课本例题过点P1,2的直线与x轴的正半轴,y轴的正半轴

1、一题多解、变式与引申普通高中数学课程标准指出：倡导积极主动，勇于探索的学习方式，设立数 学探究等学习活动，为学生形成积极主动的，多样的学习方式进一步创造有利的 条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识与能力.增强学 习数学的兴趣。笔者认为在教学中将一些好的例题习题进行一题多解，变式与引 申应成为数学探究教学的重要渠道.例题：过点P (1, 2)的直线与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A, B两点，当AOB勺面积最小日求直线l的方程。1、探究问题的不同解法分析：从问题入手，先回忆直线方程的几种形式，每种形式分别在何种条件下使用，同时提示学生注意要易于将 AOB勺面积表示出来。思

2、路1:突出条件直线过点P (1, 2),可设直线的点斜式方程求解。解法1:设直线l的斜率为k,由条件知k存在且k<0,因此l的方程为：y-2 = k(x-1)令 x = 0,得 y = 2k,令 y = 0,得 x=12k则 A (1-2, 0), B (0, 2-k)OA| | OB| = - | 1- | | 2-k | 2 k(1 2)(2k) | k4-k+ +4 | k4" , /2J( k)44 =4V k当且仅当一k=±即k= 2时，取“=”，k.AOB勺面积最小为4,此时直线l的方程为y-2=-2(x-1)即 2x+ y -4=0评注：解法1是最基本的

3、解法，用基本不等式求最值时要注意验证三个条件 （一 “正"二“定"三“相等”）是否满足。当获得问题的一种解法后，不要为一时的收获而“沾沾自喜”，使思维停滞不前，要对自己的思维进行积极的反思。 若对题中的条件从不同的角度进行思考，又可得以下两种思路。思路2:突出条件直线与x, y轴正半轴分别交于 A、B两点，可设截距式方程-丫 1,得出a, b的关系后，在用不等式求面积的最小值时又有不同 a b的解法。解法 2:设点 A (a, 0), B (0, b),故直线方程为二？ 1,由条件知，a>1, b>2 a b由于点P (1, 2)在直线上，所以有：1 2 1 a

4、 b由基本不等式，得1 1 2 A 2j2 abn 8. a b ，ab于是，Smo- -ab> 4,当且仅当1 2,即a=2, b= 4时，取"=2a b因此，AOB勺面积最小为4,此时直线l的方程为x y 1,2 4即 2x+ y -4=0解法3:同解法2得，2 1,从而a上 a bb 22_ 2_Sa AOA 1ab=1 工 1 (b 2)4(b 2) 422 b 22b 21 4=-(b 2) 42 b 2. b>2 . .b 2>0, 4±_ >0 b-2+> 2jb 2) =4b 2b 2, b 21 .Sa aobA (4 + 4

5、) = 42当且仅当b 2=，即b=4时，取“=”.此时a=2b 2因此， AOB勺面积最小为4,止匕时l的方程为)1 1即2x+y 4=02 4解法4:同解法2得，2 2 1, a b令1sin2, 2cos2, 贝U a-12- ,b -2-absincos S»aao/ lab= 1 122 sin23=1222 cos sin cos4= 2. 2(2 sin cos )sin 2. sin2 2 W1,4A4,即 SA4,sin 2当且仅当sin2 =±1即 -,k Z时，取“=”.此时a= 2, b= 424故AOB勺面积最小为4,此时直线l的方程为）上1即2x

6、+ y -4=0 2 4思路3:可以以角为变量，用角将所要用的量表示出来，转化为三角问题。解法5:如图1,自点P作PMLx轴，作PNLy轴，垂足分别为M N,并设/ PAMSaao/ S 矩形 ompN- Sapam+ Sa bpn=2+ 1 x 2 x 2cot 0 + 1 x 1 x tan 0 22=0 ( = / BPN,易知 0 为锐角，则 BN= tan 0 ,AMI= 2cot0,易得,=2+ 2cot 0 + 1tan 0 >2+ 212cot 1tan =4 2，2当且仅当2cot 0 = 1tan 0 ,即tan 0 = 2时，取，此时直线l的斜率 2k = tan(

7、兀-0 ) = 2,可得直线方程为 y 2= 2(x 1)即 2x+ y 4=0评注：解法2, 3, 4都是利用直线的截距式，但在求面积的最小值时所用的方法各有千秋，其中解法2是课本的解法，直接使用均值不等式求最值；解法 3用的是变量代换的方法，将面积表达式中两个变量转化为只含有一个变量，这 也是我们解决问题常用的方法；解法 4用的是三角换元求最值；而解法 5设角 变量的方法技巧性强，解决某些问题比较方便，但其适用范围小，用设斜率或 截距的方法才是解决这一类问题的通法。从不同的角度审视该题并进行一题多 解，可以培养学生思维的广阔性。2、探究变式2.1 变换条件解题后，不能仅仅停留在表面上，要对

8、问题展开广泛的思考与讨论，尽可 能地从条件与结论的变换中得出更多的相关问题。问题1:过点P (1, 2)的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A, B 两点，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线 l的方程。问题2:过点P (1, 2)的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A, B 两点，当I PA|与| PB|之积最小时，求直线l的方程。问题3:过点P (1, 2)的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A, B 两点，当I PA|与| PB|之和最小时，求直线l的方程。以上三题都可以用与例题类似的某些方法解决，此处从略.问题4:若将条件“l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分

9、别交于A, B两点”，改 为“l与x轴，y轴分别交于A, B两点”，则例题该如何解决？分析：画出草图可知直线l并不是与坐标轴在每个象限都可以围成三角形的，只在第一，二，四象限能围成三角形，所围成的 AOB并不是每种情况下都有 最小值.画图并结合例题的求解过程可知：在第二四象限所围成的三角形面积可 取任意值(因为此直角三角形的一条直角边可以任意增大 ),而在第一象限的三 角形有最小值4.因此条件改动对例题的最后答案没有影响，只是过程要分类讨 论。解答过程略评注：对例题的条件与结论进行改变，有助于培养学生的探究能力与创新意识，有利于学生发散性思维的培养.新课程理念下的高中数学教学应该加强例习题 的

10、变式教学.2.2 构建开放性问题问题5:直线l过点P(1,2)且与x轴，y轴分别交于A, B两点，AOB勺面积为4,则这样的直线有多少条？分析：学生可以结合问题4的分析过程很容易得出满足条件的三角形有三个，在 第一，二，四象限各一个，即所求直线有3条,.如图2所示，问题6:若将问题5中的面积为4改为3或5,情况又如何呢？由对问题5的分析，容易得出面积为3时，满足条件的三角形在第二，四象限 各有一个，即直线有两条；面积为5时，满足条件的三角形在第一象限有两个， 第二，四象限各有一个，即直线共有四条.评注：构建开放性问题能培养学生的探索精神，有利于学生开放性思维的培养. 3、引申出一般性结论例题可

11、以带给我们这样的思考：既然是求面积最小时的直线方程，那么此 条直线有何特性呢？引导学生观察点P的位置，学生发现所求的直线在第一象限内所截得的线段的中点是(1, 2),恰好是点P,也就是 说AB中点为P点时，zAOB勺面积最小，难道这仅仅是一种巧合吗？有部分学生指出：将例题中的点 P的坐标换为其余点再求出相应的直线，观察结果是否也如此即可，教师可指出这只是特例验证的方法，能否用一 般性理论证明呢？如右图，直线 AR CD都过点P (1, 2),且P为线段AB的中点，当D在OB的 延长线上时，作BE/ x轴交DP于点E,则 PC* PEB从而 AOB勺面积小于 DCO勺面积。同理可证，当 C在OA延长线上(D在OB上)日AOB勺面积 小于 DCO勺面积。由上述分析可得下面的结论：结论1：在平面直角坐标系中，过点 P (m, n) m>0, n>0的直线与x, y轴的 正半轴相交于A, B,当且仅当点P是AB的中点时， AOB(O为原点)的面积 最小，最小值为2mn此时的直线方程为工工12m 2n将给论1进行推广可得：结论2:过角内部一定点的直线与角的两边相交成三角形，当过定点的直线被角的两边所截得的线段以定点为中点时，所成三角形面积最小。本结论的证明见文4评注：上述引申，引导学生多角度思考，由特殊猜想一般性结论，拓宽了思维的渠 道，体验了数学发