齐次坐标的理解

1、齐次坐标的理解 . I I Ml I Ml I !1 1 一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底，只见大部分的书中说道齐次坐标在仿射变换中非常的方便”，然后就没有了后文，今天在一个叫做三百年 重生”的博客上看到一篇关于透视投影变换的探讨的文章，其中有对齐次坐标有非常精辟的说明，特别是针对这样一句话进行了有力的证明：“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射(线性)几何 变换。”F.S. Hill, JR。由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来：对于一个向量v以及基oabc,可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得v = v

2、1 a + v2 b + v3 c (1)而对于一个点p,则可以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得p - o = pl a + p2 b + p3 c ，从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表小一个点(如p),我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，变一个向量一一p-o (有的书中把这样的向量叫做 位置向量一一起始于坐标原点的特殊向量)， 我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o + pl a + p2 b+ p3 c (3)(1)(3)是坐标系下表达一个 向量和点的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是 用代数分量的形式表达向量和点，但表达一

3、个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7),谁知道它是个向量还是个点！我们现在把(1) (3)写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)ll坐标基矩阵,右边的列向量分别 是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达： 3D向量的第4个代数分量是0,而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用 4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。这样，上面的(1, 4, 7)如果写成(1,4,7,0),它就是个向量；如果是(1,4

4、,7,1),它 就是个点。下面是如何在普通坐标 (Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneo us Coordinate之间进行转换：(1)从普通坐标转换成齐次坐标时如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)(2)从齐次坐标转换成普通坐标时如果是(x,y,z,1),则知道它是个点，变成(x,y,z);如果是(x,y,z,0),则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普

5、通向量没有位置概念，只有大小和方向.而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz),有对应的一族齐次坐标(wPx, wP y, wPz, w),其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7, -0.1)等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w,然后增加第4个分量w;如果把一 个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4

6、个分量。由于齐次坐标使用了 4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行， 从而如F.S. Hill, JR所说，仿射(线性)变换的进行更加方便。由于图形硬件已 经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎 成为图形学中的一个标准。以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中，很多已经被封装的好的 API也是很有研究的，要想成为一名专业的计算 机图形学的学习者，除了知其然必须还得知其所以然。这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源，从而解决问题。关于齐次坐标按照通常使用的数学知识，二维平面上一个点可以用它在X、Y方向上的坐标来标示

7、为 P （ x,y ），但是在图形学中偏偏要画蛇添足的使用齐次坐标，这样我们必须使用一个三维向量来表示一个二维点即P （x,y,w）,最后一个w就是那个足。why？首先想像有个绝对不变的坐标系，记为W然后以W为参照，建立两个坐标系O1和O2, O1的原点在 W勺（1,1）处，O2的原点在 W勺（2,2）处。那么 削的一个 点P （x,y ）在O1中将变为P （x-1,y-1）,在O2中将是P （x-2, y-2）,这样同 一个点 P 在不同的坐标系下就具有了不同的表示。这会产生一个问题：显然，P点在二维空间的位置是唯一的，是与坐标系无关的，而不同坐标系下的表示看上去体现不了这种无关性。The

8、Key我们使用的是坐标系这样一个概念，坐标系忽略了坐标原点所具有的重要意义：正是原点标示了该坐标系处于哪个参照位置。如果用矩阵来表示一个二维坐标系，将会是如下形式：|1 0|0 1| ，其中（1 0）T 表示一个基矢量，（0 1）T 表示另一个基矢量，它们互相垂直，因此能利用它们标记整个二维空间。（ x, y）|1 0| = （x, y）|0 1|这就是二维坐标的实际意义。现在考虑将坐标原点（a,b） 也引入到这个矩阵表示中来：|1 0 |0 1 | |a b |我们用这个矩阵可以表示二维空间中任意位置的一个坐标系，当然， 这个坐标系的基矢量可以不为（0 1）T 和（ 1 0）T ，为了和坐标

9、系区分，我们称这种新表示为标架表示。好，问题来了，如果我们仍然用(x y)来表示点P,那么根据矩阵的乘法规则，我们无法完成其乘法：mxN 的矩阵只能和N xk 的矩阵相乘。解决的办法就是：给 P 点添一个尾巴，这个尾巴通常为1： P( x y 1) ，这就是P 的齐次坐标，利用新的齐次坐标和矩阵相乘得到的结果为：( x+a, y+b) ，这样同一个点在不同标架下的不同表示最终会得到同一个计算结果，它反映了这样一个事实：同一个点在不同标架下的不同表示其实是等价的，这一点恰恰是使用坐标系无法体现出来的。显然上面那个3x2的矩阵和P的齐次表示相乘得到的不是齐次坐标，所以应该将它扩充成3x3 的方阵

10、:|1 0 0|0 1 0|a b 1|经过扩充以后的新矩阵具有一些有趣的特性：利用它可以非常轻松的实现平移、旋转以及缩放和剪切变换。为什么要写这个呢，因为我们大部分时间只是不停的接收而不太愿意去思考为什么，难得有人提了一下让我也顺便思考了一下，然后顺便把它记下来所谓齐次坐标就是将一个原本是n 维的向量用一个n+1 维向量来表示。在空间直角坐标系中，任意一点可用一个三维坐标矩阵x y z 表示。如果将该点用一个四维坐标的矩阵Hx Hy Hz H表示时，则称为齐次坐标表示方法。在齐次坐标中，最后一维坐标H 称为比例因子。在OpenG叶，二维坐标点全看作三维坐标点，所有的点都用齐次坐标来描 述，统

11、一作为三维齐次点来处理。每个齐次点用一个向量(x, y, z, w)表示，其中四个元素全不为零。齐次点具有下列几个性质：1)如果实数a 非零，则(x, y, x, w) 和 (ax, ay, az, aw) 表示同一个点，类似于 x/y = (ax)/( ay) 。2)三维空间点(x, y, z) 的齐次点坐标为(x, y, z, 1.0) ，二维平面点(x,y)(x, y, 0.0, 1.0)。3)当w不为零时，齐次点坐标(x, y, z, w)即三维空间点坐标(x/w, y/w, z/w); 当w为零时，齐次点(x, y,乙0.0)表示此点位于某方向的无穷远处。注意：OpenGW指定w大于或等