大学物理稳恒磁场习题库

1、练习练习1 1、试求以下各图中圆心处的磁感应强度试求以下各图中圆心处的磁感应强度( (图中半径图中半径均为均为R R，电流均为，电流均为I I ) ) O O O l1l2解：解：利用利用 得得方向方向方向方向设园弧设园弧l1 、l2的电流分别为的电流分别为I1 、I2 ，则有：，则有：方向方向方向方向 因因所以所以方向方向 O同理同理方向相反方向相反方向相反方向相反所以所以1I练习练习2、在一无限长的半径为在一无限长的半径为R的半圆柱体金属薄片中，的半圆柱体金属薄片中，自上而下地流有电流自上而下地流有电流 I。求：求：圆柱轴线上任一点的磁感应强度圆柱轴线上任一点的磁感应强度. 解：解：将载流

2、圆柱薄壳分成无数多个宽为将载流圆柱薄壳分成无数多个宽为dl 的无限长细导的无限长细导线，线， 利用：利用： RIB20则其通有电流：则其通有电流：lRIIdddRRIdId220RIRIB2dd0如图所示，因每个如图所示，因每个方向不同，而由对称性方向不同，而由对称性可知可知 Bd0yB dBxyodl dl dBdsin2sindd20RIBBxiRIB20 dBxyodl 0RI20RI20dsin2BBxxd1d2dlIxoxIB20SB/xlxISBmd2dd0120ln2ddIlm 例例 4 如图载流长直导线的电流为如图载流长直导线的电流为 , 试求通过矩试求通过矩形面积的磁通量形面

3、积的磁通量.I 解解 先求先求 ，对变磁场给，对变磁场给出出 后积分求后积分求mdmBBxxd2d1d20mIldxx练习练习1、一对同轴无限长直的导体、一对同轴无限长直的导体圆筒，内外筒的半径分别为圆筒，内外筒的半径分别为 R1和和R2 ，电流由内筒流去，外筒流回。求：电流由内筒流去，外筒流回。求：（1）空间磁场分布；）空间磁场分布；（2）图中阴影部分的磁通量。）图中阴影部分的磁通量。IIL 解解：（：（1）由安培环路定理得）由安培环路定理得02d01rBlBRrL00HBIrBlBRrRL0212drIHrIB220(2) 取面元：取面元：dS=L dr rLrISBmd2dd01200l

4、n2d2d21RRILrLrIRRmm10Rr 00HB21RrRrIHrIB22002d2rBlBrRL00HBIILrd练习练习2、如图，一无限长圆柱形导体，横截面半径为、如图，一无限长圆柱形导体，横截面半径为R，在导体内有一半径为在导体内有一半径为a的圆柱形孔，它的轴平行于导体的圆柱形孔，它的轴平行于导体轴且与它相距轴且与它相距b，设导体中载有均匀分布的电流，设导体中载有均匀分布的电流I，求，求孔内任意一点孔内任意一点P的磁感应强度的磁感应强度B的表达式。的表达式。 PO1O2解解：方法一方法一：矢量法：矢量法O1O2 x yPI电流面密度：电流面密度：)(22aRIJ无洞时：由安培环路

5、定理得无洞时：由安培环路定理得10121JrB1B2B2r1r10121rkJB矢量式：同理：在空洞处，载流同理：在空洞处，载流-J的圆柱体在的圆柱体在P点的磁场点的磁场20221JrB20221rkJB矢量式：21BBBO1O2PI1B2B2r1r21021OOkJ 10121rkJB20221rkJBjJbikJbB0021)(21 x y)(21210rrkJ方法二方法二： 2 1 2 1r1r2B2B1xyo10121JrB20221JrB如图，将如图，将B1 ,B 2在坐标轴在坐标轴投影得：投影得：0sinsin)sinsin(2121122110 xxBrrrrJBJbrrJBx0

6、2211021)coscos(21xyO2I1IdR 例例 2 半径为半径为 载有电流载有电流 的导体圆环与电流为的导体圆环与电流为 的长直导线的长直导线 放在同一平面内（如图），放在同一平面内（如图）， 直导线与圆心直导线与圆心相距为相距为 d ，且，且 R 0)以初速以初速v沿平板法线方向向外运动，则至少带电粒子最初沿平板法线方向向外运动，则至少带电粒子最初距板多远时才不会与板相撞。距板多远时才不会与板相撞。idBBdyyxxidBdBdBBidydIyxRRdIdByyyyx022022021)(2cos02方向如图解：解：若把图若把图旋转旋转90，则，则B的方向的方向垂直板面向外垂直板

7、面向外dBydyyo xdB dyiqmvRTRqBmvR042(间开始向外运动）返回时处至少从距板由洛仑兹公式可求dBydyyo xdB dyB7. 如图所示，一无限长载流平板宽度为如图所示，一无限长载流平板宽度为2a，均匀通有电，均匀通有电流流I，求，求:平板中分线一点平板中分线一点P的磁感强度（已知的磁感强度（已知P到平板到平板的距离为的距离为b） xyz2aP bdxarIrIB42dd00cos/br btgx 2cosdbdx xzdxdBbxdBrdaIdBBx4cosd0baarctgaIdaIdBBBbaarctgbaarctgxx24cosd00解解：8.如图所示，两根相互

8、绝缘的无限长直导线如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线1和和2绞接于绞接于O点，点，两导线间夹角为两导线间夹角为 ，通有相同的电流，通有相同的电流I试求单位长度的导线所试求单位长度的导线所受磁力对受磁力对O点的力矩点的力矩 o 12II解：在任一根导线上解：在任一根导线上(例如导线例如导线2)取一线元取一线元dl，该线元，该线元 距距O点为点为l该处的磁感强度为该处的磁感强度为 sin20lIB方向垂直于纸面向里方向垂直于纸面向里,电电流元流元Idl受到的磁力为受到的磁力为:方向垂直于导线方向垂直于导线2，如图所示该力对，如图所示该力对O点的力矩点的力矩BlIFddsin2ddd20llIlI

9、BF其大小其大小 sin2ddd20lIFlMo 12IIdFlIdl任一段单位长度导线所受磁力对任一段单位长度导线所受磁力对O点的力矩点的力矩导线导线2所受力矩方向垂直图面向上，导线所受力矩方向垂直图面向上，导线1所受力矩方向与所受力矩方向与此相反此相反120dsin2dlllIMMsin220I10. 如图，如图，I 长直导线与直角三角形共面，长直导线与直角三角形共面，已知：已知：AC=b, 且与且与 I 平行，平行，BC=a，当当 B 点点与长直导线的距离为与长直导线的距离为 d 时，求：时，求：通过通过三角三角形形面积的磁通量。面积的磁通量。IABCxyxISBd2dd0dadSxxd

10、ababISBd)(2d0IxoABCln20ddadabbI 解解: 斜边斜边AB的方程为的方程为dabxaby取图示面元：取图示面元：dSydx，则，则ydxx0Bmp11. 均匀带电刚性细杆均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为，线电荷密度为l，绕垂直于直线的轴绕垂直于直线的轴O以以 角速度匀速转动角速度匀速转动(O点在细杆点在细杆AB延长线上延长线上)求：求： (1) O点的磁感强度点的磁感强度 ； (2) 系统的磁矩系统的磁矩 ；(3) 若若a b，求，求B0及及pm。oABbaw wqIddrrrIBd42dd000w00dBBaba ln40w解：解： (1) 对对rr+dr段，电荷

11、段，电荷 dq = dr，旋转形成圆，旋转形成圆电流。则电流。则 它在它在O点的磁感强度点的磁感强度 方向垂直纸面向内。方向垂直纸面向内。 orw wdrbaarrd40wrqd22dwwrrIrpmd21dd22wbaammrrppd21d2w6/ )(33abaw(2) 方向垂直纸面向内。方向垂直纸面向内。 aqabB44000wwababaln(3) 若若a b，则，则 过渡到点电荷的情况。过渡到点电荷的情况。 orw wdr)/31 ()(33ababa232136aqabapmww同理在同理在a b时，时， 则则 也与点电荷运动时的磁矩相同。也与点电荷运动时的磁矩相同。 12. 有一

12、闭合回路由半径为有一闭合回路由半径为a和和b的两个同的两个同心共面半圆连接而成，如图。其上均匀分心共面半圆连接而成，如图。其上均匀分布线密度为布线密度为 的电荷，当回路以匀角速度的电荷，当回路以匀角速度w w 绕过绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，点垂直于回路平面的轴转动时，求：圆心求：圆心O点处的磁感强度的大小。点处的磁感强度的大小。Ow wba 321BBBBbI21422200101bbbIBaI22422200202waaaIB)2(2d3dr/I rrBbad203abln20B)ln20ab(解：解： B1、B2分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动分别为带电的大半圆线圈和小半圆线

13、圈转动产生的磁感强度，产生的磁感强度，B3为沿直径的带电线段转动产生为沿直径的带电线段转动产生的磁感强度。的磁感强度。 Ow w13. 如图，半径为如图，半径为a，带正电荷且线密，带正电荷且线密度是度是 (常量常量)的半圆以角速度的半圆以角速度绕轴绕轴OO逆时针匀速旋转。求：逆时针匀速旋转。求： (1) O点的点的 ；Bmp(2) 旋转的带电半圆的磁矩旋转的带电半圆的磁矩 。 aOOOqId2dad2IrRBd2d320d22sin3220aaadsin420BB020dsin4daq800wddaq 解：解：(1) 对对 +d 弧元，弧元， 它在它在O点的磁感强度点的磁感强度dB为为 方向向

14、上方向向上。 wdl OO O a旋转形成圆电流旋转形成圆电流wdl OO O a wd)2(sind22a/apmwdsin2123a (2) w02321dsindappmm4/4/23qaaw方向向上。方向向上。 14. 半径为半径为R 的磁介质球均匀磁化，磁的磁介质球均匀磁化，磁化强度为化强度为M，求：球心处的，求：球心处的B 和和H 。其半径其半径 r = Rsin弧面宽度弧面宽度 dl = R d面束缚电流密度面束缚电流密度 i= Mt = Msin 面束缚电流强度面束缚电流强度 dI=idl=MRsind球心处磁场球心处磁场解：解：设磁化沿设磁化沿Z 轴方向，如图，在球面上取一圆

15、环，轴方向，如图，在球面上取一圆环， oxyzrR磁化球磁化球由由得得所以所以四、典型例题：四、典型例题：例例1.如图所示，一无限长载流平板宽度为如图所示，一无限长载流平板宽度为a，线电流密度，线电流密度(即沿即沿x方向单位长度上的电流方向单位长度上的电流)为为 ，求与平板共面且距平，求与平板共面且距平板一边为板一边为b的任意点的任意点P的磁感强度的磁感强度 abPx abPx 解解： 1.分析载流导体的类型分析载流导体的类型 2.选坐标选坐标 3.确定微元确定微元dxId4.4.计算微元产生的场强计算微元产生的场强 )(2d0bxadIB6.6.判断微元产生场强的方向判断微元产生场强的方向o

16、xdx B5.5.求出载流导体的场强求出载流导体的场强abxadxB00)(2bbaln20例例4.半径为半径为R的半圆线圈通有电流的半圆线圈通有电流I2，置于电流为，置于电流为I1的无限的无限长直线电流的磁场中，直线电流长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导恰过半圆的直径，两导线相互绝缘求半圆线圈受到长直线电流线相互绝缘求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力的磁力I2I1BlIdFBlIdFdlIdFdF的方向为的方向为解：解：1、选坐标（如图所示）、选坐标（如图所示）2 2、找微元、找微元 dlI24 4、计算微元受到的安培力、计算微元受到的安培力 dlBIdF2方向xIB210

17、3 3、考察微元处的磁场、考察微元处的磁场 I2I1oxy cos2dlBIdFxcos2210dlIxIdFx5 5、统一积分变量、统一积分变量 I2I1oxy cos2210dlIxIdFxRl Rddl cosRxcos)()cos(2210RdIRIdFxdII21026 6、求出载流、求出载流受到的安培力受到的安培力I2I1oxy dIIdFx210222xxdFF222102dII2210II方向：垂直方向：垂直I1向右向右 半圆线圈受半圆线圈受I1的磁力的大小为：的磁力的大小为： 2210IIF例例5.如图所示，在一通有电流如图所示，在一通有电流 I 的长直导线附近，有一半径为的

18、长直导线附近，有一半径为R，质量为，质量为m的细小线圈。细小的细小线圈。细小线圈可绕通过其中心与直导线线圈可绕通过其中心与直导线平行的轴转动。直导线与细小平行的轴转动。直导线与细小线圈中心相距为线圈中心相距为 d，设，设dR，通过小线圈的电流为通过小线圈的电流为I。若开。若开始时线圈是静止的，它的正法始时线圈是静止的，它的正法线单位矢量线单位矢量 的方向与纸面的方向与纸面法线单位矢量法线单位矢量 的方向成角的方向成角 ，问线圈平面转至与纸面，问线圈平面转至与纸面重叠时，其角速度的值为多少？重叠时，其角速度的值为多少？nn0dooIIROORmdr根据转动惯量的定义，由图可求得小根据转动惯量的定

19、义，由图可求得小线圈绕线圈绕OO轴转动的转动惯量轴转动的转动惯量 mrJd2202d2)sin(mR221mR解：解：当当dR时，小线圈附近的磁场可视作均匀磁场，时，小线圈附近的磁场可视作均匀磁场，通电小线圈受到的磁力矩为通电小线圈受到的磁力矩为sin202dIRIBmM由动能定理有由动能定理有:nIsin220dRI I 磁力矩做功磁力矩做功MddAddRI Isin220磁力矩使磁力矩使 有减小的趋势有减小的趋势0212wJdAA0212wJdAA22020)21(21sin20wmRddRI I2202041)cos1 (2wmRdRI I2/100)cos1 (2wmdIInI例例6.如图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满如图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质相对磁导率为磁介质，磁介质相