)1ln(1nn即发散1) 1(1nn例例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。发散1) 1ln(1nn内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用其它方法