数值分析部分答案

1、第一章 绪论1设X 0,x的相对误差为 解：近似值x*的相对误差为，求In x的误差。ere*x*x*而In x的误差为e In x*In x* In xx*e*进而有 (In x*)2.设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。xf '(x)解：设f(x) xn，则函数的条件数为 Cp |f (x)n 1又f '(x) nxn 1, Cp | | nn又丁 r(x*) n) Cp r(x*)且 er (x*)为 2r(x*)n)0.02 n3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x；1.1021,x20.031,x；3

2、85.6,乂56.430,x；7 1.0.解：x*1.1021是五位有效数字；x；0.031是二位有效数字；x；385.6是四位有效数字；x456.430是五位有效数字；x；7 1.0.是二位有效数字。4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) X； X； X；,(2) X；X；x3,(3) X；/X；.其中X, ,X2,X3,X4均为第3题所给的数。解:*14(X1)210*1,亠3(X2)210*11(X3)210*(X4)1210 3*110 1(X5)2* * *(1) (Xi x2 x*)(X；)(x；)(x4)104103101.05 10(2) (X1X2X3)X-|X

3、2*(X3)X2X3(X1)11.1021 0.031 1020.215X1X3*(X2)0.031 385.6 -210 41.1021 385.6 丄2101，问度量半径R时允许的相对误差限是多少?RV'V30.0311 31310 3 56.43010 32 210 556.430 56.430(x2/x；)* I*X2I (X4) X4 (X2)nX45计算球体积要使相对误差限为43解：球体体积为V R3则何种函数的条件数为Cpr(V*) C/ r(R*)3 r(R*)又 丁 r(V*)110.3316设丫0 28按递推公式Yn Yn1五何(n=1,2,)1故度量半径R时允许的

4、相对误差限为r（R*）3，试问计算Y00将有多大误差?计算到Y00。若取J783 27.982 （ 5位有效数字）A解："Yi Yn 1 J783100 *1Y00 Y)9.J783100Y99 Y98V7831001 丫98 Y97 583100依次代入后，有 丫100Y0 100即 Y00Y).783,若取 78327.982, Y°0（Y0。）（丫0）(27.982)Y100的误差1:限为10 3。Yo 27.9827.求方程X2丫1 丫。舟忌1 10 321 <:/78310056x 10的两个根,使它至少具有4位有效数字（783 27.982 ）。故方程的根

5、应为X|,228783故 X128783 2827.98255.982X具有5位有效数字x22878328.78328 27.9820.01786355.982X?具有5位有效数字8.当 N充分大时，怎样求n1dx ?1 x22dx arctan(N 1) arctanN1 xarcta n(N 1),arctan N。则 tan N 1,tanN.dxarcta n(ta n( )tantanarcta n1 tan 1 *1g(t)(t*) tanN 1 Narcta n1 (N 1)N1arcta n 厂N N 129.正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1c

6、m ?解：正方形的面积函数为 A(x) x2(A*)2A* (x*).当 x* 100时，若(A*)1 ,1 2则(x*)102故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm21 210设S -gt2，假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t增加时S的2绝对误差增加，而相对误差却减少。1 2解：+ S -gt2,t 02八(S*) gt (t*)当t*增加时，S *的绝对误差增加r(S*)(S*)S*2gt (t*)当t*增加时，(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。11序列 y 满足递推关系yn 10yn 11 (n=1,2,)，若yo,2 1.41

7、 (三位有效数字)，计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗?解：Jy02 1.411 2(yo*)- 102又丁 yn 10yn 11y1 10y° 1S) 10 (y。*)又：y2 10y1 1(y2*) 10 (y)(V2*) 102 (y。*)10(Y10*)10(y°*)101010101计算到y10时误差为一108，这个计算过程不稳定。212.计算f (2 1)6，取 2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?(3 22)3,1,99 70 2。(32“2)3解：设 y (x 1)6,* * 1若 x . 2, x1.4，贝Ux102若通过=6计算y值，则

8、(21)61*7(X 1)(X若通过(3 2迈)3计算y值，则* *2 *y(3 2x ) x6 * * y x3 2x* *y x若通过3计算y值，则(3 2.2)1(3 2x )41 *7 y x (3 2x )通过计算后得到的结果最好。(3 2、2)313. f (x) ln(x , x2 1),求f (30)的值。若开平方用 6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(xx2 1) ln(xx2 1)计算，求对数时误差有多大？解Tf(x) ln(x Jx2 1), f (30) In(30 V899)设 u . 899, y f (30)则u*0.0167若改用等价公式

9、ln(x ,x2 1) In(x x2 1)则 f (30)In(30. 899)此时，59.9833第二章插值法2.给出f(x) In x的数值表X0.40.5lnx-0.916291-0.6931470.60.70.8-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算In 0.54的近似值。解：由表格知，x00.4,x10.5,x20.6,x3 0.7,x40.8;f(x0)0.916291(x00.693147f (x2)0.510826, f (x3)0.356675f(X4)0.223144若采用线性插值法计算ln 0.54即f (0.54)，则 0.50

10、.540.6x1x2h(x)10(x 0.6)L(x) MA 10(x 0.5)L"x)f(xjl1(x) f(X2)l2(x)6.93147( x 0.6) 5.10826( x 0.5)4(0.54)0.62021860.620219l°(x)(xxj(xX2)(x°X1)(x°X2)h(x)(xX)(XX2)（人冷）任X2)l2（X）(xx°)(xX1)(X2X°)(X2X1)若采用二次插值法计算In 0.54时,50( x 0.5)(x 0.6)100(x 0.4)(x 0.6)50(x 0.4)(x 0.5)L2(x) f(

11、x°)l°(x) fdJHx)f(X2)J(x)50 0.916291(x 0.5)(x0.6) 69.3147( x 0.4)(x 0.6) 0.510826 50(x 0.4)(x0.5)5 设 f (X)C2 a,b 且 f (a)f(b)0,求证：max f (x)a x b'*8(ba)2maxa x bf (x).解：令X0a,X1b,以此为插值节点，则线性插值多项式为XX1X x0J(x) f(X0)f (X1)0X0X1X X00.615320L2(0.54)0.61531984f(b尸x a又 f (a) f (b)0Li(x)01插值余项为 R(

12、 x) f (x) L1(x)f (x)(x x0)(x x1)2f(x)又(x1-f (x)(x x0)(x2x0)(x xj2(x1(x14；(bX。） （Xi冷)2a)2max f (x)a x b2x)8(ba)2 max f (x).& f(x) X x4 3x 1,求 F 2°,21，,27 及 F 2°,21，,28解：T f(X)x7x4 3x1若x2i,i0,1,.,8则fXo，xj,Xn严()n!f(7)()7!fXo,为，',X717!7!f(8)()f Xo,X1，xg08!16 .求一个次数不高于 4P(0)P(0)0,P(1) P

13、(1) 1,P(2)解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于次的多项式 P ( x ), 使它14的多项式X0,X1 1y。0,y11m°0,g111H3&)yjj(x)mj j(x)j0j 0XXnXX1、20(X)(120)(1)X)X1X0X1(12x)(x 1)21(x) (1 2三召(三呂)2 x xo x X。(3 2x)x2o(x) x(x 1)21(x) (x 1)x2H3(x) (3 2x)x2 (x 1)x2x3 2x2设 P(x) H3(x) A(x x°)2(x xj2其中，A为待定常数T P(2)1P(x) x3 2x2 Ax2(x 1)24从

14、而 P(x)x2(x 3)24第三章函数逼近与曲线拟合1. f (x) si nx，给出0,1上的伯恩斯坦多项式 B(f,x)及Ba(f ,x)。2解：/ f (x) sin , x 0,12伯恩斯坦多项式为Bn(f,x)nfk 0k()Pk(x)n其中Pk(x)nkxk(1n kx)当n1时，1F0(x)0(1x)P(x)xB(f,x)f(O)F0(x)f(1)P(x)10(1 x)sin(? 0)xsin2x当n3时,P)(x)1(1、30x)P(x)1x(1、23x(1、20x)x)F2(x)31x2(11 x)3x2(1x)R(x)3x33 x3B3(f,x)3 k f( )Pk(x)

15、 k o n0 3x(13x(1 x)25 3.3 3x21.5xx)2 sin :63、3 2 x (123、3 6x220.402x0.098x3x2(1x)证明:若 f(x)Bn(f,x)x)sin 33x23f (x) x 时，求证 Bn( f ,x) xkf()Pk(x)nkn kx (1 x)k 0 nnkn(n k 1)xk(1k!3证明函数证明:右aoa1x3x sin 2、n kx)(n 1)一( n 1) (k 1) 1xx(1(k 1)!1kn kx (1 x)xk1(1 x)(n 1)(k1)n 1x)n1,X,，X线性无关2a2xanxn 0, x Rkn kx (1

16、 x)分别取xk(k 0,1,2，,n)，对上式两端在0,1上作带权(x)1的内积，得a。ai12n 1an.此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异, 只有零解a=0。函数1,x,xn线性无关。4。计算下列函数 f (x)关于C0,1 的f , J与f 2 :(1)f(x) (x 1)3,x 0,1 f(x) x 2,f (x) xm(1 x)n,m与n为正整数， f(x) (x 1)10ex解：(1)若 f(x) (x 1)3,x 0,1，则2f (x)3(x 1)0f (x) (x 1)3在(0,1)内单调递增max f (x)0 x 1max |f(0)f(1)max 0,11

17、maxmaxmaxf(x) f(0) ,|f(1)0,110°1x)6dx)2x)701(2)若 f(x),x 0,1 ,则ax f (x)I 0 x 1f (x) dx1)dx211 012 1(x21410f2(x)dx)21【0(X若f (x) xm(1 x)n, m与n为正整数当 x 0,1 时,f (x)01n n 1f (x) x (1 x) x n(1 x) ( 1)x 1(1 x)n 1(1 x)x (0,)时,f (x)0n f (x)在(0,内单调递减n x (,1)时,f (x)0n f (x)在(,1)内单调递减。n (,1)f (x) 0 n f 必 f (

18、x)max f (0) , f (-m-) n nnn(n)°|f(x) dx1Oxm(1 x)ndx(si n2t)m(1sin 2t)nd si n2t2 sin 2mt cos2n t cost 2sin tdt on!m!(n m 1)!112m2n 20x (1 x) dx1'sin4mtcos4ntd(sin2t)21；2sin4m1tcos4n1tdt2(2n) !(2m)!2( n m) 1!若 f (x) (x 1)10e x当 x 0,1 时，f(x) 0f (x) 10(x 1)9e x (x 1)10( e x)(x 1)9ex(9 x)0f (x)在

19、0,1内单调递减。max f0 x 1iII f lliof(x)dxd0 x(x 1) e dxo'/(x1)10- X10e50(x；1O(x 1)9e xdx120 2x 21) e dx2n(x) ,n 0,1,2,3.2&对权函数(x) 1 X ,区间1,1，试求首项系数为1的正交多项式解：若(X)1 x2，则区间1,1上内积为1(f,g)1 f(x)g(x) (x)dx定义o(x)1，则n 1(X) (x n) n(x)n 1(X)其中n (X n(X), n(X)/( n(X), ng)n ( n(X), n(X)/( n l(x), n l(x)0 (x,1)/

20、(1,1)11x(1x2)dx11(1x2)dx0i(x)X1 (X2,x) /(x,x)13.2、1X (1x )dx1 2x2(1x2)dx0i (x, X)/(1,1)x2(1x2)dx11(1x2)dx1615 2852 (x32x,x52)/(x252 25，x1 3i(x3dd2X1i(x2x2)dx2 (x2 |,x2 2)/(x,x)551 2 22 221(x2 -)(x2 -)(1 x2)dx1551 21x2(1x2)dx13652517167015322 17393(x)xxxxx5701414。求函数f(x)在指定区间上对于span 1,x的最佳逼近多项式:1 x(1

21、)f(x) ,1,3;(2) f(x)ex,0,1;x f(x) cos x,0,1;(4) f(x) In x,1,2;解:1(1)】f(x) ,1,3;x3若(f,g)1 f(x)g(x)dx且01, 1 x,，则有0 2 2 12 竽(0, 1) 4,(f,0) ln3,(f, 1)2,则法方程组为263a。a1ln32从而解得a01.1410a10.2958故f(x)关于 span1,x的最佳平方逼近多项式为*S (x) a0 a1x1.1410 0.2958 x(2)f(x) ex,0,11若(f ,g)0f(x)g(x)dx且01, 1 x,，则有0： 1,12 1,(0,1)1

22、:,(f, 0)e 1,(f, 1)1,则法方程组为12 3从而解得12 a0a00.1878a 1.6244故f (x)关于 span1,x的最佳平方逼近多项式为*S (x) a0 a1x0.1878 1.6244 x Tf(x) cos x,x 0,11若(f ,g)0 f (x)g(x)dx且01, 1 x,，则有2(O' 1)1(f, o) 0,(f, 1)22 '则法方程组为12 ao1a13从而解得a01.2159a10.24317故f (x)关于 span1,x的最佳平方逼近多项式为*S (x) a0 a1x1.2159 0.24317X Tf(x) In x,x

23、 1,22若(f ,g)1 f(x)g(x)dx2270 2 1,1 23(0,1)3J2(f, 0)2ln 21,(f, 1)且01, 1 x,则有则法方程组为2ln2 3,43273a。a12ln 2 12ln 2 -4从而解得a。0.6371a10.6822故f(X)关于 span 1,x最佳平方逼近多项式为*S (x) a0 a1x0.63710.6822X16。观测物体的直线运动，得出以下数据:时间t(s)00.91.93.03.95.0距离s(m)010305080110求运动方程。解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程s a bt令spa n 1,

24、t则0：(6, 1 253.63,(0， 1)14.7,(0，s)280,(1,s)1078,则法方程组为614.7 a28014.7 53.63 b1078从而解得a 7.855048b 22.25376故物体运动方程为S 22.25376t 7.85504817。已知实验数据如下：1925313844yj19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如 s a bx2的经验公式，并计算均方误差。解： 若 s a bx2，贝Uspan 1,x22 20 2 5, 12 7277699,(o,i)5327,(f, o) 271.4,(f, J 369321.5, 则法方程组为5532

25、7a271.45327 7277699 b369321.5从而解得a 0.9726046b 0.0500351故 y 0.9726046 0.0500351x241均方误差为(y(Xj) yj)22 0.1226j 018。在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下:时间t0510152025303540455055浓度% 10 4)01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘法求y f (t)。解：观察所给数据的特点，采用方程by aet ,(a,b 0)两边同时取对数，则,bIn yln a -t取1 1 span 1, ,S

26、In y,x -* *则Sa b x221 0 211, 1 20.062321,(0, 1)0.603975,(0, f) 87.674095,( 1,f)5.032489,则法方程组为110.603975 a*87.6740950.6039750.062321 b*5.032489从而解得a*7.5587812b*7.4961692因此a ea5.2151048b b*7.49616927.4961692y 5.2151048e第四章数值积分与数值微分1确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1) hf(x)dx AJ( h) Aof

27、(O) AJ(h)；h2h(2) 2hf(x)dx A1f( h) Ao f (0) A1f(h)；1 1 f(x)dx f( 1) 2f(X1)3f(X2)/3;h 2 0 f(x)dx hf(O) f (h)/ 2 ah A1 h f (0) f (h);解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。h(1 )若(1) hf(x)dx A/( h) Aof(O) Af(h)令 f (x)1，则2h A1Ao令 f (x)x，则0 A1h A1h2令f (x) X ,则2 3 2 2 -

28、h h2A1 h2A13从而解得A。4h3A1 h3令 f (x) X3，则hh 3f (x)dxx3dx 0hhAif ( h) Aof(O) Aif(h) 0Aif (h)成立。h故 h f (x)dx Aif ( h) Aof(O)令 f (x) x4，则hhf(x)dxh 425x dxhh5A1f ( h)AOf(O) AJ(h)2h53故此时,hhf(x)dxAf h) AOf(O) Af(h)h故 h f (x)dx A1f ( h) AOf(O) A1f (h)具有3次代数精度。2h(2)若 2hf(x)dx Aif( h) Aof(O) Af(h)令f(x)1，则4h A1

29、Ao A令f(x) x，则O A1h Ah令 f (x) x2，则16 322h h A 1 h A13从而解得Ao4h3A A1 h3h132h2h 32hf(X)dX2hxdx 0Aif( h) Aof(0) Af(h) 02h故 2hf(x)dxA/( h) Af(0) Af(h) 成立。令 f(x) X2h2hf(x)dx2h x4dx2hAif ( h)Aof(O)64 5h5165A1f(h)h3故此时，2h2hf(x)dx因此，2h2hf(x)dxAif (Aif(h)h)Aof(O) Af(h)Aof(O) Af(h)具有3次代数精度。f(1) 2f(xi) 3f(X2)/31

30、(3 )若 i f (x)dx令f(x)1，则11 f (x)dx 2 f( 1) 2f(xJ 3f(X2)/3令f(x) X，则01 2为 3x2令 f (x) x2，则 2 1 2x2 3x2从而解得x10.2899x1 0.6899或x2 0.5266x2 0.1266令 f (x) x3，则f (x)dxx3dxf( 1) 2f(xJ 3f(X2)/301故 J(x)dx f( 1) 2f(xJ 3f(x2)/3 不成立。因此，原求积公式具有 2次代数精度。(4 )若 0 f (x)dxh f (0)f(h)/2ah2f (0) f (h)h0 f (x)dx h,h f(0)f (h

31、)/ 2ah2 f (0)令 f(x)x，则h0 f(x)dxhxdx0!h22h f (0)f (h)/ 2ah2 f (0)令 f (x)x2，则hh 21 30 f(x)dxx dx0-h3h f (0)f (h)/ 22ah f (0)故有1以1hh32ah2321a12令 f (x)3 x，则hf (x)dxh 3x3dx丄h4004hf(0)f(h)/ 21 2h2 f (0)12令 f (x)4 x，则hh 4150 f(x)dxx dx0-h5h f (0)f (h)/ 21 2-h f (0) 12令f(x)1，则f (h) h1 2f(h) 2h132f (h)-h 2ah

32、f (h)丄h42441 51 51f (h)hhh236故此时，h120 f(x)dx h f (0)f(h)/2 衫 hf(0) f (h),因此,h 10f(x)dx hf(0)讪 2 凉f(0) f(h)具有3次代数精度。2分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：10;x:tdx,n 4;o4 sin26；解:(1)n8,a0,b1,h18,f(X)X4 x2复化梯形公式为t8 2f(a) 27f(Xk)f(b)0.11140复化辛普森公式为S8 hf(a)6f(Xk1)2f (Xk)f(b)0.11157n 10,a0,b1,h11?f(x)(1复化梯形公式为T10 hf(a)f(X

33、k) f(b)1.39148复化辛普森公式为h9S06f(a)4k0f(xk 1)k -2f (Xk) f (b)1.45471n 4,a 1,b 9,h2,f(x)X,复化梯形公式为17.22774h3T4-f(a) 2 f(Xk)f(b)2k 1复化辛普森公式为h33S f(a) 4f(x i) 2 f(Xk) f(b) 17.322226k 0 k 2k 1(4)n 6,a 0,b, , f (x)4 sin2636复化梯形公式为t6 2f(a) 2f (Xk)f (b)1.03562复化辛普森公式为$ 6f(a)54 f(xk 1)k 0 k 252f(xk)f (b) 1.03577

34、k 116。若用复化梯形公式计算积分Iexdx，问区间0,1应人多少等分才能使截断误差不超01 5过-10 ?若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间0,1应分多少等分？2尺（f）h f ( ),(a,b)12又T11exdx0故 f (x)ex, f (x) ex, a 0,b 1.解：采用复化梯形公式时，余项为h212若115Rn(f)1 10，则.26 “5h-10eRn(f)Si当对区间0,1进行等分时,故有n t10 5212.85因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为尺（f）先（）行（），（a,b）180 2又 T f（X）f(4)(x)Rn(f)h

35、4Rn(f)14401105，则105h4| f ()| h42880 2880当对区间0,1进行等分时1n h故有114405 7n (10 )43.71e因此，将区间8等分时可以满足误差要求。5&用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10 .(11eXdx02(2) xsinxdx0x2dx.30解:1(1)Ie XdxkT0(k)T1(k)T(k)T2T(k)T300.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.71327170因此 I 0.713727

36、2 I xsinxdx0kT0(k)T,(k)063.451313 1018.628283 10 7"21-4.446923 10因此I 0 I x , 1 x 3y1 y 此时 y 1,3,dx0kTjk)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)T5(k)014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.2112607

37、10.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此 I 10.207592212。用下列方法计算积分y，并比较结果。1 y(1) 龙贝格方法；(2) 三点及五点高斯公式；(3) 将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解I 令x y乙则x 1,1,y(1)采用龙贝格方法可得kT0(k)T,(k)T2(k)T3(k)T,k)01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.098613

38、1.0986131.098613故有 I 1.098613(2)采用高斯公式时dx,2f(x)利用三点咼斯公式，则I 0.5555556 f( 0.7745967) f (0.7745967)0.8888889 f (0)1.098039利用五点高斯公式，则I 0.2369239 f( 0.9061798) f (0.9061798)0.4786287 f ( 0.5384693) f (0.5384693)0.5688889 f (0)1.098609(3)采用复化两点高斯公式将区间1,3四等分，得II1 I21 1 *1.5 dy1 7I3 I42 dy1.5 y2.5 dy3 dyy2.5 y作变换yI11 dx,1x 5f(x)1x 5,I1 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.4054054x 7作变换y，则4f(x)I2 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.2876712I3 f (