梯形常用辅助线的做法

1、梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下平移一腸平移两腰作榛形的高等腰梯形直甫梯形作梯形的中位线 过梯形一腰的中点构造全等三角形平移梯形的膘利用一膜中点旋转将梯形补成平行四边形将梯形补成奪肢梯形1. 平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得 到平行四边形.【例1】 已知：如图,在梯形ABC呼- 一1 丄- 一 一.求证:A3= 2CD分析：平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作二二,交AB于E. AB平行于CD,且三匸,四边形是菱形厂厂一又_1-"为等边三角形.山-又胁仞,.-1- - '

2、'【例2】如图,在梯形ABCD中,AD/ BC , E、F分别是AD、BC的中点,若A E DB M F N C一二'一 "AD = 7 ,BC = 15 , 求 EF .分析：由条件-；1,我们通过平移AB、DC ;构造直角三角形 MEN使EF恰好是 MEN的 中线.解：过E作EM/ AB ,EN / DC ,分别交BC于M、N ,.丄二:八丄二厂 是直角三角形,=,三-二妙洱. J、"分别是二、7的中点,EF 二、MN=4.为工的中点，.-变式：如图1,梯形ABCD勺上底AB=3,下底CD=8腰AD=4求另一腰BC的取值范围。图1梯形丁宀的面积相等求证:

3、厂 f a析解：过点B作BM/AD交CD于点M则梯形ABCD转化为 BCM和平行四边形 ABMD 在 BCM中, BM=AD=4 CM=CB DM=CB AB=8- 3=5,所以 BC的取值范围是：5 4<BC<升 4，即 1<BC<Q2. 延长梯形的两腰，使它们交于一点，可得到两个相似三角形或等腰三角形、直 角三角形等进一步解决问题.【例3】.如图,在梯形- _ -'中，梯形丄的面积与分析：条件是两个梯形的面积相等，而结论是三线段长的 平方关系，如果延长两腰交于一点，就可得到三个相似的 三角形，再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形 就可得出结论.证明：延

4、长广。、使它们相交于点, J.肓：二：”Ej口吓-gjOAD為MM砂二aDEF6 GAD加-血1""eP"-同理,E她J1FFD '梯尼冬ECF故得：.1厂，严变式 1 如图 5，在梯形 ABCD中，AD/BC,/ B=50°,Z C=80°, AD=2 BC=5,求 CD 的长。析解：延长BA CD交于点巳在 BCE中，/ B=50°,Z C=80°。所以/ E=50°,从而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EG ED=5- 2=3变式2:如图所示，四边形 ABCD中, AD不平行于 BC

5、 AC= BD AD= BC.判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论.变式3：（延长两腰）如图，在梯形-中，匸-,-I - 一 ： J ，兰、为一I、-“的中点。3. 从梯形上底的两端向下底引垂线作高，可以得到一个矩形和两个直角三角 形然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题.例4.如图,在梯形S中，二-一一匚分析：过上底向下底作两高，构造Rt,然后利用两三角形全等解决问题 证明：分别过D C、作AB的垂线,垂足分别为E、F. Q2DJ-/-又 1变式：如图7,在直角梯形 ABCD中, AB/DC,/ ABC=90 , AB=2DC对角线 AC丄BD,垂 足为F,过点F作EF/AB，交AD

6、于点E,求证：四边形 ABFE是等腰梯形。析证：过点D作DGL AB于点G则易知四边形 DGBC1矩形，所以DC=BG因为AB=2DC所以AG=GB从而 DA=DB 于是/ DAB=/ DBA又EF/AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。如图8,在梯形 ABCD中, AD为上底，AB>CD求证：BD>AC析证：作AEL BC于E,作DF丄BC于F,则易知 AE=DF在Rt ABE和Rt DCF中，因为AB>CD AE=DF所以由勾股定理得 BE>CF即 BF>CE 在 Rt BDF和 Rt CAE中由勾股定理得BD>AC4. 平移对角线一般是过上底的一个端点作

7、一条对角线的平行线 ，与另一底的延 长线相交,得到一个平行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角 形问题解决.【例5】如图，等腰梯形 d 中，L,. .，且.，是高，-是中位线,求证:-1.阿二丄(OT + A5)分析：由梯形中位线性质得,欲证：小-，只要证CH = -(pD+ABi)2.过C点作加,交丿月的延长线于渥,就可以把丄、-厶 和- 移到三角形二-二中,再证明等式成立就简单多了.证明：过二点作交厂 的延长线于点匸，则四边形是平行四边形.BE=CDEC=BD四边形是等腰梯形,J * *又./C丄且D. AaLCS又，, / 厂匕二.-1 -二- .又泅冷应心）,.gH【例6】

8、.已知：如图,在梯形 丄二 中，-D 一匸 債.求证：梯形二工 是 等腰梯形.证明：过D作' - '''-：,交BA延长线于E.则四边形- '' 1 f是平行四边形.DE 1E DSA ZCAE于是,可得心少日-山梯形ABCD是等腰梯形.变式1如图3,在等腰梯形ABCD中, AD/BC, AD=3 BC=7, BD=;2，求证：AC丄 BD。CWf析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BCCE=BD=5 2，所以 AE=ADF DE=ADF BC=3 7=10。在等腰梯形 ABCD中, AC=BD

9、=5. 2 , 所以在 ACE中，AC2 CE2 (5 2)2 (5.2)2 100 AE2，从而 AC丄CE 于是 ACL BC。变式2:(平移对角线)已知梯形 ABCD勺面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为 变式 3:如图 4,在梯形 ABCD中, AD/BC, AC=15cm BD=20cm 高 DH=12cm 求梯形 ABCD 的面积。图4析解：过点D作DE/AC ,交BC的延长线于点E,则四边形 ACED是平行四边形，即S ABD S ACD S DCE 。所以S梯形ABCD S DBE由勾股定理得EH.DE2 DH2DH2 215129

10、(cm)BHBD2DH2202 12216 (cm)所以S1DBEBE DH1(9 16)12150(cm2),即梯形 ABCD勺面积是150cm2。225. 遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线 ，中位线与上、下底都平行 且三线段有数量关系或利用“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形解决问题.I .求证：-< I S?-.'.【例7】.已知：如图4,在梯形 山二中,二-二 是 的中点,且证明：取的中点F,连结FE.则ADBC = 2EF.乙朋三90°J."Hi?F. /-L-一 '【例8】.已知：梯

11、形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AM BC=DC , 求证: DEL EC,DE平分/ ADC,CE平分/ BCD证法1:取DC中点F,连结EF,E为AD中点，则EF为梯形的中位线h EF/ AD/ BC EF(AD+ BC) / 仁/ 5, / 3=7 6/ DC=A+ BC EF= DC=DF=CF 7 1=7 2, 7 3=7 4 7 2=7 5, 7 4=7 6 7 1 + 7 3+7 2+7 4=180° 7 1 + 7 3=90° DELC,DE平分 ADC,CE平分7 CD证法2:延长CE与DA延长线交于一点F,过程略.证法3:在DC上截取DF=AD

12、连结AF BF、EF解决.变式 1如图9,在梯形 ABCD中, AB/DC，0是BC的中点，/ AOD=90 ,求证：AB+ CD=AD图91析证：取AD的中点E,连接0E则易知0E是梯形ABCD的中位线，从而0E=! （AB+ CD）2在厶 AOD中，/ AOD=90 , AE=DE所以OE 】AD 2由、得AB+ CD=AD变式2:在梯形 ABCD中, AD/ BC / BAD=90, E是DC上的中点，连接 AE和BE,求/ AEB=2/ CBE解、分析：分别延长 AE与BC，并交于F点，从而等到人。£与厶FCE是全等的，在利 用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出

13、结论”。DAXF CB解：分别延长 AE与BC，并交于F点/ BAD=90且 AD/ BC/ FBA=180/ BAD=90又 AD/ BC / DAE=/ F（两直线平行内错角相等）/ AED=/ FEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点） ADEA FCE （AAS AE=FE在厶 ABF 中/ FBA=9d 且 AE=FE BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 在厶 FEB中 / EBF=/ FEB/ AEB=/ EBF+ / FEB=2/ CBE6.已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交， 使问题转化为三角形中位线。例10如图

14、10,在梯形 ABCD中, AD/BC, E、F分别是BD AC的中点，求证：(1) EF/AD ; (2) EF 1(BC AD)。2图10析证：连接DF,并延长交 BC于点G,易证 AFDA CFG贝U AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF是厶BDG的中位线1从而 EF/BG，且 EF BG2因为 AD/BG, BG BC CG BC AD1所以 EF/AD, EF 丄(BC AD)27.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时，可以特题特解，结合具体问题中的具体条件，寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转 止利用一腰中点旋转-、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9

15、】.已知：如图5,在梯形ABCD中以M、N分别是BD、AC的中点.求证：MNJi BC,MN = (BC-AD)证明：连结并延长,交“ 于E.则亠宀暑匸丄'一亠丄又N是AC的中点,MN=-C. 2临H SCfMN = -C-AD) 故:取一腰的中点，连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交，可得两个全 等三角形.【例io】.如图,梯形二匚匚 中,m，三、'厂 分别平分一和丄,-为丄一中点，求证：''”二恥.分析：要证明丄：h亠，可以利用为川中点，延长-与工-的延长线交于、,ADCE 盂 AAFE ,得到工J再证明畀一汀即可.证明：延长_、-交于点F,显然一CD

16、=PA CE=FE又-./ I 'EDGE = ECB "込 乙 EBAJJZCBEE = 90° 二 CES =缈J三 是线段r=的垂直平分线. EG二盼二BA十虫总.恥匚M +UDJ评注：添加辅助线后，沟通了'、二-与" 的联系，由线段垂直平分线性质得出2-： 从而问题获得解决.利用一腰中点旋转上【例11】.已知：如图,在梯形二二 中，-】；一，-；- 是CD的中点.求证-匸.证明：延长AE BC相交于点F.易证-.AD ADYF砸匸 EF* *JA 皿+心肚J/ 、BCF.CP+RC = AS 即肿二加 BE是等腰丄底边上的高. AE 丄 B

17、E说明：在图5中,相当于由绕点e旋转-得到；在图6中，二三 是由亠亠 绕点E旋转1： 得到.【例12】.如图，梯形-二二 中，-二，为腰） 的中点,求证:%期=-哥炯应仞分析：I与梯形ABCD勺面积关系不明显,如果利用梯形 助特点把它补成如图7的平行四边形，它们之间的关系就清晰了梯形补成平行 四边形,各种关系明显、直观，解题思路清晰 证明：延长-,使二,延长二，使-厂；贝f宀,则四边形 二二是平行四边形为"的中点，连结，心r与'交于点.O_ 二 p_ 二 T连结宀,则，旗是百C中点"为八中点且是'中点.四边形是平行四边形,【模拟试题】1. 若等腰梯形的锐角是

18、 60°,它的两底分别为11cm 35cm,则它的腰长为 cm2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中, AD/ BC / B= 60° , AD= 2, BC= 8，则此等腰梯形的周长为（）A. 19B. 20C.21D.22D3. 如图所示，AB/ CD AE丄DC AE= 12, B»20, AC= 15,则梯形 ABCD的面积为（）A. 130 B. 140 C. 150 D. 1604.如图所示，在等腰梯形BC= 70,求BD的长.EDCABCD中，已知 AD/ BC,对角线 AC与BD互相垂直，且AD= 30,5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60&

19、#176;,它的两底分别为 15cm和49cm求它的腰长an6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中, AD/ BC, AC丄BD, AD+ BC= 10, DEI BC于E,求DE的长.anE7. 如图所示，梯形 ABCD中, AB/ CD, / D= 2/ B, AM DC= 8,求 AB的长.8. 如图所示，梯形 ABCD中, AD/ BC, ( 1)若E是AB的中点，且 AD+ BC= CD贝U DE与CE有何位置关系？ (2) E是/ ADC与Z BCD的角平分线的交点， 则DE与CE有何位置关系？AC2 .BD【课后演练】1 (本小题满分5分)已知：如图，梯形 ABCD 中，AD /

20、 BC , AB=DC , Z BAD、/ CDA 的平分线 AE、DF分别交直线BC于点E、F.求证：CE=BF./1F tc e|如图，在梯形 ABCD 中，AD / BCCD, BDC 90° AD 3, BC 8 .求 AB 的长.3.如图 6,在梯形 ABCD 中，AD / BC , A 90 , C 45 , DE=EC, AB=4,AD=2 , 求BE的长.4. 如图，在平面直角坐标系中,DEA ( 2/3 , 0), B ( 2灵,2).B把矩形OABC逆时针旋转30得到矩形OA.B,®.(1 )求Bi点的坐标;备用图(3 )设(2)中直线丨交y轴于点P,直

21、接写出PGO与 PBA的面积和的值及POA与PB.G的面积差的值(2)求过点(2, 0)且平分矩形OA.B.C,面积的直线l方程;5. 如图，矩形纸片ABCD中, BC=4 AB=3点P是BC边上的动点（点P不与点B C重合）现将 PCD& PD翻折，得到 PC' D;作/BPC的角平分线，交 AB于点E.设BP=x,BE= y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是6. 已知：如图，梯形ABCD中，DC / AB, AD=BC,对角线 AC、BD交于点 O, / COD=60 若 CD=3,AB=8，求梯形 ABCD的高.7 .已知如图，直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB丄BC , AD=2 , BC=DC=5，点P在BC 上移动，则当PA+PD取最小值