（整理版）课时提升作业(十三)VIP

1、课时提升作业(十三)一、选择题1.函数y=x5·ax(a>0且a1)的导数是()(a)y=5x4·axlna(b)y=5x4·ax+x5·axlna(c)y=5x4·ax+x5·ax(d)y=5x4·ax+x5·axlogax2.(·合肥模拟)假设抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,那么a=()(a)4 (b)±4 (c)8 (d)±83.(·宝鸡模拟)假设函数f(x)=excosx,那么此函数图像在点(1,f(1)处的切线的倾斜角

2、为()(a)0 (b)锐角 (c)直角 (d)钝角4.(·赣州模拟)设函数f(x)是定义在r上周期为2的可导函数,假设f(2)=2,且limx0f(x+2)-22x=-2,那么曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程是()(a)y=-2x+2 (b)y=-4x+2(c)y=4x+2 (d)y=-12x+25.如图,其中有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(ar,a0)的导函数f(x)的图像,那么f(-1)为()(a)2(b)-13(c)3(d)-126.(·安庆模拟)假设存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,那么

3、a等于()(a)-1或-2564(b)-1或214(c)-74或-2564(d)-74或7二、填空题7.函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=3x2+2xf(2),那么f(5)=.8.(·宜春模拟)假设过原点作曲线y=ex的切线,那么切点的坐标为,切线的斜率为.9.(能力挑战题)假设曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,那么实数a的取值范围是.三、解答题10.求以下各函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y=.11.(·宿州模拟)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=

4、0.(1)求f(x)的解析式.(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.12.(能力挑战题)设函数y=x2-2x+2的图像为c1,函数y=-x2+ax+b的图像为c2,过c1与c2的一个交点的两条切线互相垂直.(1)求a,b之间的关系.(2)求ab的最大值.答案解析1.【解析】=(x5)·ax+x5·(ax)=5x4ax+x5·axlna.2.【解析】=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=12a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面

5、积s=12×|-a2|×|12a|=14|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】选d.由得:f(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),f(1)=e(cos1-sin1).2>1>4,而由正、余弦函数性质可得cos 1<sin 1.f(1)<0,即f(x)在(1,f(1)处的切线的斜率k<0,切线的倾斜角是钝角.4.【解析】选b.因为f(x)的周期为2,所以f(0)=f(2)=2.由limx0f(x+2)-22x=-2得12limx0f(x)-f(0)x=-2,即12f(0)=-2,得f(0)=-4,故曲线y=

6、f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=-4x+2.5.【解析】选b.f(x)=x2+2ax+(a2-1),导函数f(x)的图像开口向上.又a0,其图像必为(3).由图像特征知f(0)=0,且对称轴x=-a>0,a=-1,故f(-1)=-13.6.【思路点拨】先设出切点坐标,再根据导数的几何意义写出切线方程,最后由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.【解析】选a.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x03),所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又(1,0)在切线上,那么x0=0或x0=32,当x0=0时,由y=0与y=ax2+

7、154x-9相切可得=(154)2-4a(-9)=0,解得a=-2564,同理,当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切可得a=-1,所以选a.【方法技巧】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要表达在以下几个方面:(1)切点a(x0,f(x0)求斜率k,即求该点处的导数值:k=f(x0).(2)斜率k,求切点a(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k.(3)过某点m(x1,f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点a(x0,f(x0),利用k=f(x1)-f(x0)x1-x0求解.7.【解析】对f(x)=3x2+2xf(2)求导,

8、得f(x)=6x+2f(2).令x=2,得f(2)=-12.再令x=5,得f(5)=6×5+2f(2)=6.答案:68.【解析】y=ex,设切点坐标为(x0,y0),那么y0x0=ex0,即ex0x0=ex0,x0=1,因此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.答案:(1,e)e9.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.【解析】由题意可知f(x)=3ax2+1x,又因为存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+1x=0a=(x>0)a(-,0).答案:(-,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y=3x2+1

9、2x+11.方法二:y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)y=11-x+11+x=21-x,y=(21-x)=2(1-x)2.(3)y=cos2xsinx+cosx=cosx-sinx,y=-sinx-cosx.11.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3.当x=2时,y=12.又f(x)=a+bx2,于是2a-b2=12

10、,a+b4=74,解得a=1,b=3.故f(x)=x-3x.(2)设p(x0,y0)为曲线上任一点,由y=1+3x2知曲线在点p(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+3x02)(x-x0),即y-(x0-3x0)=(1+3x02)(x-x0).令x=0得y=-6x0,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-6x0).令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),所以点p(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为s=12|-6x0|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为

11、6.【变式备选】函数f(x)=x3+x-16.(1)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)方法一:设切点为(x0,y0),那么直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又直线l过点(0,0),0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-

12、2,-26).方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),那么k=y0-0x0-0=x03+x0-16x0.又k=f(x0)=3x02+1,x03+x0-16x0=3x02+1,解得x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(2)切线与直线y=-14x+3垂直,切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),那么f(x0)=3x02+1=4,x0=±1,x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18.切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)对于c1:y=x2-2x+2,有y=2x-2,对于c2:y=-x2+ax+b,有y=-2x+a,设c1与c2的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互