高数 弧微分与曲率

1、.1第十二节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、 曲线弧的微分曲线弧的微分 二、二、 曲率与曲率半经曲率与曲率半经 MMM 弧微分与曲率 第二二章 .2一、一、 曲线弧的微分曲线弧的微分)(xfy 设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx.3则弧长微分公式为ttytxsd)()(d22)(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意

2、义几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx称为曲线( )yf x的弧微分公式弧微分公式。.4例例1 1sinyxcosyx 2211cosdsy dxxdx33cos,sin(0)2xat yatt 22( )3 cos sin ,( )3 sincos ,x tatty tatt22( )( )dsxty tdt42423cossinsincosattttdt3 sin cos.attdt求正弦曲线解解 因为 ，所以 例例2 2 求第一象限内星形线的弧微分。所以的弧微分。解解 因为.5二、曲率与曲率半经二、曲率与曲率半经在光滑弧上自点 M 开

3、始取弧段, 其长为,s,定义定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率曲率sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !对应切线转角为.6例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM.7有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则

4、由.8说明说明: (1) 若曲线由参数方程)()(tyytxx给出, 则23)1(2yyK (2) 若曲线方程为, )(yx则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK ( )yf x1RK若曲线在点M处的曲率K不为零，称为曲线在点M处的曲率半经曲率半经。 .9例例2 2 求曲线(1,1)M330(1)xy y2223330(2)xy yy y在点处的曲率半径。解解 方程两边同时对x求导，整理得 (1,1)1;y 442xy两边再对x求导，整理得(1,1)M(1,1)6y 将点代人（1）得(1,1)1y (1,1),M将点代人（2）得故曲线在点(1,1)M处的曲率半径(1,1)322(1,

5、1)(1)2.3yRy.10例例3. 我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . .11例例3. 我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00

6、xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l.12内容小结内容小结1. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率半径KR1yy 23)1 (2.13作业作业P166 1；2；4; 5.14例例4. 求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小ttbttatfsincos2cossin2)(22tba2sin)(22求驻点: .15, 0)( tf令, 0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率计算驻点处的函数值:yxbaba,)( 取最小值tf最大. K ba23)cossin(2222tbtatbtatf2222cossin)(.16例例5 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为tbytaxsincos(02,)tba