2019年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05 不等式)

1、1. (2012 安徽文、理)若 x, y 满足约束条件： í x + 2 y ³ 3 ；则 x - y 的最小值是（  ）ï2 x + y £ 32012 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05 不等式）一、选择题：ìx ³ 0ïî

2、;( A) -3( B) 0(C )3( D) 32【解析】选 A【解析】 x - y 的取值范围为 _ -3,03约束条件对应 DABC 边际及内的区域： A(0,3), B(0, ), C (1,1) 则 t = x - y Î -3,022. (2012 福建理)下列不等式

3、一定成立的是（）A.C.【答案】CB.D.【解析】lg( x2 +   ) ³ lg(2   x2 ×   ) = lg x ，当且仅当 x2 =14411        1A时，即 x =  ，因此， 错；当 sin x

4、0;< 04        2时，不可能有 sin x +1sin x³ 2 ，因此 B 错；由基本不等式 x 2 + 1 =| x |2 +1 ³ 2 | x | ，因此， C 对；因为 x2 + 1 

5、³ 1 ，所以1x2 + 1£ 1 ，因此， D 不对.3.  (2012 福建理)若函数 y=2x 图像上存在点（x，y）满足约束条件 í x - 2 y - 3 £ 0 ，则实ï x ³ mA       

6、 B.1      C.          D.2【点评】运用基本不等式，不等式的性质可以解题，解题时要注意利用基本不等式时等号成立的条件，关注是否可以成立ì x + y - 3 £ 0ïî数 m 的最大值为 （）1322【答案】B【解析】如图，当 y = 2

7、 x 经过且只经过 x - y - 3 = 0 和 x = m 的交点时，M 取到最大值，此时，即 (m,2 m) 在直线 x - y - 3 = 0 ，则 m = 1.【点评】本题考查线性规划问题，检验学生的数形结合能力和转化能力 结合不等式先画可行域，描出动直线 x =

8、60;m ，其它直线和函数都是确定的，当 m 向右移动到 y=2x的最终可接触点时，即为所求4.  (2012 福建文)若直线 y=2x 上存在点（x，y）满足约束条件 í x - 2 y - 3 £ 0 则实数 m 的最大值ï x ³ mì x + y - 

9、3 £ 0ïî为（）A.-1B.1C.32D.25. (2012 广东文)已知变量 x ， y 满足约束条件 í x - y £ 1 ，则 z = x + 2 y 的最小值为（  ）ï x + 1 ³ 0yA.  3&#

10、160;        B.  1        C.  -5      D.  -65. C.  不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分， z = x + 2 yA6(2012 广东理)已知变量 x,y&

11、#160;满足约束条件 í x + y ³ 1 ，则 z = 3x + y 的最大值为（  ）ï x - y £ 1【解析】因为 x+y-3=0 和 y=2x 交点为（1，2） 所以只有 m1 才能符合条件，B 正确【答案】B【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域，考

12、查分析判断能力。逻辑推理能力和求解能力。ì x + y £ 1ïîx + y = 1x - y = 111可化为直线 y = -x +z ，则当该直线过点 A(-1,-2) 时，22Oxz 取得最小值， z= -1 + 2 ´ (-2) = -5 .

13、minx + 1 = 0ì y £ 2ïîA12B11C3D - 1（解析： B）z = 3x + y ，即 y = -3x + z ，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线 y = -3x + z经过点（3, 2）时， z 取得最大值 11。c &

14、#160;ca  b7. (2012 湖南文) 设 ab1， c < 0 ，给出下列三个结论：www.z#zste&*； ac  bc ；  log (a - c) > log (b - c) ，ba其中所有的正确结论的序号是（）AB. C. D. 【答案】D【解析】由不等式及 

15、ab1 知1  1             c  c< ，又c < 0 ，所以  ，正确;由指数函数的图像与性质a  b             a  b知正确；由 a

16、b1， c < 0 知 a - c > b - c > 1 - c > 1，由对数函数的图像与性质知正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数是常考知识点.8、(2012 江西理)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 计，投入资金不超过 54 

17、;万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 - 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A50，0B30，20C20，30D0，508.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元，则目

18、标函数为ì x + y £ 50,ï  x ³ 0,            ï  x ³ 0,ï1.2 x + 0.9 y £ 54,z = (0.55 ´ 4

19、 x - 1.2 x) + (0.3 ´ 6 y - 0.9 y) = x + 0.9 y .线性约束条件为 íï x ³ 0,ïî y ³ 0.ì x + y £ 50,ì x 

20、+ y £ 50,4 x + 3 y £ 180,ïï4 x + 3 y £ 180,í作出不等式组 í表示的可行即îï y ³ 0.îï y ³ 0域,易求得点 A (0,50 ), B (30,2

21、0 ), C (0,45 ).平移直线 z = x + 0.9 y ，可知当直线 z = x + 0.9 y 经过点B (30,20 ),即 x = 30, y = 20 时,z 取得最大值,且 zmax= 489.(2012 辽宁文、理)  设变量 x，y&

22、#160;满足 í0 £ x + y £ 20, 则 2 x + 3 y 的最大值为（  ）ï0 £ y £ 15（万元）.故选 B.【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化设元写出约束条件和目标函数;(3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线

23、斜率间的关系；(4)作答就应用题提出的问题作出回答体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.ìx - y £ 10ïî(A) 20(B) 35(C) 45(D) 55【答案】D【解析】画出可行域，根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大，最大值为 55，故选 D【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接

24、求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。10.(2012 全国新课标卷文)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点（x，）在ABC 内部，则 z = - x + y 的取值范围是（）（A）(1 3，2)（B）(0，2)（C）( 31，2)（D）(0，1+ 3)【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题.【解析】有题设知 C(1+ 3 

25、;,2)，作出直线 l ：- x + y = 0 ，平移直线 l ，00有图像知，直线l : z = - x + y 过 B 点时， z=2，过 C 时， zmax z = - x + y 取值范围为(1 3，2)，故选 A.min=1 - 3

26、60;，11.(2012 山东文、理)设变量 x, y 满足约束条件 í2 x + y £ 4,  则目标函数 z = 3x - y 的取值范围是ï4 x - y ³ -1,ì4 x - y = -1     ï

27、;ïî y = 3ì x + 2 y ³ 2,ïî（）333(A) - ,6(B) - , -1(C) -1,6(D) -6, 222【解析】做出不等式所表示的区域如图，由 z = 3x - y 得y = 3x - z ，平移直线 y =&

28、#160;3x ，由图象可知当直线经过点E(2,0) 时，直线 y = 3x - z 的截距最小，此时 z 最大为z = 3x - y = 6 ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时ì1x =z 最小，由 í，解得 í2 ，此时î 2 x + y = 433z

29、0;= 3x - y =- 3 = -，所以 z = 3x - y 的取值范围是223-,6 ，选 A.2【答案】A12. (2012 陕西文)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b（a<b），其全程的平均时速为 v，则（）A.a<v< abB.v= abC.ab <v<a + b  

30、;      a + bD.v=2           2解析：设从甲地到乙地所走路程为S，则v=     =     =    <     =ab ,S  S  

31、1  1  a + b  2   aba < b, v =    >    = a, a < v <   ab.选A.2S22ab2ab+abab2ab2a 2a + b2a答案：A.点评：本题主要考察基本不等式及其应用，其中正确列式巧

32、妙运用均值不等式是关键，同时也要注意题设条件.ï X ³ 0ì x - y ³ -3,ï x + 2 y £ 12,ïï13、(2012 四川文)若变量 x, y 满足约束条件 í2 x + y £ 12 ，则 z = 

33、3x + 4 y 的最大值是（）ï x ³ 0ïïî y ³ 0A、12B、26C、28D、33答案C解析目标函数 z = 3x + 4 y 可以变形为3z3y =-x +，做函数 y = -x 的平行线，444当其经过点 B（4,4）时截距最大时，即 z 有最大值为 

34、z = 3x + 4 y = 3 ´ 4 + 4 ´ 4 = 28 .点评解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.14、(2012 四川理)某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克

35、；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过12 千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800 元B、2400 元C、2800 元D、3100 元答案C解析设公

36、司每天生产甲种产品 X 桶，乙种产品 Y 桶，公司共可获得 利润为 Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Yì X + 2Y £ 12ï2 X + Y £ 12且 íïîY ³ 0画可行域如图所示，目标函数 Z=300X+400Y 可变形为Y= -3  

37、;  zx +     这是随 Z 变化的一族平行直线4   400ì2x + y = 12ìx = 4解方程组 íí即 A（4,4）  Zî x + 2y = 12î y = 4max = 1200 

38、;+ 1600 = 2800、点评解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件） 二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.15. (2012 天津文)设变量 x,y 满足约束条件 íx - 2 y + 4 ³ 0 ,则目标函数 z=3x-2y 的最小值为（  ）ïx - 1 £

39、60;0ì2 x + y - 2 ³ 0ïî（A）-5（B）-4（C）-2（D）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由 z = 3x - 2 y 得y =3   z                  

40、;  3   zx -  ，由图象可知当直线 y =  x -  经过点 C (0,2)2   2                    2   2A. 

41、60; 243z时，直线 y =x -的截距最大，而此时 z = 3x - 2 y 最小为22z = 3x - 2 y = -4 ，选 B.【答案】B16. (2012 浙江文)若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是（）28B.C.5D.655【答案】C【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧

42、。【解析】x+3y=5xy，113´ 2 ´ 36 += 5 .551  3      1         1  3  1 3x 12 y  13+  = 5 ，  (3x + 4

43、 y) × ( + ) = (  + ) +  ³y  x 5         y  x   5 y   x    517.(2012 重庆文)不等式x - 1x

44、0;+ 2< 0 的解集是为（  ）（A） (1,+¥)（B）(-¥, -2)（C） -2，1）（D） (-¥, -2)  (1,+¥)【答案】：C【解析】： x - 1 < 0 Þ ( x - 1)(x + 2) < 0 Þ -2 

45、;< x < 1x + 2【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解18.(2012 重庆理)不等式x - 12 x + 1£ 0 的解集为（  ）B. ê- ,1ú   C. ç - ¥. - ÷ È 1,+¥&

46、#160;) D. ç - ¥,-   ú È 1,+¥ )A. ç - ,1            19.(2012 重庆理)设平面点集 A = í( x, y) ( y - x

47、)( y -   ) ³ 0ý , B =  ( x, y) ( x - 1)2 + ( y - 1)2 £ 1  ，ìxæ 1 ùé 1 ùæ1 öæ1 &#

48、249;û2 øè2 úë 2 ûèè2 û【答案】 A【考点定位】本题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵活运用不等式的性质，属于基础试题1üîþ则 AB 所表示的平面图形的面积为（）（A）   p      （B）p     （C） 

49、60; p      （D）34573 4p2答案： ç - ¥,-   ú3.2 【解析】 解法一）作出不等式组 í x + y ³ 1,ï3x - y £ 3二、填空题:1. (2012 福建文)已知关于 x 的不等式

50、0;x2-ax2a0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_。【解析】因为 不等式恒成立，所以 D <0，即 a2 - 4 × 2a <0 所以0<a<8【答案】（0，8）【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法，解法的三种情况的理解和把握是根本。2(2012 广东理)不等式 x + 2 - x £ 1 

51、的解集是æ1 ùè2 û3. (2012 湖北文) 若变量 x，y 满足约束条件则目标函数 z=2x+3y 的最小值是_.ì x - y ³ -1,ï（î所表示的可行域(如下图的 DABM 及其内部）.ì可知当直线 z = 2 x + 3 y 经过 í

52、; x + y = 1, 的交点î3x - y = 3M (1,0 )时， z = 2 x + 3 y 取得最小值，且zmin= 2 .（解法二）作出不等式组 í x + y ³ 1,   所表示的可ï3x - y &#

53、163; 3ì x - y ³ -1,ïî行域(如下图的 DABM 及其内部）.目标函数z = 2 x + 3 y 在 DABM 的三个端点A (2,3 ), B (0,1), M (1,0 ) 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数 z = 2 x +

54、 3 y 的最小值为 2.【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用.4. (2012 湖南文)不等式 x2-5x+60 的解集为_.     【答案】 x 2 £ x £

55、0;3     【解析】由 x2-5x+60，得 ( x - 3)(x - 2) £ 0 ，从而的不等式 x2-5x+60 的解集为x 2 £ x £ 3.【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力b  cc5. (2012 江苏) 已知正数 a， ， 满

56、足： 5c - 3a  b  4c - a ， ln b  a + c ln c ，则【答案】 e,7c【解析】根据条件 5c - 3a  b  4c - a ， ln b  a + c ln c ，a

57、0;£ c(ln b - ln c ) = c lnbabc的取值范围是，得到b  a  b                              

58、0;         3a + baln³,³ e c > 1 ，得到 c < b .又因为 5c - 3a £ b ，所以 c <，由已知b £ 4c - a ，得到cc c5a +

59、0;ba + bb1.从而c >£ b ，解得³.44a3【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.7.(2012 全国大纲卷文、理)若  x, y 满足约束条件 í x + y - 3 £ 0  ，则 z = 3x -

60、60;y 的最小值为ï x + 3 y - 3 ³ 06. 不等式的解集是_。【答(2012 江西文)案】 (-3,2) È (3, +¥)【解析】不等式可化为 ( x + 3)(x - 2)( x - 3) > 0 采用穿针引线法解不等式即可.ì x 

61、- y + 1 ³ 0ïî_.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由 z = 3x - y 得8. (2012 全国新课标卷理)设 x, y 满足约束条件： í x - y ³ -1 ；则 z = x - 2 y 的取值范围为ï

62、0;x + y £ 3y = 3x - z ，平移直线 y = 3x ，由图象可知当直线经过点 C (0,1) 时，直线 y = 3x - z 的截距最 大，此时 z 最小,最小值为 z = 3x - y = -1 .【答案】 -1ì

63、60;x, y ³ 0ïî，由 z = x - 2 y 得 y =  1【解析】做出不等式所表示的区域如图1x -  z ，2   2平移直线 y =1               

64、0;                      1   1x ，由图象可知当直线经过点 D(3,0) 时，直线 y =  x -  z 的截距最小，此时 z 最2     

65、;                                 2   2ìx - y = -1大为 z = x - 2 y&

66、#160;= 3 ，当直线经过 B 点时，直线截距最大，此时 z 最小，由 í，解得î x + y = 3y = 2ìx = 1íî，即 B(1,2) ，此时 z = x - 2 y = 1 - 4 = -3 ，所以 - 

67、;3 £ z £ 3 ，即 z 的取值范围是-3,3 .【答案】 -3,39.(2012 山东理) 若不等式的解集为                 ，则实数 k=_。解析：由可得 - 2 £ kx - 4 &

68、#163; 2 ，即 2 £ kx £ 6 ，而1 £ x £ 3 ，所以 k = 2 .另解：由题意可知  x = 1, x = 3 是 kx - 4 = 2 的两根，则 í3k - 4 =

69、0;210. (2012 陕西文、理) 观察下列不等式ì k - 4 = 2î，解得 k = 2 .1 +1 +1 +1  3<22  21  1  5+ <  ，22 33 31  1  1  5+ + &

70、lt;22 32 42 3照此规律，第五个不等式为  1+1  1  1  1  1  11+ + + + <22 32 42 52 62 6解析：观察这几个不等式可以发现左边分母从 1、2、3、4、5 的平方依次增加 1 后的平方，分子全是 1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底

71、数的和，于是有：1+2  2221  1  1  1  1  11+ + + + <  .2  32 4  5  6   6答案：1+1  1  1  1  1  11+ + + +&

72、#160;<  .22 32 42 52 62 6【解析】根据题意得到 í y ³ 0,   或 í y £ 0,   或 í y ³ 0,    或 í y £ 0,ï&#

73、160;x + 2 y £ 2; ï x - 2 y £ 2; ï- x + 2 y £ 2; ï x + 2 y ³ -2.点评：该题主要考察归纳推理，从给出的几个不等式的特征猜测出一般的规律正是归纳推理的本质所在.11. (2012 上海文)满足

74、约束条件 x + 2 y £ 2 的目标函数 z = y - x 的最小值是.【答案】 - 2ì x ³ 0,ì x ³ 0,ì x £ 0,ì x £ 0,ïïïïîîî

75、;î其可行域为平行四边形 ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成 y = x + z ， z 的最小值就是该直线在 y 轴上截距的最小值，当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 z64min = -2 .2By=x+z105CA5           

76、0;                    10【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A(2,0)D246时， z 有最小值，此时 zmin = -2 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.12、(2012 四川文)设 a, b 为正实数

77、，现有下列命题：若 a 2 - b2 = 1，则 a - b < 1 ；若1  1-  = 1 ，则 a - b < 1 ；b  a若 | a - b |= 1 ，则 | a - b |< 1

78、；若 | a3 - b3 |= 1 ，则 | a - b |< 1。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号）答案 解析若 a,b 都小于 1，则 a-b<1若 a,b 中至少有一个大于等于 1， 则 a+b>1,由 a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，所以，a-b<1故正确.对于|a3-b 3|=|(a-b)

79、(a2+ab+b2)|=1，14. (2012 浙江文)设 z=x+2y，其中实数 x，y 满足 í         ，  则 z 的取值范围是_。x ³ 0若 a,b 中至少又一个大于等于 1，则 a2+ab+b2>1,则|a-b|<1若 a,b 都小于 1，则|a-b|<1，所

80、以正确.综上，真命题有   .点评此类问题考查难度较大，要求对四个备选项都要有正确的认识，需要考生具备扎实的数学基础，平时应多加强这类题的限时性练习.        13.(2012 天津文)集合 A = x Î R| x - 2 £ 5中最小整数位.【解析】 - 3 不等式 x - 2 

81、£ 5 ，即 - 5 £ x - 2 £ 5 ， - 3 £ x £ 7 ，所以集合 A = x - 3 £ x £ 7 ，所以最小的整数为 - 3 。【答案】 - 3ì x

82、60;- y + 1 ³ 0ï x + y - 2 £ 0ïïî y ³ 0【答案】72函数最小，当目标函数过点 ç            7,   ÷ 时最大值为.【命题意图】本题主要考&

83、#160;查线性规划的求解范围问题.只要作图正确，表示出区域，然后借助于直线平移大得到最值.【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的四边形，但目标函数过点（0,0）时，目标æ 1 3 öè 2 2 ø215(2012 浙江理)设 a Î R，若 x0 时均有(a1)x1( x 2ax1)0，则 a_【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(B) íx2ax1&#

84、160;³ 0ì(a1)x1 £ 0(A) íî x2ax1 £ 0ì(a1)x1 ³ 0î， 无解；， 无解因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在 x0 的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负(如下答图)y我们知道：函数 y1(a1)x1，2x 2ax1 都过定点 P(0

85、，1)考查函数 y1(a1)x1：令 y0，得 M(析得：a1；1a - 1，0)，还可分考查函数 y2x 2ax1：显然过点 M(1a - 1，0)，代入得：ç    ÷  -æ 1 ö2è a - 1 øaa - 1- 1 = 0 ，解之得： a

86、 = ± 2 ，舍去 a = - 2 ，得答案： a =2 【答案】 a =2三、解答题高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系x Î A Û x Ï C A , x Î C A Û x Ï A .UU

87、2.德摩根公式C ( AB) = C AC B; C ( AB) = C AC B .UUUUUU3.包含关系AB = A Û AB = B Û A Í B Û C B Í C AUUÛ AC B =F

88、0;Û C AB = RUU4.容斥原理card ( AB) = cardA + cardB - card ( AB)- card ( AB) - card (BC ) - card (CA) + card ( ABC )card ( ABC ) = 

89、;cardA + cardB + cardC - card ( AB)5集合a , a ,12, a  的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n 1 个；非空子集有 2n 1 个；非空n的真子集有 2n 2 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 f ( x) = ax 2

90、0;+ bx + c(a ¹ 0) (2)顶点式 f ( x) = a( x - h)2 + k (a ¹ 0) (3)零点式 f ( x) = a( x - x )( x - x )(a ¹ 0) .127.

91、解连不等式 N < f ( x) < M 常有以下转化形式N < f ( x) < M Û  f ( x) - M  f ( x) - N  < 0Û | f ( x) -M + 

92、N  M - N|<      Û2      2f ( x) - N          1       1> 0 Û     

93、   >      .M - f ( x)       f ( x) - N  M - N8.方程 f ( x) = 0 在 (k , k ) 上有且只有一个实根,与 f (k

94、0;) f (k ) < 0 不等价,前者是后者的一个必1212要而不是充分条件.特别地, 方程 ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 有且只有一个实根在 (k , k ) 内,等价122a    2        

95、60;         2      2af (k ) f (k ) < 0 ,或 f (k ) = 0 且 k < -12119.闭区间上的二次函数的最值k  + kk  + kb  &

96、#160;                             b< 1 2 ,或 f (k ) = 0 且 1 2 < -2< k .2

97、二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ¹ 0) 在闭区间 p, q上的最值只能在 x = -处取得，具体如下：b2a处及区间的两端点b   Î p, q，则 f ( x)2a          &#

98、160;          2a(1)当 a>0 时，若 x = -minb= f (-  ), f ( x)max =maxf ( p), f (q)；x =-b Ï p, q， f ( x)2amax =maxf (&#

99、160;p), f (q)， f ( x) = f ( p), f (q).min min(2)当 a<0 时，若 x = -  Î p, q，则 f ( x)= minf ( p), f (q)，若 x = -  Ï p,

100、 q，则2a                                        2abbminf ( x)max= maxf ( 

101、;p), f (q)， f ( x)min= minf ( p), f (q).（1）方程 f ( x) = 0 在区间 (m,+¥) 内有根的充要条件为 f (m) = 0 或 í    p     ；ï- > 

102、mïm < - p < nî af (n) > 0 î af (m) > 0（3）方程 f ( x) = 0 在区间 (-¥, n) 内有根的充要条件为 f (m) < 0 或 í    p

103、     .ï- < m10.一元二次方程的实根分布依据：若 f (m) f (n) < 0 ，则方程 f ( x) = 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 .设 f ( x) = x + px + q ，则2ì

104、0;p2 - 4q ³ 0ïî 2ì f (m) > 0ï f (n) > 0ïï（2）方程 f ( x) = 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) < 0 或 í

105、60;p 2 - 4q ³ 0 或ïïî2ì f (m) = 0ì f (n) = 0í或 í；ì p2 - 4q ³ 0ïî 211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间 (-¥,+¥) 的子区间 

106、;L （形如 a , b ，(- ¥, b ， a ,+¥ )不同）上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ³ 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min³ 0( x Ï L) .(2)在给定区间 (-

107、¥,+¥) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ³ 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )man£ 0( x Ï L) .ìa ³ 0ïìa < 0(3) f ( x) =&#

108、160;ax 4 + bx 2 + c > 0 恒成立的充要条件是 íb ³ 0 或 íîïc > 0îb2 - 4ac < 012.真值表.非或  且真真假真假假假真真假假真13.常见结论的否定形式原结论是都是真真真假反设词不是不都是真假假假原结论    &#

109、160; 反设词至少有一个  一个也没有至多有一个  至少有两个大于小于对所有 x ，成立对任何 x ，不成立不大于不小于存在某 x ，不成立存在某 x ，成立至少有 n 个至多有 n 个p 或 qp 且 q至多有（ n -1 ）个至少有（ n + 1）个Øp 且 ØqØp

110、60;或 Øq14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非15.充要条件（1）充分条件：若 p Þ q ，则 p 是 q 充分条件.（2）必要条件：若 q Þ p ，则 p 是 q 必要条件.（3）充要条件：若 p Þ q ，且 q Þ p

111、0;，则 p 是 q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性,(1)设 x × x Î a, b x ¹ x 那么1212( x - x )  f ( x ) - f ( x )> 0 Û1212( 

112、;x - x )  f ( x ) - f ( x )< 0 Û1212f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0 Û f ( x)在a, b上是增函数；x - x1 2f ( x1 ) -&#

113、160;f ( x2 ) < 0 Û f ( x)在a, b上是减函数.x - x1 2(2)设函数 y = f ( x) 在某个区间内可导，如果 f ¢( x) > 0 ，则 f ( x) 为增函数；如果 f ¢( x) &l

114、t; 0 ，则f ( x) 为减函数.17.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) + g ( x) 也是减函数; 如果函数 y = f (u) 和 u = g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数&#

115、160;y = f  g ( x) 是增函数.18奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数19.若函数 y = f ( x) 是偶函数，则 f ( x + a) = f (- x 

116、;- a) ；若函数 y = f ( x + a) 是偶函数，则f ( x + a) = f (- x + a) .20.对于函数 y = f ( x) ( x Î R ), f ( x + a) = f

117、60;(b - x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是函数x =a + b                                   

118、;            a + b;两个函数 y = f ( x + a) 与 y = f (b - x) 的图象关于直线 x =    对称.2        

119、60;                                          2a21.若 f ( x) = -

120、60;f (- x + a) ,则函数 y = f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) = - f ( x + a) ,则2函数 y = f ( x) 为周期为 2a 的周期函数.22多项式函数 P( x)

121、0;= a x n + ann-1x n-1 +  + a 的奇偶性0多项式函数 P( x) 是奇函数 Û P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数 P( x) 是偶函数 Û P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数 y = f ( x) 

122、;的图象的对称性(1)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 Û f (a + x) = f (a - x) Û f (2a - x) = f ( x) .(2)函数 y = f ( x) 图象关于

123、直线 x = a + b2对称Û f (a + mx) = f (b - mx) Û f (a + b - mx) = f (mx) .24.两个函数图象的对称性(1)函数 y = f ( x) 与函数 y = f (- x) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称.(2)函数 y = f (mx - a) 与函数 y = f (b - mx) 的图象关于直线