2015年-2017年全国中考二次函数压轴题集锦

1、1 .如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形，/ ACB=90, AC=BC OA=1, OC=4, 抛物线y=x2+bx+c经过A, B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点E是直角 ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于 点F,当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；(3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一点 P,使4EFP是以EF为直角边的直角三角2 .如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1, 0)和点B,与y轴交于点 C (0, 3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一

2、点P,使4PBC为等腰三角形？若存在.请求出点 P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点 D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M到达点B时,(1)求该二次函数的解析式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足/ DBA=/ CAO (。是坐标原点)，求点D的坐(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BG y轴于点E、F,若APEB zCEF的面积分别为&、求Sl8的最大值.V4 .如图1,已知二次函数y=a/+bx+c (a、b、c为常数，a*0)的图象过点O (0, 0)

3、和点A (4, 0),函数图象最低点M的纵坐标为-y,直线l的解析式为y=x.>43r4图1图2皆用囹(1)求二次函数的解析式；(2)直线l沿x轴向右平移，得直线l ； l与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交 于点C,过点C作CHx轴于点E,把 BCE沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上点E'时(图2),求直线l的解析式；(3)在(2)的条件下，l与y轴交于点N,把ABON绕点。逆时针旋转135°得至iJzB' ON P 为l上的动点，当 PB'的等腰三角形时，求符合条件的点 P的坐标.5 .如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A (

4、- 1, 0), B (5, 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点 C,彳CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5, CD=8,将RtAACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试 探究：在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，且4CDE始终保持边ED经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边CD与y轴交 于点G.(1)填空：OA的长是, /ABO的度数是 度；(2)如图2,当DE/ AB,连接HN.求证：四边形AMHN

5、是平行四边形；判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；(3)如图3,当边CD经过点。时，(此时点。与点G重合),过点D作DQ/ OB,交AB延 长线上于点Q,延长ED到点K,使DK=DN,过点K作KI/ OB,在KI上取一点P,使得/ PDK=45(点P, Q在直线ED的同侧)，连接PQ,请直接写出PQ的长.图i圉z圄37 .如图，抛物线y予+(x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C (6, 与)在抛物线上，直线 AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式；(2)点P在x轴正半轴上，点 Q在y轴正半轴上，连结 PQ与直线AC交于点M,连结MO 并延长交

6、AB于点N,若M为PQ的中点.求证：APMs/XAON；设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).8 .抛物线y=4X2 - 2ax+b与x轴相交于A (x1，0), B (x2, 0) (0<xi<x2)两点，与y轴交于 点C.(1)设AB=2, tan/ABC=4求该抛物线的解析式；(2)在(1)中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当 BCD的面积最大时，求点D 的坐标；(3)是否存在整数a, b使彳导1<x1<2和1<x2<2同时成立，请证明你的结论.9 .如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，直线l与

7、抛物线 交于A, C两点，其中点C的横坐标为2.(1)求A, B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点 下与人，C不重合)，过P点作y轴的平行线交抛物线于点E, 求4ACE面积的最大值；(3)若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M 为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求 出这个最小值及点M, N的坐标；若不存在，请说明理由.(4)点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的 F点坐标；如果不存在，

8、请说明理 由.10 .如图，RtAOAB如图所示放置在平面直角坐标系中， 直角边OA与x轴重合，/ OAB=90 , OA=4, AB=2,把RtAOAB绕点。逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好 经过点O, C, A三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点 P,点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果 有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由.(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点 N,使O (原点)、G H、N四点构成 以O

9、C为一边的平行四边形？若存在，求出 N点的坐标；若不存在，请说明理由.11 .如图(1),在平面直角坐标系中，矩形 ABCQ B点坐标为(4, 3),抛物线y=Jx2+bx+c a经过矩形ABCO的顶点B、C, D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=4x2+bx+c交于第四象限的F点.(1)求该抛物线解析式与F点坐标；(2)如图(2),动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动； 同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒哼个单位长度的速度向终点 E运动.过点P 作PH，OA,垂足为H,连接MP, MH.设点P的运动时间为t秒.问EP+PH+HF是否有最小值？

10、如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由.若 PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值.圄 Y图12.如图，已知直线y=kx- 6与抛物线y=aX2+bx+c相交于A, B两点，且点A (1, -4)为抛 物线的顶点，点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P,使APOB与4POC全等？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点Q是y轴上一点，且 ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.13.如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线1:尸差工十口与x轴、y轴分别交于点A和点B (0, -1),抛物线产点/此工十£经过点B,且与

11、直线1的另一个交点为C (4, n).圄1图2V(1)求n的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t (0<t<4). DE/ y轴交直线1于点E,点F在直 线1上，且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式 以及p的最大值；(3) M是平面内一点，将 AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到 A1O1B1,点A、0、 B的对应点分别是点 A1、01、B1.若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1的横坐标.14 .如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每

12、 秒1个单位长度的速度向终点B运动.点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒.(1)当t=2秒时，求证：PQ=CP(2)当2<t&4时，等式“PQ=C肋成立吗？试说明其理由；(3)设4CPQ的面积为S,那么S与t之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD 面积的一半？为什么？15 .如图1,在平面直角坐标系中，抛物线 y=-手x2+pLx+2/l与x轴交于A, B两点(点 A在点B的左侧),与y轴交于点C(1)求直线BC的解析式；(2)点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接 CE DE.当 CDE的面积 最大时，过点E作y轴

13、垂线，垂足为F,点P为线段EF上一动点，将 CEF绕点C沿顺时针 方向旋转90°,点F, P, E的对应点分别是F', P； E',点Q从点P出发，先沿适当的路径运 动到点F处，再沿F'运动到点C处，最后沿适当的路径运动到点 P'处停止.求4CDE面积的 最大值及点Q经过的最短路径的长；(3)如图2,直线BH经过点B与y轴交于点H (0, 3)动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动，同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H 运动，当点N运动到H点时，点M,点N同时停止运动，设运动时间为t.运动过程中，过 点N作OB的平行线

14、交y轴于点I,连接MI, MN,将 MNI沿NI翻折得 M NJ连接HM ,当HN为等腰三角形时，求t的值.16.如图1,直线产咯田2与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与轴的另一交点坐标为A ( - 1 , 0).(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；(2) P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合)，过点P作直线a/ y轴，交抛物线于点E, 交x轴于点F,设点P的横坐标为m, BCE的面积为S.求S与m之间的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；求S的最大值，并判断此时 OBE的形状，说明理由；(3)过点P作直线b/x轴(图2),交AC于点Q,那么在x轴

15、上是否存在点R,使得 PQR 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 R的坐标；若不存在，请说明理由.17.已知正方形OABC的边OG OA分别在x、y轴的正半轴上，点 B坐标为(10, 10),点P 从O出发沿。3C-B运动，速度为1个单位每秒，连接AP.设运动时间为t.(1)若抛物线y=- (x-h) 2+k经过A、B两点，求抛物线函数关系式；(2)当00tW10时，如图1,过点。作OH，AP于点H,直线OH交边BC于点D,连接AD,PD,设4APD的面积为S,求S的最小值；(3)在图2中以A为圆心，OA长为半径作。A,当0Wt020时，过点P作PQ,x轴(Q在P的上方)，且线段PQ=+12:

16、当t在什么范围内，线段PQ与。A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与。A 有两个公共点？请将中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段 PQ与。A总有 两个公共点.图1图218 .如图，二次函数y=x2-4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B, CD是线段OB上的一动线段，且CD=2,过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E, 连接EF.(1)点A的坐标为,线段OB的长二(2)设点C的横坐标为m当四边形CDEF平行四边形时，求 m的值；连接AG AD,求m为何值时， ACD的周长最小，并求出这个最小值.19 .如图，已知二次函数y= - x

17、2+bx+c (c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的 左侧)，与y轴交于点C,且OB=OC=3顶点为M.(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式，并写出 m的取值范围；(3)探索：线段BM上是否存在点N,使4NMC为等腰三角形？如果存在，求出点 N的坐20 .如图，抛物线 y=i-x2+mx+n 与直线y=-x+3交于A, B两点，交x轴于D, C两点，连接 AC, BC,已知 A (0, 3), C (3, 0).(I )求抛物线的解析式和tan / BAC的值

18、；(H)在(I )条件下：(1) P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA过点P作PQ，PA交y轴于点Q,问：是否存 在点P使得以A, P, Q为顶点的三角形与 ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.(2)设E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE, 一动点M从点D出发，沿线段DE以每 秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒正个单位的速度运动到A后停止，当点E21 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c (a*0)的顶点为B (2, 1),且过点A (0, 2),直线y=x与抛物线交于点D, E (点E在对称轴的右侧)，抛物线的对称

19、轴交直线y=x 于点C,交x轴于点G, EF,x轴，垂足为F,点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ±x 轴，垂足为点Q, 4PCQ为等边三角形昌用国(1)求该抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)求证：CE=EF(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点 M,使4CQM与CP%r等？若存在，试 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.注：3+2/2=(亚+1) 2 .22 .阅读理解抛物线y=Lx2上任意一点到点(0, 1)的距离与到直线y=- 1的距离相等，你可以利用这一4性质解决问题.问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+1与y轴交于C点，与函数y十x2的图

20、象交于A, B两点，分别过A, B两点作直线y=- 1的垂线，交于E, F两点.(1)写出点C的坐标，并说明/ ECF=90;(2)在4PEF中，M为EF中点，P为动点.求证：PS+PF2=2 (PM2+EM2);已知PE=PF=3以EF为一条对角线作平行四边形 CEDF若1 < PDX 2,试求CP的取值范围.x轴于点H,23 .已知抛物线经过 A (-3, 0), B (1, 0), C (2,：)三点，其对称轴交次函数y=kx+b (kw0)的图象经过点C,与抛物线交于另一点D (点D在点C的左边)，与抛 物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当SEOG=SL

21、EAB时，求一次函数的解析式；(3)如图2,设/CEH=, /EAH率，当a> 0时，直接写出k的取值范围.24.如图1,已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A (0, 2),过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为 M (m, 0)和N (n, 0),其中m<0, n>0.(1)如果m= -4, n=1,试判断 AMN的形状；(2)如果mn=-4, (1)中有关 AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不 成立，请说明理由；(3)如图2,题目中的条件不变，如果 mn=-4,并且ON=4,求经过M、A、N三点的抛物 线所对应的函数关系式；(4)在(

22、3)的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P,点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点 M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点 Q的点，点P从A点出发,以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动， 运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动.设PQ交直线AC于点G.(1)求直线AC的解析式；(2)设 PQC的面积为S,求S关于t的函数解析式；(3)在y轴上找一点M,MACffiAMBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的 M点的坐标；(4)过点P作PE±AC,垂足为E,当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变

23、，请说明理 由.*B作的条件下NM在抛物线的对称轴上取两点的周长最小,请说明理由； l上的两个动点Q (、C三点的抛物线的解析式 1)中抛物线的顶点时，求A作直线l在平面直角坐标系xOy中，二次函数PQ=1,要使四边形BCPQCF的长；Q在点P的上方),OA=AB=2 OC=3 过点 B 角的两边分别交 y轴的正半轴E x轴的正半轴 页时针方向旋转, (1)求经过A、 (2)当BE经过M、N分别为直线AD和直线轴的正半轴上，OC 将/ DBC绕点B按MK,求DN+NM+MK和的最小值.27.如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直角梯形OABC的边OA在y(1)求此二次函数解析式；(2)点D为

24、点C关于x轴的对称点问：在四边形ABKD的内部是否存在点P,使得它到四边形ABKD26.试说明： DNT的面积&DNT=d3DN?DT;4).28.如图，已知抛物线与x轴交于点A (-2, 0), B (4, 0),与y轴交于点C (0,(1)求抛物线的解析式及其顶点 D的坐标；(2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F,在直线CD的上方, y轴及y轴的右侧的平面内找一点 G,使以点G、F、C为顶点的三角形与 COE相似，请直接 写出符合要求的点G的坐标；(3)如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M,过点M作一条直线交/ ADB于T, N两点， 当/ DNT=90时

25、，直接写出 上十工的值；DM DT当直线TN绕点M旋转时，_29 .如图，RtAABC+, / B=90°/CAB=30, AC!x轴.它的顶点A的坐标为(10, 0),顶 点B的坐标为|仁，5)，点P从点A出发，沿 Z B-C的方向匀速运动，同时点 Q从点D(0, 2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点 P到达点C时，两点同时停止运动，设 运动的时间为t秒.(1)求/BAO的度数.(直接写出结果)(2)当点P在AB上运动时，4OPQ的面积S与时间t (秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图)，求点P的运动速度.(3)求题(2)中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积 S取最大

26、值时，点P的坐标.(4)如果点P, Q保持题(2)中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ请说明理由.(图)圉)30 .如图，已知直线l: y2x+2与y轴交于点D,过直线l上一点E作EC，y轴于点C,且C 点坐标为(0, 4),过C、E两点的抛物线y=- x2+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的 左侧).(1)求抛物线的解析式：(2)动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF1ED于点 F,交BD于点H,设点Q运动时间为t秒，4DFH的面积为S,求出S与t的函数关系式(并 直接写出自变量t的取值范围)；(3)若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接 PE,过点

27、E作EM± PE交线段BD于点M, 当4PEM是等腰直角三角形时，求四边形 PMBE的面积.31 .已知在平面直角坐标系中，抛物线 y=aX2+bx+c (a*0,且a, b, c为常数)的对称轴为： 直线x,与x轴分别交于点A、点B,与y轴交于点C (0,-二)，且过点(3, - 5), D122为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点.(1)求该抛物线的表达式；(2)如图1,当点D为(3, 0)时，DE交该抛物线于点 M,若/ADC=Z CDM,求点M的坐 标；(3)如图2,把(1)中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线 ED与新抛物线仅有唯一交 点Q时，y轴上是否存在一个定

28、点P使PE=PQ若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由.图L图工参考答案与试题解析一.解答题（共31小题）1. （2017秋?上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形，/ ACB=90, AC=BC OA=1, OC=4 抛物线 y=x2+bx+c经过 A, B两点.(1)(2) 点F,(3)求抛物线的解析式；点E是直角 ABC斜边AB上一动点（点A、B除外）,过点E作x轴的垂线交抛物线于 当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P,使4EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

29、【考点】HF:二次函数综合题.【专题】151:代数综合题；32 :分类讨论.【分析】（1）根据AC=BC求出BC的长，进而得到点A, B的坐标，利用待定系数法即可求 得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线 AB的解析式，用含m的式表示出E, F的坐标，求出EF的长 度最大时m的值，即可求得E, F的坐标；（3）分两种情况：/ E- 90°和/F=90°,分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析 式，即可求得点P的值.【解答】解：（1） V OA=1, OC=4 AC=BCBC=5, .A （1, 0）, B （4, 5）,抛物线y=x2+bx+c经过A, B两点

30、，l-b+c-016+4b+c=5b=-2c-3 ' - y=x2 - 2x - 3 "（2）设直线AB解析式为：y=kx+b, 直线经过点A, B两点，-k+b=OMl如+b = 5直线AB的解析式为：y=x+1,设点E的坐标为（m, m+1）,则点F （m, m2-2m-3）,214EF=m+1 - m2+2m+3=- m2+3m+4=- (m-力当EF最大时, ,点E （寸，年）（3）存在.当/FEP=90时，点P的纵坐标为!- 即x22x 3二至，解得：X1/运， 22:点pi(*尹P2 (等,当/ EFP=90时，点P的纵坐标为15即 x2-2x-3=-A-,解得：

31、x1=i- 42点P3(争1)，综上所述，Pi (过警，-1), P2 (x2一(舍去)，15).E=90° 和【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第(3)小题要注意分类讨论，分/ F=900两种情况.2. (2017秋？鄂城区期中)如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1, 0) 和点B,与y轴交于点C (0, 3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P,使4PBC为等腰三角形？若存在.请求出点 P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点 D与点M同时

32、出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M到达点B时, 点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时， MNB面积最大，试求出最大面积.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)代入A (1, 0)和C (0, 3),解方程组即可；(2)求出点B的坐标，再根据勾股定理得到 BC,当 PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论： CP=CB BP=BC PB=PC(3)设 AM=t WJ DN=2t,由 AB=2,彳4BM=2 t, SA MNB=j- X (2-t) X2t=-t2+2t,运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上

33、方2个单位处或点N 在对称轴上x轴下方2个单位处.【解答】解：(1)把A (1, 0)和C (0, 3)代入y=x2+bx+c,输得：b=-4, c=3, 二次函数的表达式为：y=x2 - 4x+3;(2)令 y=0,则 x2- 4x+3=0,解得：x=1或x=3, B (3,/), .BC=3.:,点P在y轴上，当 PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1当 CP=CB寸，PC=3/2, . OP=O(+PC=3+Vj或 OP=PG OC=y2 - 3Pi (0, 3+3/2), P2 (0, 3-3/2);当 BP=BCW, OP=OB=3 P3 (0, -3);当PB=PC寸，.

34、OC=OB=3 此时P与O重合， P4 (0, 0)；综上所述，点P的坐标为：(0, 3+3/2)或(0, 3-3/2)或(0, -3)或(0, 0); (3)如图2,设A运动时间为t,由AB=2,彳3BM=2-t, WJ DN=2t, .$ MNB=X (2-t) X 2t= -t2+2t=- (t1) 2+1,2即当M (2, 0)、N (2, 2)或(2, -2)时AMNB面积最大，最大面积是1.【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.3. (2017加州)如图，已知二次函数

35、y=ax2+bx+c (a*0)的图象经过A(T, 0)、B (4, 0)、 C (0, 2)三点.(1)求该二次函数的解析式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足/ DBA=/ CAO (。是坐标原点)，求点D的坐(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BG y轴于点E、F,若APEB zCEF的面积分别为&、S2,求S2的最大值.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)当点D在x轴上方时，则可知当CD/ AB时，满足条件，由对称性可求得 D点坐标；当 点D在x

36、轴下方时，可证得BD/ AC,利用AC的解析式可求得直线 BD的解析式，再联立直 线BD和抛物线的解析式可求得 D点坐标；(3)过点P作PH/ y轴交直线BC于点H,可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表 示出4PEB的面积，进一步可表示出直线 AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和 PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出 CEF的面积，再利用二次函数的性质可 求得Si-S2的最大值.【解答】解:a-b+ 0(1)由题意可得，解得抛物线解析式为y= - -i-x2+-1-x+2 ；(2)当点D在x轴上方时，过C作CD/ AB交抛物线于点D,如图1, V-图1:A、B关于对称

37、轴对称，C、D关于对称轴对称，四边形ABDC为等腰梯形，/CAO之DBA即点D满足条件,D (3, 2);当点D在x轴下方时， / DBA=/ CAQ.BD/ AC,-C (0, 2),可设直线AC解析式为y=kx+2,把A ( - 1, 0)代入可求得k=2,直线AC解析式为y=2x+2,可设直线BD解析式为y=2x+m,把B （4, 0）代入可求得m=-8,直线BD解析式为y=2x- 8,联立直线BD和抛物线解析式可得工:-5 y=-18,解得 -D （-5, - 18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3, 2）或（-5, - 18）;.H (t, -l-t+2)2x+2,PH=yP y

38、H=- -3-t2+|-t+2 -("t+2) =-t2+2t22设直线AP的解析式为y=px+q,1<) 3-yt +yt+2=tp+<i0=-p4Q直线AP的解析式为y=（-t+2） （x+1）,令x=0可得y=2-卷t .F (0, 2 .CF=2- (2t)今y=(2(x41)联立直线AP和直线BC解析式可得 . SiPH(XB- XE) 2Si - S2=(一y=yx+2(-京2+2t) (4-+2t) (4 一.当t=1_时，有S-S2有最大值，最大值为5)4165 T,解得x音,即巳点的横坐标为),及 二？L?_L_2 25-tt2+4t=(t【点评】本题为

39、二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面 积、二次函数的性质、方程思想汲分类讨论思想等知识.在（1）中注意待定系数法的应用,在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形 键面积是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大.4. (2017?南充)如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数，a*0)的图象过点O (0, 0)和点A (4, 0),函数图象最低点M的纵坐标为-直线l的解析式为y=x.图1圉2省用固(1)求二次函数的解析式；(2)直线l沿x轴向右平移，得直线l ； l与线段OA相交于

40、点B,与x轴下方的抛物线相交 于点C,过点C作CHx轴于点E,把 BCE沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上点E'时(图2),求直线l的解析式；(3)在(2)的条件下，l与y轴交于点N,把ABON绕点。逆时针旋转135°得至iJzB' ON P 为l上的动点,当 PB'的等腰三角形时，求符合条件的点 P的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,-旦)，设抛物线的解析式为y=a (x-2)把(0, 0)代入得到,即可解决问题;(2)如图 1 中，设 E (m, 0), M C (m,当m21m),

41、B (-子m2+m, 0),由E、B关于对称轴对称，可得=2,由此即可解决问题;(3)分两种情形求解即可当Pi与N重合时，PiB'跟等腰三角形，此时Pi (0, -3). 当N =N'暗；设P (m, m-3),列出方程解方程即可；【解答】解：(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,-得)，设抛物线的解析式为y=a (x-2) J把(0, 0)代入得到a=|抛物线的解析式为(x-2) 2即y=|x2x.(2)如图 1 中，设 E (m, 0),则 C (m, m2-m), B ( -m2+m, 0),R-JrJaJ8解得m=1或6 (舍弃)， .B (3, 0), C (1, -2

42、), :直线l的解析式为y=x 3.(3)如图2中,八F当Pi与N重合时， PiB'肥等腰三角形，此时Pi (0, -3).N =/暗；设 P (m, m-3),当则有解得m=3-1V2) 2= (3H) 2, -1P23 -3 V3 323 3 V5),P3 ().综上所述，满足条件的点P坐标为(0, - 3)或()或32-3+3VS).【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公 式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题.【专题】 【分析】-H>+g=O-25+5b+c=0,解得严I c=55. (2

43、017?!宾)如图，抛物线y=- x2+bx+c与x轴分别交于A (-1, 0), B (5, 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点 C,彳CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5, CD=8,将RtAACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试 探究：在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，16 :压轴题.(1)由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C'

44、,则C'点的纵坐标为8,代入抛 物线解析式可求得C'点的坐标，则可求得平移的单位，可求得 m的值；(3)由(2)可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M,过E作EF, x轴于点F,当BE为 平行四边形的边时，过 Q作对称轴的垂线，垂足为 N,则可证得 PQNAEFE可求得QN, 即可求得Q到对称轴的距离，则可求得 Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 Q点坐标； 当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q (x, y),由P点的横坐 标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 Q点的坐标.【解答】解：(1)二,抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A (

45、-1, 0), B (5, 0)两点，抛物线解析式为y= - x2+4x+5;(2)AD=5,且 OA=1, .OD=6,且 CD=8,-C (-6, 8),设平移后的点C的对应点为C',则C'点的纵坐标为8,代入抛物线解析式可得8=- x2+4x+5,解得x=1或x=3,.C'点的坐标为(1, 8)或(3, 8),- C (-6, 8),当点C落在抛物线上时，向右平移了 7或9个单位， m的值为7或9;(3) , , y = - x2+4x+5= - (x- 2) 2+9,:抛物线对称轴为x=2,可设 P （2, t）,由（2）可知E点坐标为（1,8）,当BE为平行四

46、边形的边时，连接 BE交对称轴于点M,过E作EF，x轴于点F,过Q作对则/BEF4 BMP=Z QPN,在4PQN和4EFB中C ZQPN=ZBEF/FNQ=/EFBIpq=be .PQN0 AEFB (AAS),.NQ=BF=OB- OF=5- 1=4,设 Q (x, y),则 QN=|x一 2| , ；|x-2| =4,解得 x=-2 或 x=6,当x= - 2或x=6时，代入抛物线解析式可求得 y=- 7,.Q 点坐标为(-2, -7)或(6, -7);当BE为对角线时，- B （5, 0）, E （1, 8）,线段BE的中点坐标为（3, 4）,则线段PQ的中点坐标为（3, 4）,设 Q

47、 （x, y）,且 P （2, t）,. x+2=3X 2,解得x=4,把x=4代入抛物线解析式可求得 y=5,Q （4, 5）;综上可知Q点的坐标为（-2, - 7）或（6, - 7）或（4, 5）.【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和 性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在（1）注意待定系数法的应用， 在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解 题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.6. （2017砒阳）如图1,在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=.*x2-噌 x+西

48、 .L占U与x轴正半轴交于点 A,与y轴交于点B,连接AB,点M, N分别是OA, AB的中点，RtACDE RtAABO,且 CDE始终保持边ED经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边 CD与y轴交于点G.（1）填空：OA的长是 8 , / ABO的度数是 30 度；（2）如图2,当DE/ AB,连接HN.求证：四边形AMHN是平行四边形；判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；(3)如图3,当边CD经过点。时，(此时点。与点G重合)，过点D作DQ/ OB,交AB延 长线上于点Q,延长ED到点K,使DK=DN,过点K作KU OB,在KI上取一点P,使得/ PDK=45(点P

49、, Q在直线ED的同侧)，连接PQ,请直接写出PQ的长.图1圉Z图3【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)先求抛物线与两坐标轴的交点坐标，表示 OA和OB的长，利用正切值可得/ABO=30;(2)根据三角形的中位线定理证明 HN/ AM,由两组对边分别平行的四边形是平行四边形 得结论；如图1,作垂线段DR,根据直角三角形30度角的性质求DR=Z可知：点D的横坐标为-2,由抛物线的解析式可计算对称轴是直线：x=-上=-2,所以点D在该抛物线的对称轴上;2a(3)想办法求出P、Q的坐标即可作决问题；【解答】解:(1)当x=0时，y=8/3, B (0, 8底)，-OB

50、=8/S,一 一当 y=0 时，y= - -1-x2 -自葭+8百=0,123x2+4x- 96=0,(x-8) (x+12) =0, xi =8, x2= -12, A (8, 0), . OA=8,nA在 Rt AOB 中，tan/ABO染-OB 83 3 ./ABO=3 0,故答案为：8, 30;(2)证明：v DE/ AB,MJAM BH . OM=AM ,.OH=BH, BN=AN,. HN/AM,四边形AMHN是平行四边形;点D在该抛物线的对称轴上,理由是：如图1,过点D作DR±y轴于R,图1v HN / OA, ./NHB=/ AOB=90,. DE/ AB, ./DH

51、B=/ OBA=30,v RtA CDE RtAABO, ./HDG=/ OBA=30, ./HGN=2/ HDG=60,丁. / HNG=90 - / HGN=90 - 60 =30°, ./HDN=/ HND,DH=HNOA=4,2RtADHR 中，Dr2dH=X4=2, 点D的横坐标为-2,;抛物线的对称轴是直线：x二-二2a 点D在该抛物线的对称轴上；(3)如图3中，连接PQ,彳DR! PK于R,在DR上取一点T,使得PT=DT设PR=a v NA=NB, .-，HO=NA=NB /ABO=3 0,图3丁. / BAO=60 ,.AON是等边三角形，丁. / NOA=60 =

52、/ ODM+Z OMD,vZ ODM=30 , ./OMD=/ODM=30 , .OM=OD=4,易知 D （ 2, - 2/3）, Q （-2, 1降）,- N （4,8尼）， .DK=DN=2，. DR/ x 轴,/ KDR=/ OMD=30 .RKDK=6, DR=6jl, 2ZPDK=45, ./TDP=/ TPD=15,丁. / PTR=/ TDP+/TPD=30, .TP=TD=2a TR*a, :a+2a=6. a=12 :；- 18,可得 P （ - 2-/ 10-73- 18）,PQ叭诟百1P=12【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、30度角

53、的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题， 学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.7. （2017?波）如图，抛物线y4x2x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连 44结AB,点C （6,空）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点 Q在y轴正半轴上，连结 PQ与直线AC交于点M,连结MO 并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.求证：APMs/XAON；设点M的横坐标为m,求AN的长（用含

54、m的代数式表示）.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得 c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待 定系数法可求得直线 AC的函数表达式；（2）在RtAAOB和RtAAOD中可求得/ OAB=Z OAD,在RtzXOPQ中可求得 MP=MO,可 求得/ MPO=/ MOP=/ AON,则可证得 APMs/XAON;过M作MEx轴于点E,用m可表示出AE和AP,进一步可表示出 AM,利用 APMs/AON可表示出AN.【解答】解：(1)把C点坐标代入抛物线解析式可得孕=9+|+c,解得c=- 3,抛物线解析式为y=lx2+±x

55、-3,44令y=0可得2+乜3=0,解得x=- 4或x=3, 44-A (-4, 0),设直线AC的函数表达式为y=kx+b (kw0),把A、C坐标代入可得15 ,一，解得lv=6k+b 卜二3直线AC的函数表达式为yJx+3;tan/OAD4(2).在 RtA AOB中，tan / OAB=-=1,在 RtAOD中,丁. / OAB=/ OAD,.在RtAPOQ中，M为PQ的中点， .OM=MP, ./MOP=/ MPO,且/ MOP=/ AON, ./APM=/AON, .APMs/XAON;如图，过点 M作MEx轴于点E,则OE=EP丁点M的横坐标为m,AE=m+4, AP=2m+4, . tan/OAD里，4cos/ EAM=cos/ OAD 5AJfl 5.AM=AE=-,44vAAPMAAON,. AN= 1 -L 21rH>4【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识.在(1)中注意函数图象