《数学模型》考试试卷

1、一：填空题1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是sk41 = sk + (1)kdk。(允许决策模型)21、2、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是 Qi =p。ni(n1)Gc2rT2c13、存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为C(T) = + ，当T = J 时，C(T)最小。T 2Qr4、LINGO 中，表示决策变量 x是0-1变量的语句是 gin(x)。5、一阶自治微分方程 X = f (x)的平衡点是指满足_ f (x) =0_的点，若_ f '(x) <0_成立，则其平衡点是稳定的。6、市场经济中的蛛网模型中，只有当 Kf < Kg时，平

2、衡点 P0才是稳定的。7、“传染病模型”中SIS模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ,则共有n个钩子的系统中，一周期内被触到k个钩子的概率为_C： pk(1- p)-1_o9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程x(t) = x0ert建立的。我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微dxx分方程Y_=rx(1)建立的。dtxm10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D中的元素。211、建立起的“录像机计数器的用途”模型 t = an2 + bn中的参数a和b可用 数值积分

3、 方法求得。12、双双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的1/2。“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能97 % o13、传传染病模型”中所未涉及的模型是 sis模型.14、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是吸收链存在唯一极限状态概率。15、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下，假设人口增长率是人口数量的减函数。16、“人口阻滞增长”模型中，当人口数 x(t) = xm/2 时，人口增长率最大；当人口数 x(t) = xm时，人口增长率为0O_. 2wk 22 rk17、“录像带计数器的读数”多种万法建立的模型都是 t=n +n。”

4、录像机计数器的用途” 模型中，计数器的读vv数的增长速度越来越慢。T , T18、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是Q = k 。d19、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有总产值的增长、单位劳动力产值的增长。“经济增长模型”中，要保持总产值Q(t)增长，即要求。dQ C 0d6t 一20、”传染病模型”中SIR模型是指被传染者康复以后具有免疫性，不再感染该传染病。21 .存贮模型的优化目标是平均每天费用最小。22 .“经济增长模型”中，要保持平均每个劳动力的产值z（t）增长，即要求 劳动力的增长率小于初始投资增长率。23 . “层次分析模型”中成比对矩阵A = （aj）如果

5、满足如下 aj -ajk =aik式，则称为一致阵。二：概念题1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？ （5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？（5分）答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。3、人工神经网络方法有什么特点？（5分）答：（1）可处理非线性；（2）并行结构.；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。三：问答题1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。（10'）答：（1）建模过程：模型准备一模型

6、假设一模型构成一模型求解一模型检验-模型应用。（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工 3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为 120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）（10'）解：（1）确定决策变量：*1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量4分（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售

7、收入最大max z=50x1+30x2（3）确定约束条件：4x1+3x2<120 （木工工时限制）2x1+x2>50 （油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：max S=50x1+30x2s.t. 4x1+3x2<1202x1+ x2>50x1, x2 >03、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）（10'）后人10,指派第i人完成第j项工作解：令 xj =4目 标 函 数：j11,不指折派第i项工作min Z =15X|1 18x12 21x3

8、24x14 19x21 23x22 18x2426x31 17x32 16x33 19x34 19x4121x4217x44约束条件：xil - X21 X31 X41 =1 I,xl2 ' X22 ' X32 ' x42 =1 st| xl3X23'X33 x43=1X|4- X24-X34- X44=1(10)4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训I。答：(1)方法：机理分析、测试分析、实例研究(2)能力：想象力、洞察力5试用简练的语言全面的描述商人怎样安全过河”该类问题。(10')答：求决策dk w D(k =1,2,，n),使

9、状态sk w S按照转移律sk41 = sk +(1)kdk,则初始状态= (3,3)经有限步n到达状态sn牛=(0,0)。6、分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。(10')答：(1)当右轮盘转到第i圈时其半径为r +wi ,周长为2n(r + wi) , m圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即:m2 2n(r + wi) = vt ;i 1(2)考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即：22,叫(r + wkn) - r = wvt ;(3)考虑用微积分的理论，有某小时间段 dt内录像带转过的长度为速度 v乘以dt，它

10、等于右轮盘绕上的录像带长度(由于m = kn),即：vdt = 2冗(r + knw)kdn ；以上三种方法都可得到：一,2wk 22 rkt =n +n。vv7、简述差分方程平衡点的稳定性定义、三阶线性常系数差分方程平稳点稳定性的判别条件和非线性差分方程平稳点的稳定性判别条件。(10)答：(1)差分方程的平衡点X*若满足：当kT 8时，XkT X* ,则称平衡点X*是稳定的。(2)若三阶线性常系数差分方程 Xk七+ “Xk由+a2Xk =b的特征方程 九2 +“九+ a2 = b的根%(i = 1,2,3)均 有<1 ,则该差分方程的平衡点 x*是稳定的，否则是不稳定的。(3)非线性差

11、分方程xk+ = f (xk)的平衡点x*若满足f '(x*) < 1 ,则平衡点x*是稳定的；否则若f '(x*) a 1 ,则平衡点x*是不稳定的第3页，共10页8:某中学有三个年级共 1000名学生，一年级有 219人，二年级316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请 用下列办法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法；（2） Q值法。另外如果校级优秀学生名额增加到21个,重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。“ 一、 219316465解：20个席位：（1）、父20 = 4.38,父20 = 6.32, x 20 = 9.3

12、0因此比例加惯例分配结果为 5、6、1000100010009 个。（2）三方先分得 4、6、9个，Q一组=2398.05, Q2二2;2377.524 56 7八 465Q3 = =2402.5, Q3 最大，按 Q 值法分配结果为 4、6、10 个。oooooooooooooooooo 8 分9 1021931646521个席位：（1）'21 =4.599,父21 =6.636,父21 = 9.765因此比例加惯例分配结果为 4、7、100010001000口4 .4652人中10个。（2）三万先分得4、6、10个， Q3 = = 195.68 , Q1最大，按Q值法分配结果为5、

13、6、1010 11个。16 分显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1,而Q值法分配结果恰女?也满足准则 2,因此Q值法分配结果是同时符合准则1和准则2.。oo OO 20 分9:大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵一 13 51A= 1/312 ,方案层对1/5 1/2 1_1 1/4 1/7准则层的成对比较矩阵分别为 B1 = 411/2 , B27 21 J请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。1371461/313 ,B3=

14、1/412J/71/311J/61/211解：用“和法”近似计算得:矩阵 A对应的权向量为：(0.65,0.23,0.12)T ,最大特征根为 3.003697, CI =0.0018, CR = 0.0031矩阵 B1 对应的权向量为：(0.08,0.32,0.60)T ,最大特征根为 3.001982, CI =0.001, CR = 0.0017矩阵 B2对应的权向量为：(0.67,0.24,0.09)T ,最大特征根为 3.00703, CI =0.0035, CR = 0.006第4页，共10页矩阵 B3 对应的权向量为：(0.70,0.19,0.11)T ,最大特征根为 3.009

15、22, CI =0.0046, CR=0.00812分组合权向量为(0.292628,0.283708,0.423664)T16分因此最佳的岗位为岗位 310：某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保 险合同终止(退保)。 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理 赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况,以及出现每种情况的概率各是多少?解:,从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸

16、收状态，此为吸收0.7.010.60.3第9页，共10页链。5匚°036-0.10.7。6 分1T1y = Me = (5一 ,6),因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过5或6年投保人就会出现退保或死亡的情33况。12 分0.72 0.28F = MR = I,因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72和0.28;在投保0.66 0.34_时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。四：模型求证题1、某人早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店.证

17、明:这人必 在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分)证明：记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t),下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在a,b是连续函数。作辅助函数F(t)=Wt)-g(t),它也是连续的，则由 f(a)=0,f(b)>0 和 g(a)>0,g(b)=0,可知 F (a) <0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于（a,b）使F（t0）=0,即f（t0）=g（t0） O2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的

18、任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？（15分）解:模型构成：记第k次渡河前此岸的商人数为 xk,随从数为yk , k=1, 2, , xk , yk =0, 1, 2, 3。将二维向量sk = （ xk, yk） 定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做 S OS= x, y | x = 0,y =0,1,2,3; x = 3, y = 0,1,2,3; x = y = 1,2 k k k）己 k-t 白勺u k 11V k J 各二维向量dk=（uk, vk ）定义为决策。允许决策集合记作 D,由小船

19、的容量可知 D= （u,v）|1 W u +v Wv,u,v= 0,1,2 k（3分）X态sk随dk的变化规律是：sk书=sk +（1）*dk（3分）模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）五：计算题（共5小题，每小题 9分，本大题共 45分）113、1、A=114 试用和法求出A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时，RI=0.58）/3 1/4 1,答：A =113、3/7 4/9 3/8、1.248、14中各列归一化3/7-4/9 4/8,各行求和1.373J/3 1/4 1<1/7 1/9 1/8©569,=w 2分 而4.328）3Aw= 4.897 ,

20、（1分）所以最大特征根为（公生+4897+13"）=3.1233 口 wi3 1.248 1.373 0.5691328Ji2分 -33.123-3CI0.061其一致性指标为：CI= = =0.061 2分CR= = =0.106 A 0.1 ,所以A不通过一致性检验。2分3-12RI0.582、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收 200元。若租给某丙开发旅游业可收 300元。当丙请 乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用 shapley值方法分配各人的所得。（9分）答：甲、乙、丙所得应为 250元，50元，100元（步骤略

21、）3、产品每天需求量为常数r,每次生产准备费用为C”每天每件产品贮存费用为C2,缺货损失费为C3,试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分）解:模型假设：1.产品每天需求量为常数 r 2.每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为 c23.生产能力无限大，缺货损失费为C3 ,当t=Ti时产品已用完4.生产周期为T,产量为Q(2分)模型建立：一周期总费用如下：C2T1QC =C 2_2C3r (T T1)一周期平均费用为f（T,Q）22Ci C2Q , C3(rT -Q)T 2rT2rT(2分)模型求解：用微分法解得周期T；2Ci(C2 +C3)(1 分)

22、产量2rC 1c3(1分)4、人的状态分为三种：1 （健康），rC 2C3:C2(C2 - C3)2 （患病），3 （死亡）。0.65,健康9.8解：X大态i =1（健康）i =2，患病,i = 3（死匚）依歇易得转移概率阵为 P = 0.650.180.020.250.1设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8,患病的概率为0.18,而今年患病的人明年健康的概率为的概率为0.25,构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。（1分）易是：i=3磔亡是吸收状态，二马氏链是吸收链。(2分)0.180.2=Me =-0.8 0.18、©65

23、0.25,0.93、0.0430.85；0.020.2-0.65由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为1 0.1810.25 )930和430.750.04310.65850(1分)43分记 ct(n )= (a1 (n ) a2(n), a3(n),则o(n+1(n)-P (n=1,2,)5.设渔场鱼量满足下列方程：（9分）X 2x(t) = rx(1 -() ) -h（1）讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况（2）如何获得最大持续产量解：X 2.令F(X) Wh,3x2F(x) = r(1-甫)X 2 f(x)f(1 -.h的最大值点为（2rN,3, 3（2分）>2rN / 3时，

24、无平衡点(1分)<2rN /3 时,有两个平衡点 xi(< N / J3)和 x2(a N / J3),经过判断X1不稳定,X2稳定(2分)=2rN / 3时,平衡点xo = N / J3，由F '（X0） = 0不能判断它稳定性（2分）（2）为了获得最大持续产量，应使x a N / J3且尽量x = N / <3接近，但操作困难(2分)六：建模题（共 2小题，每小题10分，本大题共20分）1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速

25、率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解）解：假设ci （t）、xi （t）和Vi分别表示第i室（i =1.2）的血药浓度，药量和容积，k1声口 k21是两室之间药物转移速率系数,k也是从中心室（第1室）向体外排除的速率系数 13x1 (t) = ki2X1 一 ki3 ,Xi + k?i 又2 + fo (t).(1)x2 (t) = K2X1 k21 又2（其中 f0（t）是给药速率）及 xi（t）=Vi，ci（ty（2）c1(t) = -(k12 , %)。1 , v2k21c2 , f)于是：C2(t) =、k12 G k21c2 V22某工厂拟安排生产计划

26、，已知一桶原料可加工 10小时后生产A产品2公斤，A产品可获利30元/公斤，或加工8小时可生产B产 品3公斤，B产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C产品4公斤，C产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为 60桶，加 工工时至多为460小时，且A产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不 必求解,10分）。答：设每天安排x1桶原料生产A产品，x2桶原料生产B产品，x3桶原料生产C产品，则有: max z = 60x1 54x2 48x3'2x1 +3x2 +4x3 <6010x1 +8x2 +6x3 <460s.t.2x1 < 58x1,x2,x3 - 0七（1）：简答题（本题满分 16n每小题8分）1、在录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别;八 八 m（m 1）1、 答：由（D 得 2nmr + 2n切 =vt,。4分22k2 2 kn 0、将m = kn代入得 t=n +（2r +©）,。6分v v因为 r >> co 所以 2r +8定2，则得（2）。8分2、试说明