8.7立体几何中的向量法(二)

1、I I知识梳理知识梳理整点讲韶深层突破整点讲韶深层突破i两条异面直线所成角的求法设 a, b 分别是两异面直线 li, 12的方向向量，则I1与 I2所成的角0a 与 b 的夹角3范围（0,扌0, n求法cos0=|a|b|a bcos3=i in|a|b|2. 直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为 a,平面a的法向量为 n,直线 l 与平面a所成的角为0,a 与 n 的夹 角为 贝Usin0=|cos 日=卑|a|n |3. 求二面角的大小（1）如图，AB , CD 分别是二面角aIB的两个面内与棱 I 垂直的直线，则二面角的大小0=AB, CD如图，ni, n2分别是二面角aIB

2、的两个半平面a, B的法向量，则二面角的大小0满足|cos0=|cos nu2I,二面角的平面角大小是向量ni与 n2的夹角（或其补角）.立体儿协与空间向磺立体儿协与空间向磺&7立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离基础知识主学习 4.利用空间向量求距离（供选用）（1）两点间的距离设点 A(xi, yi, zi),点 B(x2, y2, Z2),则 AB|=|AB|=“Jxi X21 2+ yi y22+ zi z22点到平面的距离如图所示，1 如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M , N 分别是棱 CD , CCi的中点，则异面直线 AiM与 DN 所成的角的大小是_.

3、已知 AB 为平面a的一条斜线段，n 为平面a的法向量，则 B【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(X)(2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(x)(3) 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(x)nn(4) 两异面直线夹角的范围是(0, 2】，直线与平面所成角的范围是 0, 2】，二面角的范围是0,n V)直线 I 的方向向量与平面a的法向量夹角为 i20 贝UI 和a所成角为 30 .(V)(6)若二面角aa B的两个半平面a, B的法向量 ni, n2所成角为则二面角a

4、a3的 大小是n0.(X)答案 90解析如图，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AAi所在直线为 z1 1轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1,则 Ai(0,0,i), Mg, 1,0), D(0,1,0), N(1,1 , ),AM =(1，1, 1),DN= (1,0, 1).|n|1 2.已知向量 m, n 分别是直线 I 和平面a的方向向量和法向量，若 cosm, n= 2，贝卩 l与a所成的角为_答案 301解析 设 I 与a所成角为0,/ cosm, n=1, 0 0 90, 0= 30解析 以 A 为原点，以 AB, AE（AE 丄 AB）,

5、AA1所在直线为坐标轴（如图）建立空间直角坐标系,设 D 为 A1B1中点,sin0=|cosm,n= 1,i 23.（教材改编）如图， 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 2,2,则 AC1与侧面0,cosAiM AiM 与 DN 所成的角的大小是90 .1 1则 A(0,0,0), C1(1,.3, 2 2), D(1,0,2 ,2),AC1=(1,3,2 .2),AD=(1,0,2 .2).C/ CiAD 为 ACi与平面 ABBiAi所成的角ACiADcos/ CiAD =T T|ACi|AD|=1, W,2罷 1 , 0, 2=- 24.而二面角与CA,BD互补，所

6、求二面角为 60.5.P 是二面角a-AB棱上的一点， 分别在平面aB上引射线 PM、 PN， 如果/ BPM= / BPN=45, / MPN = 60,那么二面角aAB -B的大小为 _ .答案 90解析不妨设 PM = a, PN= b,如图，作 ME 丄 AB 于 E, NF 丄 AB 于 F ,/ EPM = / FPN = 45,2 _2PE= ya, PF = yb,/. cosCA,BD12. EM FN = (PM - PE) -P(- PF)=PM PN - PM PF - PE PN + PE PF辿亚辿+ab=o2 2 2 2 ， EM 丄 FN ,面角aABB的大小为

7、 90.题型分类深度剖析题型一求异面直线所成的角例 1(2015 四川)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F 分别为 AB、BC 的中点设异面直线 EM 与 AF 所成的角为则 cos0的最大值为_ 2答案 25解析建立空间直角坐标系如图所示，设AB= 1,则 AF = 1 , 2，0 ,1E 2，0，0，设 M(0, y,1)(0wyw1),zcos45=abcos 60ax则 EM = 2 y, 1 , 1 1-2 4y2+ 5DVH、F c则C0S J；：5=攀 胃5,令 t = 1 y,贝Uy= 1 t, / Ow

8、y 1, / 0 t0）,思维升（1）选择二条两两垂直的直线建立空间直St2= 55：4t2 8t + 9 5令 x= / Owt1,DrC由已知，DH ,DA= 60 由 DA DH = |DA| H | - coSDH , DA , 可得 2m=.2m2+ 1，解得 m = #,DH=(乎,i2, i),/ cosDH , cC 又DH ,CC 0 180, DH , cC = 45即 DH 与 CC所成的角为 45.题型二求直线与平面所成的角例 2(2015 课标全国II)如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB= 16, BC = 10, AA1= 8，点E, F 分别在 A1

9、B1, D1C1上，A1E = D1F = 4过点 E, F 的平面a与此长方体的底面相交，交 线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线 AF 与平面a所成角的正弦值 解交线围成的正方形 EHGF 如图:(2)作 EM 丄 AB,垂足为 M，贝 U AM = A1E= 4, EM= AA1= 8.因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH = EF = BC = 10.于是 MH = EH2 EM2= 6，所以 AH=10.以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则A(10,0,0), H(10,10,0)

10、, E(10,4,8), F(0,4,8), FE = (10,0,0), HE = (0 , 6 , 8).设 n = (x , y , z)是平面 EHGF 的法向量，_22x0+1X110X=0,T即所以可取 n = (0,4,3)又 AF = ( 10,4,8)，故 |cosn , AF 6y+ 8z= 0,所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为器.思维升华 利用向量法求线面角的方法:(1) 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就 是斜线和平面所

11、成的角.製踪训壕 2 如图，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AD / BC,/ BAD = 90 AC 丄 BD, BC=1 , AD = AA1= 3.(1)证明：AC 丄 B1D ;求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值标系.设 AB = t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0),B1(t,0,3), C(t,1,0), C1(t,1,3), D(0,3,0), D1(0,3,3). 从而处=(1,3, 3), AC = (t,1,0) , BD = (1,3,0),因为 AC 丄 BD ,所以 AC BD = t2+ 3+ 0= 0.解得 t= _3

12、或 t= . 3(舍去).n FE = 0,则 -n HIE=0,1=|n AF|n|AF|4.5(1)证明如图，以易知，AB, AD, AA1两两垂直,A 为坐标原点，AB, AD , AA1所在直线分别为 x 轴,y 轴，z 轴，建立空间直角坐于是B1D= ( 3, 3, 3),AW= ( 3, 1,0),因为 ACD =3 + 3 + 0= 0,所以 AC 丄 BiD ,即 AC 丄 BiD.解由(1)知，ADi= (0,3,3), AC= ( 3, 1,0),BiCi= (0,1,0),设 n = (x, y, z)是平面 ACDi的一个法向量.则门2 =0,n ADi= 0,v3x

13、+ y= 0,3y + 3z= 0,令x=，则n=(i,讨 3，:,3).设直线 BiCi与平面 ACDi所成的角为0,即直线 BiCi与平面 ACDi所成的角的正弦值为题型三求二面角例 3 (2015 安徽)如图所示，在多面体 AiBiDi-DCBA 中，四边形 AAiBiB, ADDiAi, ABCD 均为正方形，E为 BiDi的中点，过 Ai, D , E 的平面交 CDi于 F.(1)证明：EF / BiC.求二面角 E-AiD-Bi的余弦值.(1)证明 由正方形的性质可知 AiBi/ AB / DC,且 AiBi= AB = DC,所以四边形 AiBiCD 为平 行四边形，从而 Bi

14、C/ AiD，又 AiD?面 AiDE , BiC?面 AiDE，于是 BiC /面 AiDE.又 BiC? 面 BiCDi.面 AiDE 门面 BiCDi= EF，所以 EF / BiC.贝Usin0=|cos n,BiCi|= |n BiCi|n| BiCill=2i1ac4,解 因为四边形 AAiBiB, ADDiAi,ABCD 均为正方形，所以 AAi丄 AB, AAi丄 AD , AB 丄 AD且 AAi= AB = AD.以 A 为原点，分别以 AB, AD,AAI为 x 轴，y 轴和 z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标 A(0,0,0), B(1,0,0)

15、, D(0,1,0), Ai(0,0,1), Bi(1,0,1),1 1Di(0,1,1)，而 E 点为 BiDi的中点，所以 E 点的坐标为 2，2，1 .1 1设面 AiDE 的法向量 ni= (ri, si, ti),而该面上向量 畦=彳2，。，A?D= (0,1,- 1)，由1 1r1+ S1=0, ni丄 AiE, ni丄 AiD 得 X, si, ti应满足方程组22si ti= 0,可取 ni= ( 1,1,1).设面 AiBiCD 的法向量 n2= (r2, S2, t2)，而该面上向量 AjBi= (1,0,0), AiD= (0,1, 1)，由此 冋理可得n2= (0,1,

16、1).所以结合图形知二面角E-AiD-Bi的余弦值为|nin2| = 2V6|ni| n2|= 3八2 = 3.思维升华求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角躺训练 3(2015 重庆)如图，三棱锥 PABC 中，PC 丄平面 ABC, PC= 3，/ ACB =D, E分别为线段 AB, BC 上的点，且 CD = DE = 2, CE = 2EB= 2.(1)证明：DE 丄平面 PCD;求二面角 APDC 的余弦值.(1)证明 由 PC 丄平面 ABC, DE?平面 A

17、BC，故 PC 丄 DE.由 CE = 2, CD = DE = .2 得厶 CDE 为等腰直角三角形，故 CD 丄 DE.由 PCACD = C, DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线，故 DE 丄平面 PCD.n ,一(2)解 由(1)知，CDE 为等腰直角三角形， / DCE = 4 如图，过 D 作 DF 垂直 CE 于 F ,由/ ACB = 2 得 DF / AC ,以 C 为坐标原点，分别以CA,CB, CP 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐 标系，r则 C(0,0,0), P(0,0,3), A 2, 0, 0 , E(0,2,0) , D(1,1,

18、0), ED = (1, 1,0) , DP = (- 1, 1,3),DA= 1, 1, 0 .设平面 PAD 的法向量为 n1= (X1, y1, Z1),X1 y1+ 3z1= 0 , 由 n1DP = 0 , n1DA = 0,得1|XLy1= 0 ,故可取 n1= (2,1,1).由(1)可知 DE 丄平面 PCD,故平面 PCD 的法向量 ni可取为 ED,即 ni= (1, 1,0).从而法向量 n1, ni的夹角的余弦值为n1mv3cos n1, n2=,|m| m|6(供选用)题型四求空间距离(供选用)例 4 如图， BCD 与厶 MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 M

19、CD 丄平面 BCD , AB 丄平面BCD, AB = 2 3 ,求点 A 到平面 MBC 的距离.易知 DF = FC = FE = 1,又已知EB= 1，故 FB = 2.FB _BC_3，故 AC =|DF= 3.故所求二面角 APDC 的余弦值为36 .解 如图，取 CD 的中点 0,连结 0B,0M，因为 BCD与厶MCD 均为正三角形，所以 0B 丄 CD,0M 丄 CD，又平面 MCD 丄平面 BCD，所以 M0 丄平面 BCD.以 0 为坐标原点，直线 0C, B0, 0M 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 0 xyz.因为 BCD 与厶 MCD 都是边长为

20、 2 的正三角形，所以 0B = 0M = , 3,则 0(0,0,0), C(1,0,0),M(0,0,3), B(0,3, 0), A(0,3, 2,3),所以 BC = (1 ,3, 0), BM = (0,3, .3).MBC 的一个法向量为 n = C 3, i,i).又 BA = (0,0,2 3),设平面 MBC 的法向量为 n = (x,y, z),n 丄 BC,n由得nn 丄BM,BC = 0,BM = 0,即x+3y=0,3y+ 3z= 0,取 x= 3，可得平面所以所求距离为d=哪=思维升华求点面距一般有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平 面的距离；等

21、体积法；向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便如图所示，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，/ BAC = 90 AB = AC= AAi= 1 , D是棱 CCi上的一点，P 是 AD 的延长线与 AiCi的延长线的交点，且 PBi/平面 BDAi.求二面角 A AiD B 的平面角的余弦值;求点 C 到平面 BiDP 的距离.证明 连结 ABi,交 BAi于点 O,连结 OD.TBiP /平面 BDAi, BiP?平面 ABiP，平面 ABiP 门平面 BAiD = OD , / BiP / OD. 又TO 为 BiA 的中点， D 为 AP 的中点.TCiD / AAi

22、, Ci为 AiP 的中点.i i-DCi= gAAi= 2CCi, - CiD = CD.(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系Aixyz,-i- AiBi= (i,0,0) , AiB= (i,0,i), AiD = (0,i , 2).设平面 BAiD 的一个法向量为 n = (xi, yi, zi).二xi+ zi= 0,AiB n = 0,(i)求证：CD = CiD;X则 Bi(i,0,0)，B(i,0,i)，D(0,i，由得 iTyi+ zi= 0.AiD n = 0,2令 zi= 2，贝Uxi=- 2, yi=- i, n= ( 2, i,2).又 AiBi= (i,0,0)为

23、平面 AAiD 的一个法向量,n AiBi 22贰n, i 石=芦=-3.由图形可知二面角 AAiD B 为锐角,2二面角 A AiD B 的平面角的余弦值为 3.” 1解/ C(0,1,1), D(0,1, 2), Bi(1,0,0), P(0,2,0), CD=(0,0,2),DBi=(1, i,2), DP=(0,1, 2).设平面 BiDP 的一个法向量为 m= (x2, y2, Z2).1DBim=0,X2y22z2=0，由得T1DP m= 0,y2 2z2= 0.令 Z2= 2，贝 U X2= 2, y2= 1, m = (2,1,2).答题模板系列6利用空间向量求解空间角典例 (

24、14 分)(2014 天津)如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 丄底面 ABCD , AD 丄 AB,AB / DC ,AD = DC = AP = 2, AB= 1，点 E 为棱 PC 的中点.(1)证明：BE 丄 DC ;求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF 丄 AC,求二面角 F AB P 的余弦值. 规范解答(1)证明依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图，可得 B(1,0,0) ,C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2).1 分由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1).点 C 到平面 B1DP 的距离

25、d =|CD m|m| 13.cBE= (0,1,1), DC = (2,0,0), 故 BE DC = 0,所以 BE 丄 DC.解 BD = (- 1,2,0),PB= (1,0,- 2).设 n = (x, y, z)为平面 PBD 的法向量,可得 n= (2,1,1)为平面 PBD 的一个法向量(3)解 BC= (1,2,0), CP = ( -2,- 2,2), AC = (2,2,0), AB = (1,0,0). 由点F在棱PC上，设CF=XCP0W疋 1 ,- - - - -故 BF = BC+ CF = BC+ 入 CP= (1 - 2 人 2-2 人 2 加由 BF 丄 A

26、C,得 BF AC= 0,3因此，2(1 - 2 为+ 2(2 - 2 为=0，解得 入=4,即 BF = (-2, 1, 2).设 n1= (x, y, z)为平面 FAB 的法向量，m AB= 0,则 n1BF = 0,x= 0,即 113尹+ 尹+ z= 0.2 分n BD = 0,则 n PB = 0,-x+ 2y = 0,即 x-2z= 0.不妨令尸1,4 分于是有 cos n， BE n BE _2_屯|n|61 厂3所以，直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为6 分9 分不妨令 z= 1，可得 n1= (0, - 3,1)为平面 FAB 的一个法向量.取平面 ABP 的法向

27、量 n2= (0,1,0),nin2_3_|ni| n2|1QX110易知，二面角 F AB P 是锐角,利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系 第二步：确定点的坐标第三步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标第四步：计算向量的夹角（或函数值）.第五步：将向量夹角转化为所求的空间角第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒（1）利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范（3）将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易失分 I思想方法感悟提高!II

28、方法与技巧1. 用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对 应线段的向量2. 求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段失误与防范1.利用向量求角， 一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同2求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便3求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角练岀高分A 组专项基础训练（时间：40 分钟）1若直线 l 的方向向量与平面a的法向量的夹角等于 120 则直线 l 与平面a所成的角等于则 cosni, n2所以其3 ,101014 分答案 30解析 设直线 I 与平面a

29、所成的角为3,直线 I 与平面a的法向量的夹角为Y则 sin3=|cosY=|cos 120I.又30,90, 3=302._ （2014 课标全国 n 改编） 直三棱柱 ABC AiBiCi中，/ BCA = 90 M, N 分别是 A1B1, A1C1的中点，BC= CA = CC1，贝 y BM与 AN 所成角的余弦值为 _ .解析补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角由于/ BCA = 90 三棱柱为直三棱柱，且 BC = CA= CC1，可将三棱柱补成正方体 建立如图所示空间直角坐标系.设正方体棱长为2，则可得 A(0,0,0), B(2,2,0), M(1,1,2), N(0

30、,1,2),_1+4_3.12+ 12+22X02+12+22=,6X 5,3070.3.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐面角的余弦值为_2答案 3解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，设棱长为 1.答案3010 BM = ( 1 ,1,2), AN = (0,1,2).二 cosBM, ANBM AN|BM|AN|小1则 A1(0,0,1), E(1,0 , 2), D(0,1,0),TT1-A1D = (0,1 , 1), A1E= (1,0， *设平面 AiED 的一个法向量为 ni= (

31、1, y, z),AiD n = 0,所以有AiE ni= 0,平面 ABCD 的一个法向量为 n2= (0,0,i),2 2 cosni, n=丙=3，即所成的锐二面角的余弦值为 2.34如图所示，三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱长为 3,底面边长 AiCi= BiCi= i,且/ AiCiBi= 90 D 点在棱 AAi上且 AD = 2DAi, P 点在棱 CiC 上，贝UPD PBi的最小值为解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D(1,0,2), Bi(0,1,3),设 P(0,0,z),贝 y PD=(1,0,2z),PBi=(0,1,3z), PD PBi= 0 + 0+ (2

32、z)(3 z)= (z |)2 4 ,故当 z=5时，PD PBi取得最小值-.5.在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi= 2AB,贝UCD 与平面 BDCi所成角的正弦值等于答案 3解析 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设 AAi= 2AB = 2,则 D(0,0,0) ,C(0,1,0),yz=0, 即1i 2z= o,y=2,z= 2.Ini=(i,2B(1,1,0), Ci(0,1,2)，则 DC = (0,1,0), DB = (1,1,0),DCi=(0,1,2).设平面 BDCi的法向量为 n = (x, y, z),贝 V n 丄DB, n 丄 DCi

33、,x+ y= 0,所以有令 y=- 2,得平面 BDCi的一个法向量为 n = (2, - 2,1).y+ 2z= 0,设 CD与平面 BDCi所成的角为0,贝 U sin0=|cos n,DC|=nIn |DC|PA 丄平面 ABCD，若 AB= PA,则平面 ABP 与平面 CDP所成的二面角为_答案 45解析建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB= PA= 1 ,知 A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0) , C(1,1,0),P(0,0,1)由题意得，AD 丄平面 ABP,设 E 为 PD 的中点，连结 AE,贝 U AE 丄 PD ,又/ CD 丄平面 PAD ,

34、AE 丄 CD , 又 PDACD = D, AE 丄平面 CDP.AD= (0,1,0)和AE= (0,2, 1)分别是平面平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 457.(2015 课标全国I)如图，四边形 ABCD 为菱形，/ ABC = 120 E , F 是平面 ABCD 同一侧 的两点，BE 丄平面 ABCD , DF 丄平面 ABCD , BE = 2DF , AE 丄 EC.23.6.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段ABP和平面(1)证明：平面 AEC 丄平面 AFC ;(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，连结 BD，设 BDAA

35、C= G,连结 EG, FG , EF.GB = 1由/ ABC = 120 可得 AG = GC = 3.由 BE 丄平面 ABCD , AB= BC,可知 AE = EC.又 AE 丄 EC,所以 EG = 3,且 EG 丄 AC.在 Rt EBG 中，可得 BE = 2,故 DF =22.在 Rt FDG 中，可得FG甘在直角梯形 BDFE 中， 由 BD = 2, BE = 2, DF = #，可得 EF =弩,从而 EG2+ FG2= EF2，所以 EG 丄 FG.又 ACAFG = G,可得 EG 丄平面 AFC.因为 EG?平面 AEC，所以平面 AEC 丄平面 AFC.(2)解

36、 如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB, GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度， 建立空间直角坐标系 G xyz,由(1)可得 A(0 , 3, 0), E(1,0, 2), F 1, 0,右2, C(0,3, 0)，所以 AE =(1，：J3, .2), CF = 1，3,.故cos A1,赤=囂厂于.所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为8.(2014 课标全国I)如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，AB 丄 B1C.(1)证明：AC = AB1；若 AC 丄 AB1,ZCBB1= 60 AB = BC,求二面角 A A1B1 C

37、1的余弦值.(1)证明 如图所示，连结 BC1，交 B1C 于点 0,连结 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形，在菱形 ABCD 中，不妨设所以 BiC 丄 BCi，且 0 为 BiC 及 BCi的中点.又 AB 丄 BiC, ABABO= B,所以 BiC 丄平面 ABO.由于 AO?平面 ABO,故 BiC 丄 AO.又 BiO= CO,故 AC= ABi.解因为 AC 丄 ABi,且 O 为 BiC 的中点，所以 AO= CO.又因为 AB= BC,所以 BOABOC ,故 OA 丄 OB ,从而 OA, OB , OBi两两互相垂直.以 O 为坐标原点，OB、OBi OA 的方向为

38、x 轴、y 轴、z 轴的正方向，OB|为单位长，建立 如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为/CBBi= 60 所以 CBBi为等边三角形.又 AB = BC, OC= OA，贝 V A(0,0, f), B(i,0,0), Bi(0, f, ), C(0 ,一 f, ), ABi= (0 , 译,-子),AiBi=AB= (i,0 ,-于),BNBC = (-1, -3, 0).设 n = (x , y , z)是平面AAiBi的法向量，n ABi= 0 ,则n AiBi= 0 ,所以可取 n = (i,3 ,3).m AiBi= 0 ,设 m 是平面 AiBiCi的法向量，则m BiCi=

39、 0.同理可取 m = (i, 3 ,3).1所以二面角 A AiBi Ci的余弦值为7B 组专项能力提升贝 U cos n , mn m 1丽=7.故可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.（时间：30 分钟）9.在正四棱锥 SABCD 中，O为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且a设 OD = SO= OA= OB= OC = a.则 A(a,0,0), B(0, a,0), C( a,0,0), P 0, 2,则 CA = (2a,0,0),a a AP=a， 2, 2 ,CB=(a,a,0),又CB, n (0 180) CB, n = 60直线 BC 与平面 PAC 所成

40、的角为 90 60 = 30.中，SA 丄平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形，AD / BC, / BADF 分别为线段 BC , SB 上的一点（端点除外），满足=入BF BE因为 SA 丄平面 ABCD , / BAD = 90SO=OD，则直线BC 与平面答案30解析设平面 PAC 的一个法向量为y, z),n CA= 0,则 -n AP= 0,x= 0,解得y= z,可取 n = (0,1,1),则 cos CB ,nCB n1|CB| n|2 2 210.如图，在四棱锥 S ABCD=90 且 AB = 4, SA= 3.E,当实数入的值答案9_16解析如图，以时,/AB

41、= 4, SA= 3, B(0,4,0), S(0,0,3).设 BC = m,则 C(m,4,0),.SF CEBF=BE=人SF= XFBAF- AS=淀-AF).-i-i AF =(AS+ 入 AB=(0,4 人 3),1+ r厂1+ x7同理可得TmFE=(1+ X1+ X1+ FA= (0 , x，要使/AFE为直角,1+X1+ X即 FAFE= 0 ,旦+亠+三二=01+ X1+ X1+ X1+X1+X16X=9,解得11.(2015 江苏)如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA 丄平面 ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯n形,/ ABC =ZBAD = 2 , PA= AD = 2 , AB= BC = 1. F(0,4X31+ X，1+4,0),(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长.从而 cos AD , mAD