截长补短类辅助线作法

1、截长补短类辅助线作法“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等 于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段的 数量关系；“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较 短的长度相等，然后证明延长后的线段与最长的已知线段的数量关系.注：1、截长补短类辅助线解决的一般是三条线段之间的数量关系问题，特别要 注意线段前系数不是“1”的时候，一般会涉及到含特殊角的直角三角形2、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当的方法，并 不是所有题目截长和补短都可以例题精讲1、如图所示，是边长为的正三角形，二匚是顶角为二丁的等腰

2、三角形， 以二为顶点作一个二 的-二；，点 - ；分别在止、-二上,求-的周长.2、已知：如图， ABC中，丄矽=且° , BD平分/ ABC BC上有动点P.(1) DPIBC时(如图1),求证：三-匚一匚;(2) DP平分/ BDC时(如图2), BD CD CP三者有何数量关系?3、已知一二中，一-：，二、二分别平分汇和_.-.二，二、工交于 点二，试判断三三、二、汽 的数量关系，并加以证明.4、( 2014初二上期末昌平区)如图，人。是厶ABC的角平分线，点F, E分别在 边AC，AB上,且刊=斑 .(1) 求证:-J；(2) 如果-5_- =1：，探究线段AE AF, FD

3、之间满足的等量关系，并证明.5、如图所示，匚是边长为1的正三角形，工二=是顶角为工丁的等腰三角形，以匚为顶点作一个汀的，点皿、厂分别在三、从 上，求4口的周长.6如图所示，已知正方形 ABCD中，M为CD的中点，E为MC上= 2ZDAU .求证：应.求证:D7、五边形 ABCDE 中，.二=三，三：匚 1'-=:-：AD 平分/ CDE.8、如图，在 ABC中，=一，D是三角形外一点，且-二二：，二-二 上求9、（2012初二上期中中关村中学）如图1所示：二,AE、DE分别平分-二二和-二匸，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.（1）如图2,当点B、C分别位于点AD的同侧

4、时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：.（2）试证明你的猜想.（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系， 并选择一个写出证明过程10、（2012初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC中，-二 八- 艺血0 = 6丁，丄 = 120：，求证：PS-PC = RA .（2）如图，四边形 ABCD中，匸，一二，P为四边形ABCD内一 点，且-7=-，求证：-匸-二11、（ 2009山东临沂中考）数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点/ AEF=90，且EF交正方形外角/ DCG的平 分线CF于点F,求证：A

5、E=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点M，连接ME，贝UAM=EC，易证 AME ECF，所以 AE=EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把 点E是边BC的中点”改为 点E是边BC上（除 B，C夕卜）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF仍然成立，你认为小 颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其 他条件不变，结论“ae=ef仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.12、(2013中考朝阳

6、二模)在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，三-二, 过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得=-三二，连接AG .(1) 如图1，当EF与AB相交时，若三二 ，求证：三(2) 如图2,当EF与AB相交时，若-匚2 *，请你直接写出线段 EG、AG、BG之间的数量关系(用含 a的式子表示)；(3) 如图3,当EF与CD相交时，且-=，请你写出线段EG、AG、BG 之间的数量关系，并证明你的结论.13、(2015初二上期末昌平区)二二为等腰直角三角形，点匚在三边上(不与点八三重合)，以二为腰作等腰直角二二,-二-：(1) 如图1，作二一二-于-=，求证：_二一三二；AD(2) 在图1中，连接三

7、交二于二，求-的值；(3) 如图2,过点三作三_三交工的延长线于点三，过点二作-:，交于点)，连接】二.当点匚在边二上运动时，式子 的值会发生变化 吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由随堂练习1、已知等腰;，八 ，-匸匚的平分线交于匚,贝庐匚- -=-'2、已知： 如图，-是正方形， _一匚二 =_匚三 , 求证：三三_二戸=.二三.DC3、(2015中考顺义一模)如图， ABC中，点P是三角形右外一点,口，_.二二=一二二 _(1) 如图1,若-，点P恰巧在/ ABC的平分线上，求PB的长；(2) 如图2,若-丄一：探究PA，PB, PC的数量关系，并证明；(3)如图3,若zac=

8、i20c，请直接写出PA, PB, PC的数量关系.课后作业1、如图，四边形 ABCD中，AB / DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且 点E在AD上.求证：三:匸.D2、( 2013黑龙江龙东地区中考)正方形 ABCD的顶点A在直线MN上，点O 是对角线AC、BD的交点，过点O作OE丄MN于点E,过点B作BF丄MN于 点F.(1) 如图1,当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE (不需证 明)(2) 当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、 OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.3、( 2015中考海淀一模)在菱形 二'二中，- -“二，点三是对角线打上 一点，连接二三，二=-,将线段绕点匸逆时针旋转：并延长得到射线 二，交二的延长线于点二.(1)依题意补全图形；(2) 求证：三一三；(3) 用等式表示线段-三，三匚，：之间的数量关系：4、(2014黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、黑河中考)在等腰直角三角形ABC中,/ BAC=90，AB=AC，直线MN过点A且MN / BC，过点B为一锐角顶点作 Rt BDE，Z BDE=90，且点D在直线MN上(不与点A重合)