足长与身高关系的数学模型研究

1、足长与身高关系的数学模型研究弋2000年第1期第lO卷总第40期铁道部郑州公安管理干部学院JournalofRailwayMinistryZhengzhouPoliceCollegeNo.120O0V01.10Sum40足长与身高关系的数学模型研究邹荣合(河南公安高等专科学校侦查系,j可南郑州450002)(摘要本文在利用足长推算身高的传统方法的基础上,利用概率与数理统计的方法对足长与身高的关系进行了精确的推导,最终给出了足长与身高关系的数学模型,并提出研究人员.-j-#4用此模型对不同的人群分别进行随机抽样测量,在求得足长与身高之间关系的不同常数之后,便可以分别在不同的人群中加以运用,以求得

2、一定足长的身高区间,其准确率在99%以上.(关键词足长身高数学模型(中图分类号D918.91(文献标识码A(文章编号10093192(2000)010037一(05)由足长推断身高对侦查破案具有积极作用从目前情况来看,由赤足长推断身高有以下儿种方法身高:赤足长×4+68cm身高:赤足长×5.5十32.5cm身高=赤足长×73cm身高:2422cm一2.56×平面赤足长以上方法虽然简单易掌握,使用方便,但却存在很大弊端首先,由于赤足长的系数过大,在测量或推断赤足长度时,稍有误差身高就会产生很大变化.其次,任何利用赤足长计算身高的办法都只能得知身高的范围,不

3、能得知确定身高,而利用以上公式推测身高范围,还需借助技术人员的经验进行,其范围幅度很不确定,而且在案件现场上只能得知足迹的长度,不能直接得矢n赤足的长度,欲知赤足的长度仍需借助经验进行推测,这样赤足的长度实质上并不确定,而只能是一个相对的区间,因此推算的身高也只能是一个区间.再次,在实践中发现不同的人群(如城市人群和农村人群)身高和赤足长的关系并不一致,以上方法对有的人群并不适用.为了完善上述方法在实际应用中的不足,本文将针对赤足长和身高的关系,运用概率论和统计学的理论进行详细讨论,给出确定赤足长与身高的关系以及由赤足长来预测身高的科学方法.并且在相当可靠的把握下(99%以上),由赤足长来确定

4、一个身高的区间一,提出假设实践经验和理论研究都告诉我们,埘于?定的赤足长其身高是一个随机变量,这是因为人的身高受着多种随机因素的共同影响.故设赤足长是普通变量x,身高是随机变量Y由于v是随机变量,对于x的每一个确定值,Y有它的分布,也就是Y落在任一区间y1,y2上的概率:PYl<yY2是确定的若Y的均值即数学期望存在,则其取值随X的取值而定,即Y的均值是x的函数,记为(x),(x)称为Y关于x的回归.实践经验表明(x)为线性函数并且对于x的每一个值,Y服从正态分布,即PY】<yY2=F(Y2)一F(Y1),1,/,2这里的F(y)=e一dt,概率密度f(y):e一&

5、#247;,>0,一<x<的图象,如图(收稿日期2000120作者简介邹荣合(1965一),男,河南邓州人,河南公安高等专科学校侦查系副主任,讲师.?37?邹荣合:足长与身高关系的数学模型研究y=Yo处的图象越高,说明Y=Yo的概率越大,也就是说Y=Yo的可能性越大.故设("(x):a+bxYN(a+bx.c2)其中,b及2都是不依赖于x的未知参数,对Y作这样的正态假设,相当于假设Y=a+bx+Tl,TlN(0,)(1)其中a,b及c2都不依赖于X.设y关于x的回归方程为=+,要确定Y与x的关系,就是要确一.定Y关于x的回归方程.图_.二,a

6、,b的估计取的几个不全相同的值x1,x2,x作独立测量,得到样本(x1,Y1),x2,Y2),(,Y),由(1)式Yi=a+bxt+Th,yiN(O,2),各相互独立.于是YN(a+bx,2),i=1,2,n且由于Y1,v2Y-t的独立性,知y1,y2,Y的联合密度为:直e.2(Yi-a-bx1):(xp一去-a-bx1):现用极大似然估计法来估计未知参数a,b,对于任意一组观察值Y1,y2,Y,(2)式就是样本的似然函数,显然,要L取最大值,只要(2)式右端方括的弧中的平方和部分为最小.即只需函数Q(a'b)=.(y一abx)取最小值.取Q分别关于a,b的偏导数,并令它们等于零:一2

7、耋(y一一abx)=.1得方程组(3)害=-,n(y一abx1)xl=0J"an+iI.=i11:l/1,(Xia+(x)b=xyJ由于x,不全相同,方程组(3)的系数行列式l兰Xi:il:i一(兰,):(一x)2#Ol兰x曼x!.=故(3)有唯一的一组解,解得a,b的极大似然估计为:.xYi一(x,)(y】)互(x一x)(Yiy)一上三L三J_一Xi2一(圭xi)一圭(Xi)z一一x=上耋y.一=ynini16=r='s一,.一(.Syy=(y一y)2=i一.上(,n=i(x)(y,一y):.yj一(.ixt)(.yt)n一一n1n这样a,b估计可写成.R?,p邹荣合:足长

8、与身高关系的数学模型研究li=,.一(xi)6J随机抽样不仅可以从总体出发,求得一组,6的值,还可以分城镇与乡村,不同地区,不同民族进行分别抽样,从而求得几组不同的i,6值,这样估计出的身高会更可靠些.三,c2的估计残差平方程Q:(Yi)=(y一gx.)服从分布(2(一2)(5)于是E(Q/c2)=n一2,即知c2的无偏估计是:(6)为了便于计算,我们将Q作如下的分解:Q=(Y一.)=,y.一一6(xlx)J(y.一一2()(y.一了)+()=Syy一2gsxy+(6)Sxx由(4)式6=sy/,得Q的一个分解式Q.=Syy一6,于是=Q/n一2=(Syy一6sxy)/(n一2)四,线性假设的

9、显着性检验实践经验表明"(x)是线性函数,在此我们可以用假设检验来确定这个结论.若线性假设(1)式符合实际,则b不应为零,因此我们需要检验假设Ho:b=0,H:bO我们使用t检验法来检验,t检验法是数量统计中重要的假设检验方法之一.我们有:6N(b,2/)又由(5)式,(6)式知:Qe)(2(一2),且6与Qe独立,故有/(n一2)一2),c2""'即t(一2)这里=当Ho为真时,b=0,此时t=b.t(n一2),即得Ho的拒绝域为:t(n一2),此处a为显着性水平(一般取0.05)当假设Ho:b=0被拒绝时,认为回归效果是显着的,即线性假设是符合实际的,

10、反之,认为线性假设不符合实际.五,预测预测区问的求法如下:设y0是在x=xo处对随机变量Y的观察结果,由(1)式它满足=a+bxo+N(O)丁b,)J我们可以取Xo处的回归值:o=i+6):o作为YO=a+b0+的预测值,由(7)式得YoN(a+bxo,e)(8)?39?邹荣合:足长与身高关系的数学模型研究得再者,;州a+bxo,+E2)又因()(o,y0)是将要做的一次独立测量的结果,故Yo,Y一,Y相互独立,而根据(x一x)(YiY)6:_(X,一x).(xix)yr,(x)y=一兰(x,一)zi=1(9)一(Xix)yi:_(X,一X)知6是Y1,Y2,Y的线性组合.由i=,y一(,)6

11、知道6o=i=6)【o是y-,y,y的线性组合,故y0,相互独立,于是由(8),(9)式.州O'+E2)ry-yio=I/11(xox)=_I另一方面由(5),(6)式t2(n一2),且y0,相互独立,故有二Q一二一此处:,于是对于给定的置信度1一a,有广一?+/,/2O'1).E2(n一).或P/-t.22)f+1(xo-x)2yo<yoy:2)+信度为1一a的预测区间为):1一a因此y0的置露'在样本容量n很大时(实际操作可取n>100),可以认为(10)式中的根式近似地等于1,而t2(n于是Yo的置信度为1一a的预测区间近似地等于(;一

12、乙2,一za,2)特别:取1一a=O.95,此时Z2:Zo025:1.96,故得Yo的置信度为O.95的预测区间近似地为(一+)取1一a=O.997,此时za,2=2.97,故得y0的置信度为O.997的预测区间近似地为(一3,+)当足长不能确定,而只知道在某个范围内即xi,x2时,预测区间近似地等于(1一z2,;2+z2)取1一a=0.95时为?40?(1O)2)一Z.(11)(12),I,fJ一n,<,J(【P邹荣合:足长与身高关系的数学模型研究(y一.y,+)(13)取la=0.997时为(一3,2+)(14)现场若是鞋印,则要依据鞋印推断出赤足长或赤足长的区间.由鞋印确定

13、赤足长的方法不在本文研究之列,读者和刑事技术人员可参阅有关文献深入研究.若现场遗迹为残缺足迹也可依经验推测赤足全长的区间.对于上述(11),(12),(13),(14)式,刑事技术人员若能很好领会理解,并通过抽样调查确定i,6的值,相信上述结论对提供破案线索,缩小侦查范围会起一定作用的.最后强调,在抽样过程中要确保重要抽样的随机性,即每个对象(这里就是人)被抽到的可能性是相等的;还要确保抽样的独立性,即两次抽样之间是互不相关的.参考文献1吴旭芒.足迹学M,中国刑事警察学院.1984.2张江等.刑事技术实务百科M北京:警官教育出版社,19943李烽.足迹学,湖北省公安高等专科学校,1987.4孟

14、兆安.足迹检验综合利用M北京:中国人民公安大学出版社.1991.5陆璇.数理统计基础M)Jt京:清华大学出版社.1998.6金炳陶.概率与数理统计M北京:电子工业出版社.19977王清举,韩均良.足迹步法定量化检验M北京:中国人民公安大学出版社.19928李烽.行走习惯痕迹学M)Jt京:中国人民公安大学出版社.1998.9】浙江大学.概率与数理统计M北京:高等教育出版社.1989责任编辑:贾永生(上接第24页)织犯罪活动的温床,这已成为国际社会的共识.我国体制转换时期一定程度上的无序状态和腐败现象结合起来,被犯罪分子利用,为有组织犯罪的发展提供了有利条件.(六)农村有组织犯罪数量增加,规模升级

15、.一些地方农村基层建设薄弱,农村闲置人口增多,农民负担过重以及一些地方封建宗族势力活跃,这些问题在未来一段时间内将依然存在,促使农村刑事犯罪增加,社会治安形势严峻.一些农村流氓恶势力及各种犯罪团伙的出现,表明农村刑事犯罪正走向"有组织化".而农村基层政权建设不力及农村地区警力的不足,使犯罪的升级难以得到有效的遏制.(七)有组织犯罪国际化的趋势将日益突出.随着国际交往的不断增加,香港,澳门的相继回归.国外境外犯罪组织对中国大陆渗透活动加剧,与境内犯罪组织的勾结将不断强化,有组织犯罪国际化的趋势将日益突出.目前,中国大陆的有组织犯罪处于初始阶段,还没有真正形成像国外和台,港,澳那样档次和规模的有组织犯罪.但国外和境外的犯罪组织向我们的渗透已是一个严峻的现实,他们或以投资经商为旗号,入境建立据点,发展势力,或以投资办企业为名进行洗钱等非法活动,或为逃避境外警方通缉而到大陆避风.这些涉及大陆的犯罪组织不可避免地要与内地犯罪组织相互勾结,共同犯罪,进行跨国,跨境的走私,贩毒,拐卖人口,诈骗,杀人等犯罪活动他们一旦联合,中国必将出现国际化的犯罪组织.犯罪组织的滋生,蔓延,发展,演变的复杂性和顽固性,决定了同有组织犯罪