数列求通项公式的常见题型与解题方法

1、数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面, 等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏有关数列的试题经常是综合题，经常把数列 知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列， 求极限和数学归纳法综合在一起探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现本 章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论 等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.数列这一章的主要章节结构为：数列的函数性申调性递地数列，遲减数列,携动数列，常数列)数列筲差散列;定义、通项公武、中

2、项公式、前n项和気益式、性质等比数列:定义.通项公式，中项会式、 前n项和気公式、性慣近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面： 其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式. 结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.(1)数列本身的有关知识,(2)数列与其它知识的(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大 都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为 最后一题难度较大.定义F按-定次序井列的一列数的用像值域冇界，无界)题型1已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，

3、有这样的题目：1.数列0,'、2,0,的通项an 2.数列3.数列1 11 22 3 3 4'41 352 ,1 2,1 2 ,12242621 1的通项an5g的通项an82 n1、an0n为奇数2 n为偶数2、an( 1)一1n(n 1)3、an 1+ (1)n 1-4(2n)2练习例1.写出下面数列的一个通项公式,2 2(1),一2342 14521；an5使它的前4项分别是下列各数:2(n 1)2 1n 11 1 ，-12 2 31(1)nn(n 1)例2.观察下面数列的特点,写出每个数列的一个通项公式:(1) 1,7, 13,19,;a.(1)(n 5)3 15 3

4、75,2,石,7,石厂理3n 2(2) 7,77,777,7777,77 777，；an7(10n 1)9(3) 5,0, 5,0,5,0, 5,0，.an5s in 2例3:写出下面数列的一个通项公式：2313131 ( 1)n 2(1)叱，,，；an23 45 6题型2由an与Sn的关系求通项公式1 21、 已知数列an的前n项和Sn(n n)，则an .2、 已知数列an的前n项和Sn 3 2n，则an 13、 设数列an的前项的和Sn=( an-1) (n N ).3(I)求a1; a2；(n )求证数列an为等比数列.4、 数列a n的前n项和 s=3 2n-3,求数列的通项公式25

5、、设数列an的前n项和为S=2n+3n+2,求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差 数列.6、已知数列an的前n项和为S, a 2,且na”1=S+n(n+1)，求an.7、 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,nN.17am 8(I)写出求数列an的前3项a1,a2,a3； (n)求数列an的通项公式;(川)证明：对任意的整数m>4,有 丄丄a4 a57、解：当 n=1 时，有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1 ;当 n=2 时，有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0;当 n=3 时，有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2 ;综

6、上可知 a1=1,a2=0,a3=2;由已知得:上式可化为:故数列an2 故 an 3(数列an由已知得:anSnSn2/anC(1)n32(1) 是以,、nIn11)2通项公3左式为11Ta4a5丄丄丄1533631111a1an2an2an 12(1)n 2an11)为首项，公比为1 & 1an3 222n 2 3am12皿21)n 1 化简得：an 2an 12( 1)n 12的等比数列.10 20 2( 1)n1)n.n?202 (1)n2m111 1-(1 -521 121 41455 2m 5 1311 m 5131041057 .1 1()故一155211201208a4

7、a517_ ( m>4). am 8题型3 已知数列递推公式求通项公式（公式法）1、已知数列an的首项ai1,且 an an 13（n2），则 a.2、数列an中，a11,an1 an 2，求an的通项公式3、已知数列an满足a 1 ,1 1-1，求 an .an 1 an4、数列an中，a1 1,a2an ，求an的通项公式.an 25、已知数列an的首项ai1，且 an 3an 1（n 2），则 a.6、已知数列an的aia22 且 an 2 2an 1 an 则 an（累加法与累积法）1数列an中，a11,anann，求an的通项公式2、数列an中，a11，anan3n 1，求an

8、的通项公式3、已知数列an满足an 1an2n 1,1，求数列an的通项公式。4、已知数列an满足an 1an2 3n 1 a1 3，求数列an的通项公式。5、已知数列an的首项耳1，且 an £-1an 1（ n 2），则 a.n6、已知数列an满足 an 12（n 1）5n an, a1 3，求数列an的通项公式。(构建新数列)1、已知数列an的首项q1，且 an 2an 1 3(n 2)，则 an2、数列an中，ai2,an1 3an2，求an的通项公式.3、已知数列an满足an2an2n ,印 2，求数列an的通项公式。4、已知数列an满足an3an3n1， a1 3，求数列

9、an的通项公式。5、已知数列an满足an2ana16，求数列an的通项公式。6、已知数列an满足an3an5 2n4, a11，求数列an的通项公式。7、已知数列an满足an 12an3 n24n 5, a1 1，求数列an的通项公式。9、已知数列an满足an 18(n1)an22 ?(2n 1)2(2 n 3)2a19，求数列an的通项公式。已知数列an满足an 12，a14an14，求数列an的通项公式。10、已知数列an满足an 17an 2 a12a n 32，求数列an的通项公式。3、解：an1 2an 3 2n两边除以 2n 1，得 :n 1?；，则? 1?；，故数列是以于21为首

10、，以|为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2)2n。a3才1 (n 1)2，所以数列an的通项公式为an(畀4、解：an 1 3a n2 3n1两边除以3n 1，得an 13n 1an3nan 13n3n3n3n(黑an 1)1anan 2 )(an 2an 3 )(a n 1an 1111n 13n2(n 1)311F"2因此屯 2(n°3n 3(13n 1)2n2 3n则an3n3n5、解：设 an 1 x 5n 12(an x 5n)将 an 1 2an3 5n 代入式，得 2an35n x5n12an2an ,得 3 5nx 5n 1 2x 5n，两边除以5n

11、，得 3x52x ,得 an 1 5n 12(an5n)由a1516 5 1丰0及式，得an 5nan5nan5n以a1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n2n6、解：设 an 1 x 2n 1y 3(an x 2n y)将a n 1 3an3an 5 2n 4x 2n1 y 3(anx 2ny)整理得(52x)2n 4y 3x 2n3y。令5 2x 3x 小，则4 y 3yn 1an 15 22 3(an5 2n 2)2x 5n，等式两边消去则x= 1,代入式，2，则数列an 5n是，故 an 2n 15n。5 2n 4代入式，得x 5，代入式，得y 2由 a15 2121 121

12、3 0及式，得an 5 2n 2则 *1 L 2an 5 2n 2故数列an 52n 2是以1a15 2121 1213 为首项,为公比的等比数列,此an2n13 3n 1，则 an 13 3n 152n 2。7、解:an 1x(n 1)2y(n 1) z 2(an2xn ynz)a1an将an 12an3 n24n5代入式，得22an 3 n4n 5x(n1)2y(n 1)z 2(anxnynz），则2an(3 x) n2 (2x2an2xn2 2yn等式两边消去2an ,3 x则得方程组 2x y由a1an3 123n28、解：由2z得(34)nx)n22x4 2y ， z 52z(x y

13、 z(2x5)4)n (x5)22xn 2yn2z，23(n 1)2 10( n 1)3 1210 1 18 118312(an310，代入式,1823n210n320及式,18)an3n210n18 023(n1)210(n1)1810n18an 3n2an3n210n1810 110nan 11818an323132 为2n 1，则 an8(n1)(2n 1)2(2n 3)2 及內的等比数列3n210n18 。得a28(1 1)a1(2 11)2(2 13)288 22499 2525aa8(2 1)a3 a222(2 21) (2 23)24 8 34825 25 4949a4 a3(2

14、 3 1)2(2 3 3)28(3 1)488 4804949 8181由此可猜测an2(2n1)21(2n1)2往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当 n=1 时，a12(2 1 1)2 1(2 1 1)29，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即ak2(2k1)21(2 k 1)2则当nk 1时,ak 1 ak8(k1)2 2(2k1)2(2k3)2(2k 1)2 18( k 1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(

15、2k 1)2(2k3)2(2k 3)2 1 2(k 1) 12 1(2k3)22(k1) 12由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（ 2）可知，等式对任何 n N4x21x2429、解：令 x，得 4x的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。20x24121x 240 '则 X1 2, X2 1 是函数 f(x) E的两个不动点。因为an 12a n 1321an 24 n 2 4a n 120_244an 121an24 2(4an224 3(4an1)13a药 27n 2613 。9anan23，所以数列anan2是以3a12a132为首项，以 兰为公比的等比数列,9an2an3n 1，则 an113 n 12( )n 1910、 解：令7x