误差理论与测量平差基础误差椭圆

1、第十幸谈菱楠hl第十章误差椭圆§ 10-1概述§ 10-2点位误差§10-3误差曲线§ 10-4误差椭§ 10-5园相对误差椭§ 10-1概述待定点P的真实位置和平差位置之间存在差值:Ax = x xA A*4y = y-y)由此而产生的距离称为P点的点位真误差，简称真位差:第十幸i：平差后待定点的坐标为（只50。且方差协方差矩阵为:坐标的中误差?和%,表示点位在X方向和y方向上的中误差。一般地，b Wb、.，即点位在不同方向上的中误差x y一般是不相等的。既然点位在不同方向上的中误差不相等，就有必要研究点 位在任意方向0上的中误差。

2、第十幸为此，将坐标轴旋转一个角度。点位在任意方向。I： 的中误差，就是点位在X'轴上的中误差b-X第十章误差情hl为此，下面就来求b1,。如图，由相似变换公文得：( cos(p sin/丫'、(-sin。coswb应用协方差便播德，每：，er： = cr； cos2sin2(p+ cr衿 sin2。J922 222ca; = cr; sin (p+ bf cos_ cp_ <7；- sin 2(p即点位在任意方向上的方差为沅=，,=b； (Qw cos2(p+ Qyy sin2 cp Qxy sin 2(p)( 1 )习惯上，称点位在某方向上的方差为该方向上的位差。习题：

3、10.2.07i：第十章误差情点位在任意方向0上的协因数为：=QyCos2 o + QyySil?。+Q),sin2。(2)将两个垂直方向的位差相加，得：)2 z 22 x 2/2、)2b： + b , = <7(sin 夕+ cos- cp) + b、(sm- 0+ cos-=07 + b" ，9T上式表明点位在任意两垂直方向上的方差之和为不变量O 为此，定义点位在两垂直方向上的方差之和为点位方差:第十章误差楠hi§ 10-2点位误差1、点位中误差b； = b： + cr? = b： & + Qyy）2、任意方向的位差* = b；, = b； （Qxx co

4、s2 cp + Qyy sin2（p+ Qxy sin 2（p）3、位差的极值方向与极值由于点位在不同方向上的位差大小不同，所以位差一定 有极值。为了寻求此极值的方向，将（2）式对（P求导 数，并令其为零，BU：第十章误差楠。+ Qyy sin 2 0 + Qxy sin 2G = 0用外表示极值方向，则有：-2QV、cossin + 2Q“ sin(p0 cos% + 2Qxv cos2% = 0 即-(Cxt - Qyy)sin 2(pQ + 2Qxy cos200 =。于是有三角方程:因为tan20()2。°,2x - Qyy(3)tan2) = tan(初)+ 18(7)所以

5、（3）式有两个解：2%和2%+ 18。则极值方 向也有两个： 和。+90° ,即一个极大值方向，一 个极小值方向，旦极大值方向与极小值方向正交。第十章误差楠hl既然%和0。+90°为极大值方向和极小值方向，那么哪 个是极大值方向？哪个乂是极小值方向呢？下面来讨论 这个问题。将三角公式21 + COS2% 21 cos20。cos % -, bin 卬2 -代入（2）式，得：Q叱=（以匕等"+ Q,匕等% + e. sin 2/J=1（Qw + Qyy + （Qxx - Q».）cos2/。+ 22y sin 2G（，）=+ 2' +悬尸 2% +

6、 2Q“ sin 2*J=I fevx + Q» ）+ 2 卜吆 2 2% + l）cvr sin 2% hl第十章误差楠（4）式的中括号内有两项，第一项恒大于零，第二项的 2（。喏、2/）+ 1）也恒大丁,零。 第二项中的Q”和sin 2%有正有 负。只有它们同号，第二项大于零，才能使。外仰取 极大值。当它们异号时，第二项小于零，。仍例取极小值。当 0° W 200Kl 8CT 即 0° W（Po < 90° T、j, sin物 N 0 ；当 18。<皿 < 36Cfd|J 90°0。V180 时，sin她 <0.又因

7、为对于卬。和180+外,sin2%的符号不变，所以：当2w>°时，极大值在一、三象限；极小值在二、四象限。当Q°, vO时，极大值在二、四象限；极小值在一、三象限。用I cpE ± 1 8q/和cpF ± 1 8。表示极大值与极小值方向。 知道了极大值与极小值的方向，卜而再来研究极大值与极 小值的大小。将极大值方向心与极小值方向科代入（2）式，就可以 得到极大值与极小值。实用上，通常重新推导一套公式:因为_ 4.111sin 2% -土 / - sin -羽）= T- =J1 + C吆 2 2火）1 + ctg 2% + COS 2.sin, 2%

8、顾及tan200=*-QXX - Qyy得：sin 20（）= ± Jg-Q“）2 + 4。；将上式代入（4）式，并顾及。电2 2P+ 1=1,得：oiii 4= （2/ + 2,. ± J（*-Q»）2+4Q；）令：K = «QlQJ+4Q3A为算术平方根，恒大于零。则仃：。匹=&口+。.±幻用方表示位差的极大值，表示位差的极小值，则有:£2=。；。结。£=；。；（2，+。» + 长）（5）片= b；（Qj2、,_K）（5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。第十幸径差描hltan20（）-习题：10

9、.2.08第十幸径差描极值方向当0 0时，极大值在一、三象限; 极小值在二、四象限。当c 八时，极大值在二、四象限;% <u极小值在一、三象限。:大值与极小值h_Qyyy+4Q；y石2=6；或%=:。：（0, + 0,¥ + 幻 尸=b；Qi, =gb：（Qs + Q”K）教材：10-14、以极值表示任意方向上的位差任意方向上的位差公式（1）式中的任意方向。是从X轴起 算的。若从极大值方向（E轴）起算，其公式会是怎样 的呢？下面来推导。如图，从X轴起算的任意方向。,若从极大值方向（E轴）J起算则为中o为了导出极值表入/示任意方向上的位差，分别以厂cos?公 和sin?0E 乘以

10、（5）y式的第一、第二式，并求和，得：360。"£E2 cos2(pt + F2 sin2 = b：(Q、+ Q,，+ Kcos 2孙)(6) 因为-2tan 2/o =所以22y_ sin 2(poCw - Qyy COS20o 'sin 2。0 = ±2Q”J(Q*-Q,v)2+4Q；cos2%QXX - Qyy2Q»2Q».J(2/-Q”)2+4Q：Qxx- Q”K将上式代入（6）式，得：E? 8s 2 经 + 尸 sin ?（Pe = ： b；（Q" + Qyy + Ql Q» ）= b；（ 7） 若分别以s

11、in?%,和cos?这 乘以（5）式的第一、第二 式，并求和，经与以上同样的推导，得：E sin 2 外 + 尸 8S(Pe= ； b；(Qj + Qvy - Qxx + Q、J= b； (8)Z,B- - -1一第十章误差横i：360、/（7）式和（8）式就是用极值反厂计算纵横坐标中误差 的公式。若应定彳壬何方向都由右轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴 的方位角为3605-痣（如图）。故（7）式可写为：rr; =E2 cos2（36G - z;）4-F2 sin2（36O - %）由于居m是以七轴起算的所有方向中 的一个特定方向，所以以£轴起算 的任意方向甲上的位差为： b。=E2 c

12、os2kP + F2sin2<P （9）（9）式就是以£轴为起算方向，用 极值公户计算任意方向中上的位 差的实用公式。第十章误差楠hl§10-3误差曲线以极大值方向与极小值方向的交点为极点、以极大值方 向可极轴、以不同的方位角甲（山渤起算）和位差b+hl第十章误差楠于碑J椭圆来近似表示（如图），并称此椭圆为点位误§ 10.4误差椭点位误差曲线不是标准曲线，在计算机普遍使用之前作 图不方便。为此，总是用一个长半轴等于笈 短半轴等 差椭圆，简称误差椭圆。由图知，此误差椭圆仅由 长半轴仄短半轴八以及 长半轴四方位角9E确定。 因此，称公尸和为误 差椭圆的三个参数。

13、第十章谍差楠hl误差椭圆除了在长轴 E、短轴上能精确表 示位差外,其它任何 方向都不能直接从误 差椭圆上量取位差的 大小。要通过误差椭圆得到 任意方向位差的大小, 其方法是：垂直任意方向中作 误差椭圆的切线/科 则垂足至珊长度就 是任意方向中上的 位差，B|J 6P = or>第十章谍菱柚IaIT&虫®IM芬叵 +|翅匐阴血引回曾|E!为工程省爱【"平翌计胃（6】同阻者理至行卦型口 检帝计算4异系先冷口mIK5和1的 raw 希助TinConrert 1续平差R坐标区帙软Pt (Version 2 0 fr Vindovs 98BT2OO0) 改次降轨第十幸客

14、/7：5.”一二,若R理年竹按软件7 C £。.1”，、9Bb'70<MHIttWStM K»3E«t) *«itM&网圉查看如里标。旗【工】vtMCC»lQl x| 数熔至阅位XMMDR c>>3 j De Iwb 一 |B»§ 10-5相对误差椭在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就可应用点位误 差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。 但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位 角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相 对精度

15、。为此，仃必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。设有任意两个待定点 为：Pz.和号，它们的坐标平差值的协因数矩阵<2XXQxxxixi。9乂QxiXjOy, 乂Qx/YiQ2Q*xjQxwQXiyjA，")Q%yj QxjYj yjyj >第十幸i：这两个待定点的相对位置可通过平差后两点的坐标差来表示，即的0 1 o y 、总厂1。T。dN应用协因数传播律，得:Q&Ak Q&Av _、Q&Ar Qa)A、JQx凶 +Q,Xj _2q*x一 Qr亦一力+Q2 V - 2，- 2 V + Qx y人 f J,入，"J f、j J )(13

16、)、x)y)Qym + Qy»j - 2。居刀如果这两个点中有一个为无误差的已知点，比如乙点, 则以上协因数阵变为：第十幸读差梢i：(14)QaxAx Q ZxZ QaS.V Q ,由此可计算出P/点的点位误差椭圆的3个参数。可见， 点位误差椭圆或误差曲线是相对于已知点而言的。当P, 不是已知点，而是待定点时，所不同的只是协因数阵。 即协因数阵由(14)式变为(13)式。因此，用(13) 式中的元素计算的误差椭圆的3个参数，就是待定点P. 相对于待定点P,的误差椭圆参数，即tan20()=2Q&A'(15)E2=gb；(QA3+QdvAy + K)Q- Q尸=+ Q2

17、 K)K = J(4如-Qg.)2+4QjIII（15）式计算出误差椭圆的3个参数后，就可按上节介 绍的方法绘制误差曲线或误差椭圆。这样的误差曲线或 误差椭圆是待定点与相对于待定点E的误差曲线或误差 椭圆，故称之为相对误差曲线或相对误差椭圆。举例例1、已知尸点的协因数阵为：_ (Qxx Qxyy( 0.4494 -0.2082 回 evJ = t-0.2082 0.3806 八司单位权中误差为4=5"。试求点位误差椭圆的三个参数解:2Q”Q、-Q、0.4494-0.3806第十章谈姜楠hi故： 2% =29。22'55 及 2念=2792255"所以 牝 =49&#

18、176;41'27.5 及 0o = 13g41'27.5因为Q*，=-0.2082V。,所以极大值方向在第二、四象 限；极小值方向在第一、三象限，即：经=13941'27.5 或 =3ig41'275夕=49°427.5 或 =22941'27.5"又因为E2 =(3.44944-0.3806+ /(0.4494-O.38O2 + 4x(-0.2082 )= 15.65062F2 =6.4494+0.3806-J(0.44940.380®2 +4x (-0.208对二 5.0994所以E = 3.96cm, F = 2.2

19、6cm于是得点位误差：o-； =E2+F2 =15.6506+5.0994= 20.750Q b“ = 4.55cm2.差:例位解数据同例1,试计算方位角为155度（由X轴起算）上的（1）式计算:£ = o-(Qxx cos-(p+ Qyy sin2(p+Qxy sin 2。)= 52(0.4494:os2155> +0.3806sin2155 -0.2082sin31(J= 14.915% = 3.86cm按(9)式计算：¥ = 15S -13954r27.5" = 15° 1832.5"故 = E- cos2 T + F2sin2T=

20、15.6506cos2l 5°1832.5"+ 5.0994sin21501832.5"=14.915cm例3、设单位权中误差为b0=5，片点和乙点的协因 数阵为：0.004494 -0.002082-0.000952-0.001553(cm/s)2-0.002082 0.003806 0.002531 0.002931-0.000952 0.002531 0.007121 0.003332-0.001553 0.002931 0.003332 0.003784；试绘出P、点和P2点的点位误差椭圆和相对误差椭圆, 并从图上量取两点的相对位置精度。解：的点位误差椭圆

21、参数为：极值方向:tan 20oi 解得：2amQxxXl Qylyl2z(-0.(X)2082)=.6()52326O.(X)4494 0.0038()60 =13041'和=22941'第十幸误差横hi因为Q、V0,所以极大值方向在第二、四象限，即(pr =1341' 或 外 =2241'极值:IIK、= 7(0.004494 - 0.003806 )2 + 4 x (-0.002086 )2 = 0.004228E； = 52x (0.00 4 4 94f 0.003806b 0.004223/2 = 0.156604 片=0.40cmA；2 = 52x(0.0044940.003806-0.004229/2=0.05090Q £ =0.23cmP2的点位误差椭圆参数为:极值方向： tan 2%2 =解得：2Qe2 x 0.003332)O.(X)7121 -O.(X)3784=1.997(X)3cpg = 3 V42'不口= 1 2 l042r因为24>0,所以极大值方向在