随机振动的响应分析学习教案

1、会计学1随机振动的响应分析随机振动的响应分析第一页，共55页。7-1 单输入(shr)单输出的线性系统 7-2 多输入(shr)多输出的线性系统第1页/共55页第二页，共55页。本章讨论机械或结构系统在随机激励(jl)作用下，激励(jl)系统响应三者之间的关系。系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性模型可得到逼真的结果(ji gu)。本课程只讨论线性系统问题。随机激励(jl)分两类：参数激励(jl)与非参数激励(jl)参数激励(jl)：系统本身的某些参数(如质量、刚度、阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。非参数激励(jl)即由外界施加的激励(jl)。非参数激励(jl)又分为平稳的和非平稳的

2、两类。本章研究常参数线性系统对平稳随机激励(jl)的响应第2页/共55页第三页，共55页。当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的假设，系统的响应(输出(shch)也一定是平稳的。对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置上同时受到激励(jl)，即有多个输入；其响应也可能有很多个，而且不同位置处的响应也不同。对于(duy)线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决第3页/共55页第四页，共55页。对于确定性振动，激励与响应之间的关系，一般(ybn)用微分方程来描述，方程的非齐次项是确定的，初始条件也是确定的，因此响应也是确定的。在随机振动中，一

3、般激励与响应都必须用概率统计的方法来描述。在激励与系统特性已知的情况下，只能求出响应的一些统计特征，如期望（均值）、相关(xinggun)函数、功率谱密度、均方值等。第4页/共55页第五页，共55页。7-1 7-1 单输入单输入(shr)(shr)单输出的线性系统单输出的线性系统假定常参数线性系统只受到一个输入x(t)的作用，其相应(xingyng)的响应(输出)为y(t)，如图所示。常参数线性振动系统常参数线性振动系统y(t)Output (response)输出（响应）输出（响应）x(t)Input (excitation)输入（激励）输入（激励）本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的

4、关系，以及计算(j sun)响应（输出）的统计特征的方法第5页/共55页第六页，共55页。设x(t)是平稳随机过程X(t)的一个样本函数则系统输出(shch)y(t) 是另一平稳随机过程Y(t)的一个样本函数设系统的脉冲响应函数h(t)，则频率响应函数是H()。常参数线性振动系统常参数线性振动系统y(t)Output (response)输出（响应）输出（响应）x(t)Input (excitation)输入（激励）输入（激励）一、响应(xingyng)的均值对于输入的一个样本函数，由卷积积分公式(gngsh)，可得输出的一个样本函数( )() ( )dy tx th第6页/共55页第七页，共

5、55页。( )() ( )dy tx th设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出其对应的输出的样本函数。于是(ysh)，可得到输出的集合平均为: ( )() ( )dE Y tEX thdhtXEtYE)()()(xtXEtXE)()(dhtYEx)()(dehHj)()(0dhH)()0( 第7页/共55页第八页，共55页。输入与输出(shch)均值的关系式为： ( )= (0)YXE Y tHdhtYEx)()(dhH)()0(H(0)是一个常数，它表示输入X(t)与输出Y(t)中，频率(pnl)=0这一成分（即直流分量）之间的传递关系。)()()0(txtyH直流分量(fn lin

6、g)第8页/共55页第九页，共55页。上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与输入的均值只差一个乘子H(0)。若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。此结论可以推广(tugung)到多输入与多输出的情形。 ( )=(0)YXE Y tH第9页/共55页第十页，共55页。输出过程Y(t)的自相关函数(hnsh)定义为: ( ) ()E Y t Y t第10页/共55页第十一页，共55页。上式为输出的自相关函数之间的关系式。该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机过程，则响应(xingyng)的自相关函数与自然时间无关，也一定是平稳的随机过程。则响应(xingyng)的自相关函数可表示为

7、:122112( ) ( ) ()=( ) ()()d dYXRE Y t Y thhR 第11页/共55页第十二页，共55页。对输出的自相关函数作傅立叶变换(binhun)，便得到响应的自功率谱密度SY()为三、响应的自功率三、响应的自功率(gngl)谱密度函数谱密度函数变换(binhun)积分次序，并重新排列jj122112( )( ) ( ) ()()d dd YYXSRedehhR 1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 第12页/共55页第十三页，共55页。令=-1+2，由维纳辛钦关系式知，最后一个积分就是(jish)激励X(t)的自谱密度

8、： j( )( )dXXSRe第二个积分就是脉冲响应函数h(2)的傅立叶变换(binhun)，即频率响应函数H()。2j22( )()dHhe1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 第13页/共55页第十四页，共55页。前两个积分的不同在于指数(zhsh)中的正负号的差别。经处理(chl)后得随机输入与输出的自谱密度关系式:上式是随机振动理论中一个极其重要的公式，指出了输入、输出与系统动态(dngti)特性三者之间的关系。 1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 111)()()(dehHHj2( )( )

9、( )( )( )( )YXXSHHSHS第14页/共55页第十五页，共55页。上式表明，若已知系统的增益(zngy)因子|H()|和输入的自谱密度SX()，则可确定输出的自谱密度SY()。事实上，若已知SX() 、|H()|和SY() 三者中的任意两个，就可以确定第三个。此外(cwi)，响应的自谱密度是与系统的相位因子无关的。2( )( )( )( )( )( )YXXSHHSHS第15页/共55页第十六页，共55页。已知响应的自谱密度(md)SY()，则可计算出响应的均方值EY2: 21(0)( )d2YYE YRS四、响应四、响应(xingyng)的均方值的均方值将随机输入与输出(shc

10、h)的自谱密度关系式代入上式2221( )( )d2YXE YHS注意：当均值为零时，均方值就等于方差。22YY第16页/共55页第十七页，共55页。在输入为理想白噪声的情况下，由于(yuy)输入的自谱密度对于所有的频率都是常数，则响应的均方值公式可得到简化:220( ) d2YSH只要计算(j sun)出如下的广义积分I值，便可求得响应的均方值：2( ) dIH2221( )( )d2YXE YHS第17页/共55页第十八页，共55页。由互相(h xing)关函数的定义，可得激励与响应之间的互相(h xing)关函数:( )( ) ()( )( )()d ( ) ( )()d( )()dXY

11、XRE X t Y tE X thX thE X t X thR五、激励五、激励(jl)与响应的互相关函数与响应的互相关函数常参数线性系统在受到平稳随机输入时，激励与响应之间的互相关函数正好等于(dngy)脉冲响应函数与输入自相关函数的卷积( )() ( )dy tx th( )( )()dXYXRhR第18页/共55页第十九页，共55页。对互相关函数(hnsh)表达式作傅立叶变换，便可得到激励与响应之间的互功率谱密度。六、激励与响应六、激励与响应(xingyng)的互谱密度的互谱密度jjj-( )( )d =( ) ()d ( )()d d XYXYXSRehRdehRe 与前面计算响应自谱

12、相似(xin s)的方法，将上式改写为：jj()( )( )d()d() XYXSheRe ( )( )()dXYXRhR第19页/共55页第二十页，共55页。上式第一个积分是频率响应函数H()，第二个积分就是激励(jl)X(t)的自谱密度SX()( )( )( ) XYXSHS上式表明：输入与输出之间的互谱密度等于系统的频率响应(pn l xin yn)函数与输入自谱密度函数的乘积。通过该式可完整地确定系统的频率特性H()。jj()( )( )d()d() XYXSheRe 第20页/共55页第二十一页，共55页。由于(yuy)H()是复数，它可表示为:( )( )j ( )HAB则互谱密度

13、可以(ky)表示为:( ) ( )j ( )( )XYXSABS由于(yuy)SX()是实偶函数，则互谱密度函数可表示为：( )( )( )( )( )arctg( )XYXXYBSHSA第21页/共55页第二十二页，共55页。上式表明：互谱密度的幅值等于系统(xtng)的增益因子与 输入自谱的乘积互谱密度的幅角又等于系统(xtng)的相位因子。( )( )( )( )( )arctg( )XYXXYBSHSA第22页/共55页第二十三页，共55页。七、相干七、相干(xinggn)函数函数22( )( )( )( )XYXYXYSSS系统输入与输出的谱相干函数(hnsh)（又称凝聚函数(hns

14、h)）可通过下式来定义：SX()和SY()皆为实函数(hnsh)，故相干函数(hnsh)必为实函数(hnsh)。可以证明，对于所有频率，相干函数满足以下不等式：20( )1XY第23页/共55页第二十四页，共55页。当输入与输出互不相关(xinggun)时，有RXY()=0，从而互谱密度SXY()=0，于是由定义知相干函数也等于零。对于线性系统，存在(cnzi)下列关系2( )( )( )( )( )( )YXXYXSHSSHS在线性系统的假设(jish)下，输入输出线性相关，有22222( )( )( )( )1( )( )( )( )( )XYXXYXYXXSHSSSSHS第24页/共55

15、页第二十五页，共55页。输入输出互不相关时，相干函数的值等于0；输入输出线性相关时，相干函数等于1。相干函数的值在0与1之间。如果(rgu)相干函数值大于零但小于1，为以下三种情况之一 联系输入(shr)X(t)和输出Y(t)的系统是非线性的(2) 测量(cling)中有外界噪声干扰(3) 输出Y(t)是输入X(t)和其它输入的综合输出。第25页/共55页第二十六页，共55页。j0( )tx tx e如图所示的单输入线性系统，假定只在输出(shch)测量中混有噪声，则实测得到的输出(shch)Z(t)是真实输出(shch)Y(t)与噪声干扰N(t)之和。( )( )( )Z tY tN tN(

16、t)Z(t)H()X(t)Y(t)只讨论一种存在(cnzi)噪声干扰的情况：第26页/共55页第二十七页，共55页。假定X(t)与N(t)皆是均值为零的平稳随机(su j)过程，且N(t)与X(t)和Y(t)都是不相关的，则有：0)()()()(YNNYXNNXRRRR)()()()()()()()()()(XYXNXYXZRRRtNtXtYtXEtZtXER输入(shr)与实测输出之间的互相关函数：故有:)()(XYXZSS第27页/共55页第二十八页，共55页。实测输出(shch)的自相关函数)()()()()()()()()()()()()(NYNNYYNYZRRRRRRtNtYtNtY

17、EtZtZER实测输出(shch)的自谱密度)()()(NYZSSS第28页/共55页第二十九页，共55页。输入X(t)与实测(sh c)输出Z(t)的谱相干函数:( )( )( )( )( )XZXYZYNSSSSS22( )( )( )( )XZXZXZSSS得到(d do)222Z2( )( )( )1( )( )( )( )XXXXNHSSHSS将互谱密度(md)与自谱密度(md)式代入上式，并结合下式2( )( )( )( )( )( )XYXYXSHSSHS第29页/共55页第三十页，共55页。上式表明：在有噪声(zoshng)干扰的情况下，输入与实测输出的谱相干函数将小于1。因此

18、，对于线性系统，可借助相干函数值来判断干扰影响的大小。)()()()()()()(XXZXXYXZSSHSHSS此外(cwi)：虽输出中含有干扰，但通过(tnggu)实测信号的互谱密度以及输入信号的自谱密度可以精确的获得系统的频响特征222Z2( )( )( )1( )( )( )( )XXXXNHSSHSS第30页/共55页第三十一页，共55页。考虑某一具有m个输入Xi(t) (i=1,2, m)和n个输出Yk(t) (k=1,2, n)的常参数系统，假定(jidng)每个输入Xi(t)都是平稳的随机过程。( ), 1,2, kihtim在系统有m个输入Xi(t)的情况下，对应于每一个(y

19、)输出Yk(t)，有m个脉冲响应函数：第31页/共55页第三十二页，共55页。对于(duy)n个输出，则共有nm个脉冲响应函数，脉冲响应以矩阵形式可表示为：111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmhthththththth thththt矩阵中各元素均加以两个脚标第一个脚标k(k=1,2, n)表示(biosh)k处的响应(输出)；第二个脚标i(i=1,2, m)表示(biosh)i处的激励 (输入)第32页/共55页第三十三页，共55页。频率响应(pn l xin yn)函数是脉冲响应函数的傅立叶变换，因此，图示系统共有nm个频率响应(

20、pn l xin yn)函数，频率响应(pn l xin yn)矩阵H()可表示为111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmHHHHHHHHHH第33页/共55页第三十四页，共55页。已知系统的激励和动态特性，便可确定(qudng)系统响应的各个统计特征。m个输入和n个输出 可以(ky)表示为1122( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )mnX tY tXtY tX tY tXtY t一、响应一、响应(xingyng)的均值的均值对于线性系统，每一个输出Yk(t) (k=1,2, n)都可以由对应于每个独立输入的响应Yki(t

21、) (i=1,2, m)叠加而成，如图所示。第34页/共55页第三十五页，共55页。121( )( )( )( )( )mkkkkmkiiY tYtYtYtYt假定各个(gg)输入Xi(t)都是平稳的随机过程，则有iXXEi常数(chngsh)第35页/共55页第三十六页，共55页。对应于每个独立输入(shr)(第i个输入(shr)的响应Yki(t)的期望为(0)( )dkiiikiYXkiXkiE YHh11(0) (1,2, )kimmYkkiXkiiiE YE YHknk处总响应(xingyng)的期望为写成矩阵(j zhn)形式：XYH)0(YnYYY21XmXXX2111121212

22、2212(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)mmnnnmHHHHHHHHHH第36页/共55页第三十七页，共55页。系统的每一个(y )输出Yk(t)是对应于各个独立输入的响应的叠加：11111( )( )( )()d (1,2, )mmkkikiiiiY tY thX tkn二、响应(xingyng)的相关矩阵系统(xtng)的响应以矩阵形式的形式可以表示为下式111( )( )()dY thX t其中Y(t)与X(t)是给出的列阵，而h(1)表示脉冲响应矩阵。( ):1( ):( ):1Y tnh tn mX tm第37页/共55页第三十八页，共55页。111( )

23、( )()dY thX t12( )( )( )( )mX tXtX tXt111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmhthththththth thththt12( )( )( ) ( )nY tY tY tY t11111( )( )( )()d (1,2, )mmkkikiiiiY tY thX tkn第38页/共55页第三十九页，共55页。222()()()dY thX t对上式进行(jnxng)转置得222()()()dTTTYtXthn个输出的自相关与互相关函数构成(guchng)一个nn阶的输出相关矩阵RY()1 11 212

24、 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnn nYYYYYYY YY YY YYY YY YY YRRRRRRRRRR():1Y tn():1TYtn第39页/共55页第四十页，共55页。)()()()(21tYtYtYtYn)()()()(21tYtYtYtYnT上式也可以(ky)下列形式表示写成111222( ) ( )() ( )()d()()dTYTTRE Y t YtEhX tXth若将该式中两个积分的乘积改写成二重积分，并交换(jiohun)求平均与积分的次序，可得 ()(1)n mm(1)()mm n第40页/共55页第四十一页，共55页

25、。112221121221( )( ) ()()()dd ( )()()ddTTYTXRhE X tXthhRh111222( ) ( )() ( )()d()()dTYTTRE Y t YtEhX tXth该表达式给出了多输入(shr)与多输出系统的输出相关矩阵与输入(shr)相关矩阵之间的关系式，其中，输入(shr)相关矩阵为:( )( )()TXRE X t Xt第41页/共55页第四十二页，共55页。系统的n个输出的自谱与互谱构成了一个(y )nn阶的输出功率矩阵SY()。1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnn nYYYY

26、YYY YY YY YYY YY YY YSSSSSSSSSS三、响应三、响应(xingyng)的的谱矩阵谱矩阵其中(qzhng)矩阵元素为第42页/共55页第四十三页，共55页。输出功率矩阵(j zhn)也可以表示成下列表达式的形式：j( )( )d ( ,1,2, )k lk lY YY YSRek lnj( )( )dYYSRe将输出(shch)相关矩阵表达式代入上式，可得多输入与多输出(shch)系统的输出(shch)功率谱矩阵与输入功率谱矩阵间关系式1122j112221jj()j11121222( )( )()()dd d ( )d()d()()d ( )( )( ) TYXTXT

27、XShRheheReheHSH 112221( )()()()ddTYXRhRh()()()nmmmmn第43页/共55页第四十四页，共55页。其中H()是系统的频率响应矩阵(j zhn)，HT()是H()的转置矩阵(j zhn)，H()的共轭矩阵(j zhn)为1j11( )()( )dHHhe而输入(shr)功率谱矩阵为j( )( )dXXSRe1122j112221jj()j11121222( )( )()()dd d ( )d()d()()d ( )( )( ) TYXTXTXShRheheReheHSH )()()()(TXYHSHS第44页/共55页第四十五页，共55页。系统(xt

28、ng)的m个激励和n个响应构成一个mn阶互相关矩阵RXY() 1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmm nX YX YX YX YX YX YXYX YX YX YRRRRRRRRRR四、激励四、激励(jl)与响应的互相关矩与响应的互相关矩阵阵矩阵的元素为第45页/共55页第四十六页，共55页。1( )( )()( )( )()d ( 1,2,; 1,2, ) j kmX YjkjkiiiRE Xt Y tE XthX tjmkn矩阵的元素为激励(jl)与响应的互相关矩阵也可表示为： dhRdhtXtXEdhtXtXEtYtXERT

29、XTTTTTXY)()()()()()()()()()()(第46页/共55页第四十七页，共55页。系统的m个激励和n个响应(xingyng)构成一个mn阶的互谱矩阵SXY() 1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmm nX YX YX YX YX YX YXYX YX YX YSSSSSSSSSS五、激励五、激励(jl)与响应的互谱函数与响应的互谱函数其中(qzhng)，矩阵元素的定义为( )( )d (1,2,; 1,2, )j ki kjX YX YSRejmkn第47页/共55页第四十八页，共55页。激励与响应的互谱矩阵(j zhn)也可表示为jj()j( )()( )d d ()d()( )d( )( )TXYXTTXXSRheReheSH 类似(li s)地，有下列表达式成立：)()()(1TYYXHSS)()()()()()(1XTTXSHHHSH)()()(TXXYHSS)()()(*