（整理版）　正弦定理和余弦定理应用举例

1、24正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题自主梳理1仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如下图)2方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向3方向角：相对于某一正方向的水平角(如下图)北偏东°即由指北方向顺时针旋转°到达目标方向北偏西°即由指北方向逆时针旋转°到达目标方向南偏西等其他方向角类似4坡角坡面与水平面的夹角(如

2、下图)5坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即itan (i为坡比，为坡角)6解题的根本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型自我检测1从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，那么，之间的关系是 ()a>bc90°d180°2(·承德模拟)如下图，两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等，灯塔a在观察站c的北偏东40°，灯塔b在观察站c的南偏东60°，那么灯塔a在灯塔b的 ()a北偏东10°

3、;b北偏西10°c南偏东10°d南偏西10°3如下图，为了测量某障碍物两侧a、b间的距离，给定以下四组数据，不能确定a、b间距离的是 ()a，a，bb，aca，b，d，b4在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，那么塔高为_m.5(·全国)abc中，d为边bc上的一点，bd33，sin b，cosadc，求ad.探究点一与距离有关的问题例1(·陕西)如图，a，b是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于a点北偏东45°，b点北偏西60°的d点有一艘轮船发出

4、求救信号，位于b点南偏西60°且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达d点需要多长时间？变式迁移1某观测站c在目标a的南偏西25°方向，从a出发有一条南偏东35°走向的公路，在c处测得与c相距31千米的公路上b处有一人正沿此公路向a走去，走20千米到达d，此时测得cd为21千米，求此人在d处距a还有多少千米？探究点二测量高度问题例2如下图，测量河对岸的塔高ab时，可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，现测得bcd，bdc，cds，并在点c测得塔顶a的仰角为，求塔高ab.变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60&#

5、176;的方向前进40米后，望见塔在东北方向，假设沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高探究点三三角形中最值问题例3(·江苏)某兴趣小组要测量电视塔ae的高度h(：m)，示意图如下图，垂直放置的标杆bc的高度h4 m，仰角abe，ade.(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出h的值；(2)该小组分析假设干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(：m)，使与之差较大，可以提高测量精度假设电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？变式迁移3(·宜昌模拟)如下图，半圆的直径ab2，点c在ab的延长线上，bc1，点

6、p为半圆上的一个动点，以dc为边作等边pcd，且点d与圆心o分别在pc的两侧，求四边形opdc面积的最大值1解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意分清与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍2应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 (总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1如果等腰

7、三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ()a.b.c.d.2(·揭阳模拟)如图，设a、b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45°，cab105°后，就可以计算出a、b两点的距离为 ()a50 mb50 mc25 md. m3abc的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，那么其外接圆的半径为 ()a.b.c.d94(·沧州模拟)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 ()a.b2c.或2d35一船向正北航

8、行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，那么这只船的速度是每小时 ()a5海里b5海里c10海里d10海里题号12345答案二、填空题(每题4分，共12分)6一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔m在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到b处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为_7(·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后

9、一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如下图)，旗杆底部与第一排在一个水平面上假设国歌长度约为50秒，升旗手应以_米/秒的速度匀速升旗8(·宜昌模拟)线段ab外有一点c，abc60°，ab200 km，汽车以80 km/h的速度由a向b行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由b向c行驶，那么运动开始_h后，两车的距离最小三、解答题(共38分)9(12分)(·辽宁)如图，a、b、c、d都在同一个与水平面垂直的平面内，b、d为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75°、30

10、°，于水面c处测得b点和d点的仰角均为60°，ac0.1 km.试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b、d的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)10(12分)如下图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于a1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的b1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达a2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的b2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？11(14分)(·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路op的一侧修建一条运

11、动赛道，赛道的前一局部为曲线段osm，该曲线段为函数yasin x(a>0，>0)，x0,4的图象，且图象的最高点为s(3,2)；赛道的后一局部为折线段mnp，为保证参赛运发动的平安，限定mnp120°.(1)求a，的值和m，p两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？答案 自我检测4.5解由cosadc0知b，由得cos b，sinadc，从而sinbadsin(adcb)sinadccos bcosadcsin b××.由正弦定理得，所以ad25.课堂活动区例1解题导引这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余

12、弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当解由题意知ab5(3)海里，dba90°60°30°，dab90°45°45°，adb180°(45°30°)105°.在dab中，由正弦定理，得，db10(海里)又dbcdbaabc30°(90°60°)60°，bc20(海里)，在dbc中，由余弦定理，得cd2bd2bc22bd·bc·cos

13、dbc3001 2002×10×20×900，cd30(海里)，需要的时间t1(小时)故救援船到达d点需要1小时变式迁移1解如下图，易知cad25°35°60°，在bcd中，cos b，所以sin b.在abc中，ac24，由bc2ac2ab22ac·abcos a，得ab224ab3850，解得ab35，ab11(舍)，所以adabbd15.故此人在d处距a还有15千米例2解题导引在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解注意综合应用方程和平面几何、立体几何

14、等知识解在bcd中，cbd.由正弦定理得，所以bc，在rtabc中，abbctanacb.变式迁移2解由题意可知，在bcd中，cd40，bcd30°，dbc135°，由正弦定理得，bd20.过b作becd于e，显然当人在e处时，测得塔的仰角最大，有bea30°.在rtbed中，又bde180°135°30°15°.bedb·sin 15°20×10(1)在rtabe中，abbe·tan 30°(3)(米)故所求的塔高为(3)米例3解题导引平面几何图形中研究或求有关长度、角度、

15、面积的最值、优化设计等问题而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之假设研究最值，常使用函数思想解(1)由ab，bd，ad及abbdad，得，解得h124(m)因此，算出的电视塔的高度h是124 m.(2)由题设知dab，得tan .由abadbd，得tan .所以tan()，当且仅当d，即d55时，上式取等号，所以当d55时，tan()最大因为0<<<，那么0<<，所以当d55时，最大变式迁移3解设pob

16、，四边形面积为y，那么在poc中，由余弦定理得pc2op2oc22op·occos 54cos .ysopcspcd×1×2sin (54cos )2sin().当，即时，ymax2.所以四边形opdc面积的最大值为2.课后练习区630 km8.解析如下图：设t h后，汽车由a行驶到d，摩托车由b行驶到e，那么ad80t，be50t.因为ab200，所以bd20080t，问题就是求de最小时t的值由余弦定理得，de2bd2be22bd·becos 60°(20080t)22500t2(20080t)·50t12900t24t40000

17、.当t时，de最小9解在acd中，dac30°，adc60°dac30°，所以cdac0.1.(2分)又bcd180°60°60°60°，所以abccbd，所以babd.(6分)在abc中，即ab，(10分)所以bd0.33(km)故b、d的距离约为0.33 km.(12分)10解如图，连接a1b2，由题意知，a1b120，a2b210，a1a2×3010(海里)(2分)又b2a2a1180°120°60°，a1a2b2是等边三角形，b1a1b2105°60°45&

18、#176;.(6分)在a1b2b1中，由余弦定理得b1ba1ba1b2a1b1·a1b2cos 45°202(10)22×20×10×200，b1b210(海里)(10分)因此乙船的速度大小为×6030(海里/小时)(12分)11解方法一(1)依题意，有a2，3，又t，.y2sinx.(3分)当x4时，y2sin3，m(4,3)又p(8,0)，mp5.(5分)(2)如图，连接mp，在mnp中，mnp120°，mp5.设pmn，那么0°<<60°.由正弦定理得，npsin ，mnsin(60°)，(8分)npmnsin sin(60°