条件极值简介

1、11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院条件极值条件极值n条件极值的定义n条件极值的求法n拉格朗日乘数法11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院7例例 、用用钢钢板板制制造造容容积积为为 的的无无盖盖长长方方形形水水箱箱，问问怎怎么么选选择择水水箱箱的的长长、宽宽、高高才才最最省省钢钢板板. .V例如P204例7：水箱设计问题( , , )22(0,0:.:,0)S x y zxyxzyzxyzxyzV目标函数约束条件11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院极值问题极值问题n不带约束条件的极值问题，称为无条件极值问题.n附有约束条件的极值问题，称为条件极值问题.11.3

2、条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院极值问题特点极值问题特点n无条件极值问题的特点： 其极值点的搜索范围是目标函数的定义域.n条件极值问题的特点： 其极值点的搜索范围还要受到自变量附加条件的限制.11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院例如P204例7：水箱设计问题( , , )22(:0,0.:),0 xyzS x y zxyxzyzxyzV目标函数约束条件11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院条件极值问题的一般形式1122121122()(,.,)0(,.,)0(1)().:(,).(,.,)0.nnmnnF x xxFx xxmnFx xyf x xxx求目标函在满

3、足函数方程组下的极值 这就是条件极值 函数方程组称为限制条件联系方程组数11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院条件极值的求法:n用消元法化为无条件极值.n拉格朗日乘数法.11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院例如P204例7：( , , )22(0,0:.:,0)S x y zxyxzyzxyzxyzV目标函数约束条件11, ,2(0,)0,)(S x yxyVyxxVF x yxyy11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院注:1、消元法并不是对所有的条件极值都是可行的.比如约束条件是由隐函数组给出，而隐函数组的解不一定是初等函数.2、变量的平等性受到破坏.所以我们

4、要去寻找新的一般的方法。11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院例: 求条件极值( , ):( , ):0.:zf x yCF x y目标函数约束条件11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院寻找必要条件：000000000( ,)(,)(,).(,)?zf x yPxyPxyPxy设在点处取得极值，即点是条件极值问题的那么的坐标应满足什么样值点的条件极11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院000,(,)0,( ,)0( ).yfFPGFxyFyx yxGg为此 设函数的所有偏导数在点的某邻域连续 且则有隐函数定理在确定函数 ( , )( )( )( ),.yg xg

5、xh xf x yfxzf x将代入目标函数之中化为关于 的一元函数11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院0000.(,)( )P xyxxzh x若点是条件极值问题的极值点那么点必定也是的极值点0,.( )xxzh x从而有一元函数极值的必要条件可知点必定是的稳定点00()0.x xdzh xdx即11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院00000(,) 1(,)()0.xyfxyfxyg x 00000(,) ,()=(.,)xyF xyg xFxy由隐函数定理代入上式00000000(,) 1(,)0,)(.,)xyxyF xyfxyfxyFxy 00000000(,)

6、(,)(,),)0.yxxyFxyFfxyxyfxy11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院00000(,),=.(,)yyfxyFxy为了便于记忆令00000(,).(,):Pxxyy若点是条件极值问题的极值点其必要条件是点应满足方程000000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0 xxyyfxyFxyfxyFxyF xy11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院( , , )( , )( , )x yf x yF x y如果引入辅助变量 和辅助函数000000000000000000000(,)0(,(,)(,)(,)(,)(,)0(,)0)xxyyxyfxyFx

7、yfxxyxyxyyFxyF xy11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院000000(,)(,).( ,)Pxyxyx y若点是条件极值问题的极值点 其必要条件恰好是点是辅助函数的稳定点( , , ), :.x y通过引入辅助函数把条件极值问题转化成为关于这个辅助函数的由此产生了一个重要思想普通极值问题,( ,),.x y拉格朗日乘数法拉格这种方法称为辅助函数称为辅助变量称为朗日函数拉格朗日乘数11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院推广: 一般而言1211221212(,)(,.,)0(,.,)0().(,.:.,)0.nnnmnyf x xxF x xxFx xxmnFx

8、 xx求目标函数在约束条件下的条件极值组11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院12121212112(,)(,.,)(,),nmmnkknmkx xxf x xxFx xx拉格朗日函引入辅助函数称此函数为数拉格朗其中称为日乘数.11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院求条件极值问题步骤:1212121211 1(,)(,)(,) .nmmnkknkmmx xxf x xxF x xxfFF拉格朗日函数1、引入11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院.2、求拉格朗日函的稳定点数112.0,1,2, ;(,.,)0,1,2,;mkkkiiiknknmFfinxxxF x

9、xxkm即求下述个方程的解00001200000101202,.,.,(,.,(1,2,),.)nmnkP xxkxxxmxM设解是求解过程可以消去求得满足方程组得稳定点11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院00001200012,(,.,),.(,.,),.nnP xxxxxx3、由问题的实际意义 如果函数必存在条件极值而方程组又只有一个稳定点该点必为所求问题的极值点把极值点代入目标函数 求得极值11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院( , , )22(:0,0,0).,:S x y zxyxzyzxyzxyzV例：用拉格朗日乘数法 重新目标函数约束条件求水箱设计问题11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院( , , , )2()(, ) 解：作辅助函数x y zxzyxyzyVzx:20,20,2()0,0. 解方程组xyzzyyzzxxzxyxyxyzV为消去为消去 , 将前三式分别乘以将前三式分别乘以 x , y , z , 则得则得 11.3条件极值条件极值高州师范学院高州师范学院2,2,2 (). xzxyxyzyzxyxyzz xyxyz两两相减后立即得出两两相减后立即得出 再代入第四式再代入第四式,