高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章D9_1基本概念

1、推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 目录 上页 下页 返回 结束 . 第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 . )(0oPPUPP 00一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集, ),(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)

2、在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(目录 上页 下页 返回 结束 .在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 (),(),0yxPU。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xxyy0目录 上页 下页 返回 结束 .2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含

3、E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 目录 上页 下页 返回 结束 .(2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心),PU(E邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 .E 的边界点 )目录 上页 下页 返回 结束 .D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E

4、为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;目录 上页 下页 返回 结束 .例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O目录 上页 下页 返回 结束 . 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;但非区域 .11 对区域 D , 若存在正数 K , 使

5、一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无xyO目录 上页 下页 返回 结束 .*3. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx的全体所构成的集合记作,nR即RRRRnnkxxxxkn,2, 1,),(21R中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定义了线性运算的定义:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任给),(2211nnyxyxyxyx线性运算其元素称为点或 n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量. .R)0, 0, 0(中的坐

6、标原点或零向量称为零元n0 0称为 n 维空间, 目录 上页 下页 返回 结束 .的距离距离定义为2211)()(nnyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(1nyy yxUn),(,R),(axxa),(R1nnxx x中两点yxyx或),(),(,21nxxxx点特别与零元 0 的距离为22221nxxxx.,3, 2, 1xx 通常记作时当n, 0Raxx满足与定元中的变元an. ax 记作nR记作则称 x ), 2, 1(nkaxkkax),(21naaaa设显然趋于a ,目录 上页 下页 返回 结束 .二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压

7、强 三角形面积的海伦公式,2hrV ,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目录 上页 下页 返回 结束 .定义定义1. 设非空点集,nDRDPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2),(),(RDyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu目录 上页

8、下页 返回 结束 .xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12),(Ryx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzOOO目录 上页 下页 返回 结束 .三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数,(nDPPfR),点 , ),(0PUDP,)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(

9、yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对任意正数 , 总存在正数 ,切目录 上页 下页 返回 结束 .例例1. 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证:.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022时当yx22yx 222yx ,总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 .例例2. 设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),

10、(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当yx220 xyyx11sinsin总有 2要证 目录 上页 下页 返回 结束 . 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .

11、例例3. 讨论函数函数目录 上页 下页 返回 结束 .例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令则62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx目录 上页 下页 返回 结束 .仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注注. 二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.

12、例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 .四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 目录 上页 下页 返回 结束 .例如例如, 函数0,00,),(222222yx

13、yxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.目录 上页 下页 返回 结束 .定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 目录 上页

14、 下页 返回 结束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目录 上页 下页 返回 结束 .内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ),(0PU),(0PU 区域连通的开集 空间nR2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR目录 上页 下页 返回 结束 .APfPP)(lim0,0,0时，当

15、PP 00有APf)(3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P129 题 3; *4思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 .解答提示解答提示: :P61 题 2. ),(),(2yxftytxtf称为二次齐次函数 .P61 题 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P61 题 5(3).定义域 0:yyxDP61 题 5(5).定义域2222

16、2:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO目录 上页 下页 返回 结束 .P62 题 8.间断点集02),(2 xyyxP129 题 3. 定义域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P129 题 *4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1, 则 可见极限不存在目录 上页 下页 返回 结束 . P61 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) *7， *10第二节 作作 业业 目录 上页 下页 返回 结束 .备用题备用题1. 设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目录 上页 下页 返回 结束 .1 .设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目录 上页 下页 返回 结束 .yxyxyx200limxxxx320