电磁场理论复习题含答案

1、第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1 .设：直角坐标系中，标量场 u = xy + yz + zx的梯度为A,则M (1, 1, 1)处A= 2ex+2?y+2ez, %A=0 O2 .已知矢量场 A =x ( y + z) + e1y 4 xy 2 + z xz ,则在 M (1,1,1)处 A = 9。3 .亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场(场量为A),则必须同时给定该场矢量的旋度刀RA 及散度-A 。4 .写出线性和各项同性介质 中场量D、E、B、H、J所满足的方程(结构方 程)：D =E, B = eH, j =E。_5 .电流连续性方程的微分和积分形式分别为二JdS二

2、任_和. J=二 。6 .设理想导体的表面 A的电场强度为E、磁场强度为 B,则(a) E、B皆与A垂直。(b) E与A垂直，B与A平行。(c) E与A平行，B与A垂直。(d) E、B皆与A平行。答案：B7 .两种不同的理想介质的交界面上，(A) E1 =E2 , H1 =H2(B) E1n =E2n , Hm=H2n(C) & =E2t , ft =H2t(D) E1t=E2t , Hn = H2n答案：C8 .设自由真空区域电场强度 E=ME°sin(cM ”(V/m),其中Eo、B为常数。则 空间位移电流密度 Jd (A/m2)为：(a) ?yE0 cos(cot B)

3、(b)备 co E0 cos(cot- 0)(c) ?y 比E0 cos( t B)(d) _ey B%cos(cot 0) 答案：Cx9 .已知无限大空间的相对介电常数为g =4,电场强度E = ?xP0cos(V/m),其中2dP0、d为常数。则x=d处电荷体密度 P为：4 二 4 二；。：02 二 %2 二；。：0答案：d(a)-0 (b)-0- (c)-0 (d)-0- dddd10 .已知半径为Ro球面内外为真空，电场强度分布为(-er cos0 + ?gsin 6)(r < R 0)Ro"B 一 一3 © 2cos，？sin u) (r R0)r-求(1)

4、常数B; (2)球面上的面电荷密度；(3)球面内外的体电荷密度。Sol. (1)球面上2B2由边界条件 E1t=E2t得： sin e =sin日t B = 2R2R0R06 cos.R0(2)由边界条件Dm 一 D2n =Ps得：s = ；0(E1n - E2n ) - ；0(E1r - E2r) =(3)由 D = P得：(r ：二 R0)(r R0)2- 0一-1 ar Er)1 c(Eesin)0p= £0v，E = % -+ %二Jrcrr s i n 冼、0即空间电荷只分布在球面上。11.已知半径为R0、磁导率为N的球体，其内外磁场强度分布为2© cos【-芋i

5、n )(r ：二 R0)H = A 3(?r2cos ?.sin u) (rR0)r-且球外为真空。求(1)常数A； (2)球面上的面电流密度Js大小。Sol.球面上(r=R0) : H r为法向分量；H e为法向分量.一.，一，一_一，,_3(1)球面上由边界条件 Bm=B2n得：NHir=卜0H2rT A =1R3J 0(2)球面上由边界条件 H1t H2t = Js得Js =(Hii-H2)|二一(2 ；)sin。 J 0第3章 静电场及其边值问题的解法1.静电场中电位金与电场强度E的关系为 E =网 ；在两种不同的电介质 (介电常数分别为q和板)的分界面上，电位满足的边界条件为.:n6

6、n 。2.设无限大真空区域自由电荷体密度为P,则静电场:9E E =-P/ sn。3.2 电位巾和电场强度E满足的泊松万程分别为 4.介电常数为工的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为5.对于两种不同电介质的分界面， 电场强度的 切向 分量及电位移的法向 分量总是连续的。6.如图，E1、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度,号=3可，5=30 ,7.8.Sol.，|EiI. |E2| = 3Ei12理想导体与电介质的界面上,表面自由电荷面密度 Ps与电位沿其法向的方向导数的二 n如图，两块位于 x = 0和x= d处无限大导体平板的电位分别为0、Uo,其内部充满体密度P=%(1-

7、ex")的电荷(设内部介电常数为 &G。(1)利用直接积分法计算 0<x<d区域的电位力及电场强度E ; (2) x=0处导体平板的表面电荷密度。为一维边值问题：. = (x)i=0=Uo_ d=dx2：o(1十)边界条件：x=0)=0,(x = d) = U o(1)直接积分得:P(x)=(ex“U07。d ；°d(1 - d2 e)x舛(2)由8 =Ps得:Fnd0 , x_d U 0：- 02_dE(x)=-、 二-&x 二 _& (e x) (1 - d e )dx；0d；0dn滉科l.八Ps = 一80 = = 一 80 =加

8、E(x) *_0=->0；qU 01 -d2：0de、1=) d9 .如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为 V。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐 标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。Sol.（略）见教材第 82页例3.6.110 .如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成白接地导体上方距离平面为d处有一个点电荷qO。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。Sol.空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：无限大接地导体平面+接地导体球边界条件：巾平面=小球面=0使小平面=0,引入镜像电荷： z

9、' = -d, q' = -q0使1*球面=0,引入镜像电荷:I 2aa乙=一,q1 = 一一 q0dd22a az2 一£ = 一, q2a= dq°z轴上z > a各点的电位:1 q0+ q+ q2+ q*4n%z-d| z -z1 z - z2 z+d_q012a314n% J z -d | z2d2 -a4 z + d_II .已知接地导体球半径为 R0 ,在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷 +q、-q ,位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小； （2）球外空间电位；（3） x轴上x>2R0各点的电场强度。So

10、l. (1)引入两个镜像电荷:q1Ro一 一q =一 2Rox1 =R2 _ Ro2Ro2*_qq2Ro(-q)= 2RoX2Roq1x2 o x1qRdR0(2)(x, y,z) =4 二；0R1R2=(略)印以xq一R - J(x_2Ro)2 +y2 +z2 ,Ri = J(x Ro/2)2 + y2 +z2R2 =，(x+Ro/2)2 +y2 +z2 , R = J(x+2Ro)2 +y2 + z2(3) x轴上x>2Ro各点的电场强度：E-g 1 q +-q/2 十 q/2 十 q 】匚 一 ex2222x-2Ro)(x Ro/2)(x + R0/2)(x + 2R0)12.如图

11、所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q,求(1)各镜像电荷的位置及电量；(2)两块导体间的电位分布。Sol. (1) q1 = qo ， ( a, 0, 0)q2 =+qo ， (0, -a, 0)q3 =-q° ， (a, 0, 0)(2)(x,y,z)4二；0四R1R2R3=(略)其中：R0 =. x2(y -a)2z2R1 =(xa)2y2z2R2 =, x2(ya)2z2R3 =. (x -a)2y2z2(0,-a,0)第4章 恒定电场与恒定磁场0,净余电荷只能分布1 .线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 在该导电媒质的表面上。2 .

12、线性和各项同性的均匀导电媒质中，V J =0； V D =03 .在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件为：E1t = E2t、 Jln - J2n。24 .在电导率为。的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小 E的关系为Pc = <E 。5 .恒定磁场的矢量磁位 A与磁感应强度B的关系为 B = m A ; A所满足的泊松方程为，2a = J。6 .对线性和各项同性磁介质（磁导率设为 N）,恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密112度Wm = :阳, V空间磁能Wm= J 2 HdlV。227 .已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：A = ?xX2y+?,

13、y2x+zCxyz , C为常数，且A满足库仑规范。求（1）常数C ; （2）电流密度J ; （3）磁感应强度Bo_ - a：ayaY:aM ；:aY(直角坐标系中：VMa=?x(一)+y()+eZ(x)cy；z二 z二 x 二 x 二 ySol. (1)(2)- -Ax ：Ay FAzc c 八库仑规范： 、A = 0一 二 2xy 2xy Cxy = 0 =FxFy：:z由 W2A = _J , t2AJ = 一二A =Ex2 y +?y y2x ?z4xyz 得:+ +r 2r 2勾cz1 一 一-j ex2y ey2xB = i A = -&4xz ey 4yz g( y2 -

14、 x2)C = 48 .（P.136.习题4.2）在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（当尸1和尸2）,其厚度分别为d1和d2。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。Sol.用静电比拟法计算。用电介质（名网碘 替代导电媒质，静电场场强分别设为E1、e2(0 :二 x :二 d1)(d1 ：二 x 二 d2)EM +E2d2 =U。.Di =D2 T 鸟 Ei=%E2电位移：Di =D2 = ；iEi =-&；i ；2U 0Ri；id2=（x）=E1x =2U 0（0 二 x 二 di）Eidi E2（x -di）=

15、；ix , （ ；2 - ；i）di lU 0 （di < x ： d2）；2di；id2静电比拟：Eu E , J u D,GU e,e匕巾 ,则导电媒质中的恒定电场:二 2U 0阴=x di +。血二ix （二2 一二i）di .2 =U 0J/di 二 id2（0 :二 x 二 d1）（di ：二 x < d2）-exE（x）=! ?x二 2U 0二2di ,二id2（0 : x :二 di）J = -包x：s：sx=0-iU 0二 2di 二&（di ： x : d2）二i 二 2U 0二 2di 二82f i： i一 ；i = 一 ；i 二 n 二 xx zdi

16、d2：-2cn：ix Zdi_=n:一 ；2二（-x）F 2I =小x品二 2di 二血2；2 二iU 0二 2di:i:xx=di（；i 02 一 ；2 二 i ）U 0二 2di 二 id2可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号p,s x=0-Ps xm乜。只有理想电容器才有电容定义。9. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为如图建立圆柱坐标，若电位=U0 （常量）及巾卜3=0。a、2a ,电导率为灯。iD导电媒质上电位分布以及恒定电场的电场强度E ; （2）该情况下导电媒质的直流电阻Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位户仅与坐标中有关，即（=（：）i d2；-

17、2 d :2u0 二 -AB由=u°及qa=0得：丸中）=孕中yo）a 2a（第9题图）11E = -v J =oE=_e；：2二 U0 1ji P2a-2a 2二U0 1=J dS = J (a d：) = -二Saa一2二aU0(a d。)=0ln 2JI直流电阻:r=¥JI2caln21 一/ 一 2U0 1-e不一e 下丁一 ez五二-e r22二二 aU021n 210. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a、2a ,电导率为仃。如图建立圆柱坐标，若电位 *1 =U0 (常量)及 叫皿=0。求(1)导电媒质上电位分布_a以及导电媒质上恒定电场的

18、电场强度E ； (2)该情况下导电媒质的直流电阻R。Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位户仅与坐标P有关，即®=®(P)(1) V24=0 ; 43要1=0 = = Aln P + B ；d： d：由=U° 及耳2二。得：山 P)= -U21n P + lnQa)- 二- U0 1E 八 :一e1：=e：ln2 :-IIPI = . J dS = J (a )S2一U0直流电阻：R=j21n 2一a第5章电磁波的辐射1.复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为2.坡印亭矢量S的瞬时表示式是3.自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为V2E -氏.22电磁场的情况

19、下变为' E ,k E = 04.在无损耗的均匀媒质(苒N)中，_ 22、H k H(A)k2(C) k2=0 ,其中 A： 2日；20际(B)(D)5.在时变电磁场中，磁感应强度电场强度E与位的关系为6.7.8.9.；：2E 、.、一 .、2=0,这个方程在正弦 .：t正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为k2k22,22=0 NaB与位的关系力E - 一仆。一 A已知某一理想介质；=4；0,=5流复矢量为 Jd=exJ0cos ejz :/“、 - Joy(A) excose t j a-Jo .71y住(C) exsine j a电偶极子天线的功率分布与(a) sin2 f(c)

20、cos21自由空间的原点处的场源在函数9和a(a) t -；c在球坐标系中,sin2 f(a)二r仃=0 )中)时谐电磁场的角频率为0a、P、(B)(D)J0皆为常数。则电场强度复矢量_ Joex j4 < jo叫白- cos- e0 asin网口国答案:ag的关系为a 。(b) sin 二(d) cos1t时刻发生变化，此变化将在,r(b) t ;c电偶极子的辐射场sin 二(b)工 r(c) t ；(d)任意(远区场)的空间分布与坐标的关系是sin -sin2 1(c)二(d)rr10. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则(A)不再是均匀平面波。(B)空间各点电磁场振幅

21、不变(C)电场和磁场不同相。(D)传播特性与波的频率无关。时刻影响到r处的位答案：C11.下列，电场强度所对应的电磁波为线极化方式的是（A）e =exi。6”+eyi0j 6居（B）E=exi0c“zeyioj 6,7Tz（C） E =610 ek _e丫10 e片 （D） E =百10 ,正十日丫10 6出片答案：C12、已知真空中某时谐电场瞬时值为E（x, z,t） =8y sin（10nx） cosfcot _kzz）。试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所给瞬时值表示式写成下列形式E（x,z,t） = Re?y sin（10二x）ekzzej t因此电场强度的复矢量

22、表示为E（x,z） =&sin（10二 x）ekzz由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为二4一 二H(x, z) = Ce e)=j.01 j.e:xex；：EyezEx；：Eyey7Ey?zFzEzj-0：zk_-ex-sin(10-：x)-ez'J010 二j'J0cos(10兀 x) e-jkzz功率流密度矢量的平均值 Sav等于复坡印廷矢量的实部，即?x?y?zSav =Re(S) = Re(E H 户 Re 22x '*xA""""1= -Re(exEyHz -ezEyHx)25二 k

23、z=一 Re ex2 I"sin(20 二 x) , %kz.2、 sin (10兀 x)0ckz2二« z sin (10二 x)2'J013、已知真空中时变场的矢量磁位为求：（1）电场强度E和磁场强度A(z,t) =?xA° cos( t -kz)H ; (2)坡印廷矢量及其平均值。解：（1）把矢量磁位的瞬时值表示为A(z,t) =Re(?xA0e-jkzej t则矢量磁位的复数形式为A(z) =<A0eJkz根据磁场强度复数形式H与矢量磁位复数形式A之间关系可以求出H(z)=1 ,、1(A)二u,oex：:x?yez二 _包二 =«(

24、jkA0)ekz；zjzAz根据麦克斯韦方程组的第一个方程 H间关系为十j co D ,此时J = 0 ,电场强度与磁场强度之E(z)=jmH)=电场强度的瞬时值为(2)坡印廷矢量为exxHxeyyHyez: z 二 -exHz2Hyj ； ；z-k 2 A 0_jkzexej- ；E(z,t) =Re E ej t=ex 0 cos(- , t _ kz -)213A 2-k A02二 cS = E H = ?x 备cos ( -t -kz - -) = ?zy 213A 2 k A02, 二、cos ( - t - kz -) 2坡印廷矢量的平均值为1* 八 k3A2'Re=2Re

25、(E H 八-«7TAx磁场强度的瞬时值为H (z,t) =ey(kA0)cos( t - kz -,)第6章、均匀平面波的传播1 .两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们的振幅 相同 ，相位相差/2q2 .均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅相等 :相位相差 n。3 .均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质 =2.25，叫=1,。= 0底面上，则电场反射系数为-1/ 5。4 .在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为E =eXl00cos (cot20nz )V / m ,则波的传播方向为+z ,频率为 3X109Hz

26、、波长为 0.1m,波的极化方式为100x方向的线极化波，对应的磁场为H =03778.祝-2航3所 ,平均坡印50002亭矢量 Sav为Sav =G_377W/m。5.均匀平面波电场方向的单位矢量eE、磁场方向的单位矢量 eH以及传播方向的单位矢量en三者满足的关系是en = eEeH6.损耗媒质的本征阻抗为,表明损耗媒质中电场与磁场在空间同一位置存在着 相位差，损耗媒质中不同频率的波其相速度不同，因此损耗媒质又称为色散 媒质。17 .设海水的衰减常数为 口，则电磁波在海水中的穿透深度为u ,在此深度上电场的振1幅将变为进入海水前的e 。8 . 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为a。9 .在

27、无源的真空中，已知均匀平面波的E = E0e-j生和H =H0e-j*,其中的E0和H0为常矢量，则必有 c。(a) ezE°=0; (b) ez H ° = 0;(c)E。Ho=0； (d)E°H°=010 .以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 b(a)不再是平面波(b)电场和磁场不同相(c)振幅不变(d)以TE波的形式传播11、已知空气中存在电磁波的电场强度为E =eyE°cos(6二108t 2二z)V/m试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应 的磁场强度H 。解：均匀平面波是指在与电磁

28、波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量jkzE = eyEoe该式的电场幅度为 E0,相位和方向均不变，且 E忌=0= E _Lez,此波为均匀平面波。 传播方向为沿着_ z方向。，t =6二 108t = ，-6二 108波的频率f =3 108 Hz波数k =2一 2二波长, = =1 mk相速 v = dz =_ = 3 10 m/s p dt k由于是均匀平面波，因此磁场为E。1-ejkzZw12、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为质的匕=1 ,求5 ,并写出H的表达式。E =eXE0sin（2冗 x108t2itz）,已知

29、介H = ( -ez E)解：根据电场的瞬时表达式可以得到=2兀父108 , k=2n ,而-2k = ./=；r , ；0 % =r = ;r = =9C、伽 ;电场强度的瞬时式可以写成复矢量为- -j2N 一号E =exE0e2波阻抗为Zw =仁=40兀。，则磁场强度复矢量为I 61-1- E0-j2-z-j；H F（ez E）94Fe 2因此磁场为H =ev -E-sin（2 二 108t - 2二 z）y 40二13、铜的电导率 仃=5.8M107S/m ,匕二%=1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、 波长、透入深度及其波阻抗。(1) f =1 MHz ； (2) f =100 M

30、Hz ； (3) f =10GHz解：已知 年X10-9 F/m和R0 =4兀乂10，H/m ,那么 0 36 二二=- =- 1.044 1018 ；23 ；r ；0f 当f =1 MHz时，仃=1.044X1012 »1 ,则铜看作良导体，衰减常数口和相位常数P分别为= 15.132、. f =15.132 103相速：vp=-=4.152 10 ". f =0.4152 m/s波长：，=2- =4.152 10/ m透入深度：.=1 =6.6 10,m Ct波阻抗：ZW : 2_(1 j)=2.61 10j(1 j), f =2.61 10-4(1 j)(2)当f =

31、100 MHz时，£-=1.044x1010 »1 ,则铜仍可以看作为良导体，衰减常数0和(OS相位常数P分别为:.,二=15.132. f =15.132 104:2,相速：vp=_=4.152 104，f =4.152 m/s波长：, =2二=4.152 10 3 m透入深度：=1 =6.6 10-6 m Ct波阻抗：ZW.(1 j)=2.61 10,(1 j). f =2.61 10*(1 j) 当f =10 GHz时，=1.044 X108 »1 ,则铜看作良导体，衰减常数«和相位常数 别为=15.132、，f =15.132 105相速：vp

32、= : =4.152 10/ . f =41.52 m/s波长：=互=4.152 10-6 m透入深度：、：=6.6 10. m a波阻抗：ZW =、；寡(1 + j) =2.61x10(1 +j)" =2.61父10/(1 + j)14、海水的电导率 仃=4S/m ,辱=81 , Nr =1 ,求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时 电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。解：已知 知之工父109 F/m和& =4兀父10, H/m ,那么 仃=18父109。0 36二.，； f 9 当f =10kHz时，=-x109 =8 X105 »1 ,则海水可看作良导体，衰减常数口和f 99相位常数P分别为= 3.97 10、f =0.397相速:vp =- =1.582 103, f =1.582 105波长：, = -' = 15.83 m透入深度：、, =- =2.52 mCt波阻抗：ZW :2_(1 j)=0.316二 10-3(1 j) f =0.099(1 j)': 2 二(2)当f =10 MHz时，=8 x102 =88.89 »1 ,则海水也可近似看作良导体，衰减常数a9和相位常数P分别为a =P=3.97x107=12.55相速：Vp