极限思想的探讨

1、引 言 极限的思想是近代数学的一种重要思想.所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.极限思想蕴含着丰富的辩证法思想,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的完美应用,同时也为辩证法论证世界提供了丰富的表现例证.有了极限思想,常数和变数、有限和无限、精确和近似、任意和确定、抽象和具体、量变与质变、直线与曲线等矛盾问题在这里都得到了完美的科学体现和辩证的统一.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果. 极限思想作为一种哲学和数学思想,其发展经历了思想萌芽、

2、理论发展和理论完善时期.在其漫长曲折的演变历程中,布满了众多哲学家和数学家们的奋斗足迹,闪烁着人类智慧的光芒.极限理论的形成为微积分提供了理论基础,为人类认识无限提供了强有力的工具,它从方法论上凸显出来高等数学不同于初等数学的魅力,是近现代数学发展的一种重要思想和数学方法.理清极限思想的发展过程,熟练掌握极限解题方法,揭示极限思想的核心内容与哲学思想的内在联系,对理解和解决数学史和数学哲学史上的一些疑难问题问将有重大的帮助.1 产生与发展 庞加莱说过：能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人.一切数学概念都来自于社会实践,经过千锤百炼从

3、而被提炼为概念,再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善为经典的理论.毫无疑问,极限也是社会实践的产物. 1.1 极限思想的产生 极限思想的产生可以追溯到古代,战国时代哲学家 庄周所著的庄子.天下篇中就有关于原始的极限思想的应用:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是一尺长的木棒,第一天取去一半,剩下二分之一尺,第二天再取去二分之一尺的一半,剩下四分之一尺.按照这样的分法分下去,长度越来越小,但无论多小,永远分不完.也就是说随着分割的次数增加,棰会越来越短 ,长度接近于零,但又永远不会等于零.墨家观点与惠施不同,提出一个“非半”的命题,墨子说“非半弗,则不动,说在端”.意思是说将一线段按一半一

4、半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点.墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想,名家则有“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”性,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.显然名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.已反映出极限思想的萌芽,这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土.但从现有的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数学上,更加谈不上应用极限的方法来解决数学问题.公元3世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释九章算术时创立了有名的“割圆术”.他创造性地将极限思想应用到数学领域.所谓割圆术,具体的方法是把圆周分割得越

5、细,内接多边形的边数越多,其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周几乎“吻合”,进而完全一致了.刘徽将正多边形的面积算到了3072边形,由此求出的圆周率为3.1416,是当时世界上最早也是最准确的数据.后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位,这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.在国外,古希腊时期也有极限思想.古希腊的巧辩派中有相当一批人对几何三大问题感兴趣.安提芬在研究“化圆为方”的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,当多边形的边数不断加倍时内接正多

6、边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,不过没有具体计算的记载.公元前4世纪,古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法“穷竭法”,这种方法假定量的无限可分性,并且以下面命题为基础:“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分,从余部中再减去不小于他的一半的另一部分,等等,则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量.”应用穷竭法,欧多克斯正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”.欧多克斯的穷竭法,也已体现出了极限论思想.古希腊最伟大的数学家阿基米德巧妙地运用欧多克斯等人的穷竭法,通过严密的计算,解决了求几何图形的面积、体积、曲线长、计

7、算二值等大量的计算问题.它突破了传统的有限运算,采用了无限逼近的思想,将需要求积的量分成许多微小单元,再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较,他的无穷小量概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础. 由此,我们可以看到在数学无穷思想发展之初,古人就己在极限领域开创了一个光辉的起点.1.2极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已经无法解决,这就要求数学突破传统常量范围,来提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展的社会背景.16世纪,荷兰人斯泰文在考察三角形重心的

8、过程中借助几何直观用极限思想思考问题,将极限概念向前推进了一步,但极限思想仍只停留在思想的层面,没有形成系统的理论体系.进入17世纪,特别是牛顿在建立微积分的过程中,由于极限没有准确的概念,也就无法确定无穷小的概念,利用无穷小运算时,牛顿做出了自相矛盾的推导：在用“无穷小”作分母进行除法时,无穷小量不能为零；而在一些运算中又把无穷小量看作零,约掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,显然这种数学推导在逻辑上是行不通的.那么,无穷小量是零还是非零？这个问题困然牛顿也困扰着与牛顿同时代的众多数学家.真正意义上的极限概念产生于十七世纪,由英国数学家约翰瓦里斯提出了变量极限的概念,他认为变量的极限是当变

9、量无限逼近的一个常数,它们的查是一个给定的任意小的量.他的这种描述,把两个无限变化的过程表述出来,揭示了极限的核心内容.约翰的这个表述将极限思想向前做了延伸.到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在分析教程中指出,“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值.特别地,当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”.柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识,这就是说,在变化过程中,它的值可以是非零,但它变化的趋向是“零

10、”,可以无限地接近于零.柯西试图取消极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义.但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就有多小”等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度.德国数学家,曾被誉为“现代分析之父”的维尔斯特拉斯提出了极限的定量的定义,给微积分提供了严格的理论基础：“如果对任何,总存在自然数,使得时,不等式恒成立”.这个定义定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系,排除了以前极限概念中的直观痕迹,将极限思想转化为数学的语言,用数学的方法描述,完成了从思想到数学的一个转变,使极限思想在数学理论体系中占有了合法的地位.2 极限思想的应用2.1

11、极限思想在数学分析中的应用极限思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.在数学分析中的连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数等概念都是利用极限思想的方法来定义的.首先,我们引出极限的定义.定义1:设为数列,为定数.若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有 ,则称数列收敛于,定数称为数列的极限,记作 ,或,读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”.例1：证明事实上，当时， 即： ， 当 时， 就有 所以 2.2 微积分与极限极限思想是分析数学最基本的概念之一,特别是极限思想贯穿整个微积分的始终.微积分思想的确立,微积分理论

12、的掌握与应用,以及数学思维的建立都与极限思想的把握有很大关系.设质点在作直线运动时的运动规律为,则质点在时刻的瞬时速度为： .而平面曲线上过点处的切线斜率为： .问题不同,但在数学上的表现却相同,这我们就可以引出导数的意义:设函数在的某邻域内有定义,若极限 （1）存在,则称函数在点处可导,并称该极限为函数在点的导数,记作.令,则（1）式可改写为 （2）所以,导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率,而导数则为在处关于的变化率.若（1）（或（2）式极限不存在,则称在点处不可导.可见,微分学的基本概念导数是用极限来定义的.例 2：设，试证证: 两式相减可得因

13、，所以 ，又因为 ，故当，时右端极限为零，原极限获证.微分学很多的定理定义都是利用极限的思想直接或间接定义的.首先引出微分的定义.定义2:设函数定义在点的某邻域内.当一个增量,时,相应地得到函数的增量为 .如果存在常数,使得能表示成 , （3）则称函数在点可微,并称（3）式中的第一项为在点的微分,记作 或 . 定理1:函数在点可微的充要条件是函数在点可导,而且（3）式中的等于 证明 【必要性】若在点 可微,由（3）式有 .取极限后有 .这就证明了在点可导且导数等于.【充分性】 若在点可导,则在点的有限增量公式 表明函数增量可表示为的线性部分与较高阶的无穷小量之和,所以在点可微,且有 这个定理的

14、证明就充分利用了极限的思想. 微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的.定义3：设是定义在区间上的有界函数,用点将区间任意分成个子区间.子区间及其长度记作.在每个子区间上任取一点并作和式.如果当最大的子区间的长度时,和式的极限存在,并且其极限值与的分发及的取法无关,则称在区间上可积,此极限值称为在区间上的定积分,记作即定义4:设为平面上可求长度的曲线段,为定义在上的函数.对曲线作分割,把分成个可求长度的小曲线段,的弧长记为,分割的细度,在上任取一点.若有极限,切的值与分割与点的取法无关,则称此极限为在上的第一型曲线积分,记作.由上充分体现了极限思想在微积分中无可替代的重要地位,除了以上所述,

15、微积分中还有许多重要的定义也离不开极限思想,极限思想无可争议的成为了微积分的核心.2.3 极限思想在代数中的应用行列式和矩阵是线性代数非常重要的内容,极限思想作为数学研究的重要理论基础,自然而然的被应用于行列式的计算以及矩阵的证明.这里我们会做简单的介绍,从而验证极限思想研究的重要性.定义5：在矩阵中,设阶矩阵,若矩阵中是关于变量的函数,则我们称矩阵为矩阵函数.定义6：在矩阵中,设阶矩阵,为连续函数,若有,称矩阵函数收敛于矩阵,记作或令.例 3 : 设、为阶方阵,则有等式成立（1） 若、都为阶可逆矩阵,则,因为、都可逆,则也可逆,所以有：,故.（2） 若时,则,此时有或或、以及都为零矩阵,故有

16、：. （3） 若,时,可知在矩阵中至少有一个元素的代数余子式不等于零,不妨设（为中元素的代数余子式）： 令, ,显然,当时,此时为可逆矩阵,又因为,所以：由定义6可得：当时,所以,即：即：当时有：.类似可证明当时也有成立.关于阶行列式的计算,有的题目运算比较复杂不易发现规律,有的运算量非常庞大,这时我们就可以适当运用极限的思想来求解.例 4 :特殊行列式 证明:已知 利用数学归纳法,当时,；当时,；以此类推,可推测当时, .假设,当时行列式对上式也成立,即：,；当时： 按第一行展开 = = = =故推测等式成立.综上所述：,时.当时,上述公式不能直接求解,但此时的值仍然存在,可设为常数,令：可

17、知,为关于的连续幂函数,且当时,同样有： 当,根据连续函数的性质有： 即当时,可以验证,将时展开计算也得到该表达式.所以： 3 极限思想的哲学意义极限理论的建立,使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论的困扰,悖论思想是一种探索性的辩证思维,这种思维的追索可以揭示一个概念、一种学说中存在的深刻的内在矛盾性.极限思想正是在这种悖论思维中得以发展和完善的.学习极限思想对于培养人的思维方法、思维品质,提高其分析问题和解决问题的能力,形成正确的世界观和人生价值观都有极好的作用.极限思想的哲学意义主要表现在以下几个方面:（1） 极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止的两种不同

18、状态,是事物两种对立的矛盾状态.辩证唯物主义观点认为,它们在一定条件下可以相互转化.极限思想的研究提供了“变”与“不变”相互转化的方法和理论依据.使得人们能够由“不变”认识了“变”,实现了“变”中求得“不变”.因为有了极限的思想和方法,为人们解决事物变化中的问题提供了科学方法,形成了实用有效的“微元法”.（2） 极限思想是有限与无限的对立统一.有限与无限有着本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展,同时借助极限法,从有限认识无限.例如,在极限式,中对应数列中的每一项,这些不同的数值既有相对静止性,又有绝对的运动性.数列中的每一项和是确定不变的量,是有限数；随着无限增大,有限数向无限接近,正

19、式这些有限数的无限变化,体现了无限运动的变化过程,这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展,有限是无限的结果,他们既是对立又是统一的.（3） 极限思想是近似与精确的对立统一.近似与精确在一定条件下可以相互转化,这种转化是理解数学运算的重要方法.在极限抽象的概念中,引入“圆内接正多边形面积”,其内接多边形面积的近似值是该圆面积,当多边形的边数无限增大时,内接多边形的面积无限接近于圆的面积,取极限值后就可以得到圆面积的精确值,这就是借助极限法,从近似认识精确.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念,但是通过极限法,建立两者之间的联系,在一定条件下可以相互转化.因此,近似与

20、精确既是对立又是统一的.（4） 极限思想是量变与质变的对立统一.辩证唯物主义认为,事物是处于不断变化过程中的,是量变和质变的统一.量变是事物发生变化的前提和准备条件,质变是事物变化的必然结果.当事物的量积累到一定的基础、达到事物变化的度时就一定发生质变.极限思想生动地诠释了马克思主义这一科学原理.例如对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到的还是内接正多边形,是量变,不是质变.但是,不断地让边数加倍,无限地进行下去的时候,多边形就质变为圆,多边形面积就转化为圆的面积.极限的思想方法让我们从量变认识到了质变.（5） 极限思想是过程与结果的对立统一.过程和结果在哲学上是辩证统一的关系,在

21、极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.例如,平面内一条曲线上某点的切线斜率为.当曲线上的点无限接近于点的过程中,是变化过程,是变化结果.一方面,无论曲线上点多么接近点,都不能与点重合,同样曲线上变化点的斜率也不等于,这体现了过程和结果的对立性；另一方面,随着无限接近过程的进行,斜率越来越接近,二者之间有紧密的联系,无限接近的变化结果使得斜率等于了,这体现了过程与结果的统一性.所以,极限思想是过程与结果的对立统一.（6） 极限思想是否定与肯定的对立统一.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素,都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面,内接正多边形是

22、事物对自身的肯定,其中也包含着否定,这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形的边数的改变来体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加到无穷时,内接正多边形的面积转化为圆的面积,促使该事物转化为自己的对立面.由肯定达到自身的否定,这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽然是两个对立的事物,但是二者之间有紧密的联系,圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积,而圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的,从而建立了两者的联系,体现了否定与肯定的统一. 小 结极限的思想方法作为人类发现数学问题和解决数学问题的一种重要手段,它不仅是我们学习极限或高等数学所必须理解的,也是我们解决数学问题或实际问题所必

23、须掌握的思想方法.它使得局部与整体,微观与宏观,过程与状态,瞬间与阶段的联系更加明确.使我们既可以居高临下,从整体角度考虑问题,又可以析理入微,从微分角度考虑问题.它的产生为数学的发展增加了新的动力,使数学得以在新的领域不断开拓新的道路,也使哲学找到了更多新的用以描述和论证世界的工具.本文从极限的产生与发展入手，描述了极限思想产生的背景，前进的过程，再到完善。从古代到近代，从国内到国外，详细而简明的介绍了极限的思想，从而使我对极限的思想有了更深刻的认识。第二部分是极限思想在数学中的应用，由于极限思想在数学中无处不在，所以本文没有一一介绍，粗略的从数学分析、微积分、代数等方面介绍了极限思想的重要应用，最后介绍了极限思想的哲学意义，我们都知道任何事物的存在都有它的哲学意义，极限思想也不例外，本文主要对极限思想的哲学意义的六个方面进行了浅