电磁场与电磁波答案第四版谢处方

1、章习题解答1.1给定三个矢量 a、b和C如下：A = exey2 -ez3B 二-ey4 ez（4）8AB ；（5）A在B上的分量;（AxB/C 和 Am （BMC）。(6)axc ;C ex5 e ez2求：（1）a A；（2）A -B ；（3）Ab ；（7）AJ（3父©）和（AMB）LJC ；（8）Aexey2 -ez3a A A12 22 (-3)2123ex -e y -_ ez .14.14.14(2)A-B| = (ex +ey2 -ez3) -(-ey4 +ez) =|ex +ey6 -ez4 =V53(3)ALB =(ex +ey2 -ez3) L(-ey4 +ez)

2、= 11ALB-1 11 1 /日111，(4)由 coSAB = - = -r= =_:，得 8AB =cos1 (-=) =135.51AB |a|b|百4，？71238ABV238_ A B 11(5) A在 B 上的分重Ab = A co Sab = 7ZT = f=|B|V17ex ey ez(6)AC = 12 -3 = -ex4 ey13 -ez105 0-2ex ey ez(7)由于 b XC = 0 -4 1 =ex8 +ey5 +ez205 0-2ex ey e zA x B = 12 3 ex 10 ey1 ez40 -4 1所以AL(B C)=(ex ey2 -ez3&

3、#163; (ex8 ey5 ez20) = -42(A B)UC =( -ex10 -ey1 -ez4)L(ex5-%2)=-42exey ez(8) (AB) MC = -10 -1 -4 =ex2 -ey40 +ez550-2ex e y ezAM(BC)= 12 -3 =ex55 -ey44 -ez118 5 20-5 -1.2 三角形的三个顶点为R(0,1,-2)、P2(4,1,和P3(6, 2,5)。(1)判断ARP2 P是否为一直角三角形；(2)求三角形的面积。解(1)三个顶点p(0,l,_2)、P2(4,1, 3)和P3(6,2,5)的位置矢量分别为ri =ey ez2 ,株=

4、ex4 + ey ez3 , r3 =ex6 +ey2 +ez5则R2 =r2 r1 =ex4 ez，R2 3= r 3- r 千 ex 2 +ey +ez8 ,R31 = r1 -13 - -e*6 -ey 哈其由此可见R12LR23 =(ex4 -ez)_(ex2 ey ez8) = 0故APR2P3为一直角三角形。(2)三角形的面积 S=1R12 MR 2 3| R 12M R 2 3=15/17 «69T 7. 1 31.3 求P(3,1,4)点到P(2,2,3)点的距离矢量R&R的方向。解rP= -ex3 +ey +ez4, rP =ex2 -ey2 +ez3,贝U

5、Rpp =s ex5 _ey3 _ ez且rpP与x、y、z轴的夹角分别为)=cos)=cos)=120.47= 32.31,=99.73,)=cos (-cco，/ex 1R PP=cos (-j-|Rpp|ey|_Rpp= cos (Rpp1 ez LR PP=cos (-p|R pp|1.4 给定两矢量 A=ex2 +ey3 324和8=3*4 -ey5 +ez6 ,求它们之间的夹角和B上的分量。解A与B之间的夹角为% " cos(aLb x-31、AB '"os (-2977)二 131A在B上的分量为1.5给定两矢量 上的分量。AB =-3.532A=ex

6、2 +ey3 ez4 和 B = ex6 -ey4 +ez,求 AmB 在 C = ex-eyezex ey ez解 AMB= 23 Y= -ex13 +ey22 +ez10-6 -41所以AMB在C上的分量为(AMB )c =( AM即C = -25= 14. 43A B C()C|C|V31.6 证明：如果 A B = aLc 和 AMB = AMC，则 B=C；-2 -解 由 AmB = AxC，则有 A 父(AxB ) = Ax (AxC),即 (A LB) A (A_A)B =( A_C) A (AA)C由于 aLB =ac，于是得到(a|_|a)b( a A cB =C1.7 如果

7、给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设a为一已知矢量，p - a|_|x而P_A><X，P和p已知，试求 x。解 由p a x X ，有A P=A (A X )=( A 次)A (A_A) X = pA (A_A) X故得X - PA A PX -aLa1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,巴,3)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标;(2)球坐标中的坐标。解(1)在直角坐标系中 x=4cos®23)、，=4sin(2n/3) = 2J3、z=3故该点的直角坐标为 (_2 2J33) °(2)在球坐标系中r ="2

8、 +32 =5、8 =tan,(4/3) = 53.1°、巾=2冗/3 = 120°故该点的球坐标为(5,53.1 口,120°)251.9 用球坐标表布的场 E=er2|_, r(1)求在直角坐标中点(_3,4,-5)处的E和Ex ；解(1)在直角坐标中点(2)求在直角坐标中点(_3,4,5)处E与矢量B =ex2 ey2 + ez构成的夹角。(T,4,-5)处，r2 =(3)2 十42 十(-5)2 =50，故E252 r=ex E =|e| cos%1 二 32 5.23.220(2)在直角坐标中点(3,4,5)处，r = ex3 +ey4 ez5,所以1.

9、10 球坐标中两个点 间夹角的余弦为E故E与b构成的夹角为25 25r =-ex3 ey4 -ez5"153.6(1,81,0)和(r2,82色)定出两个位置矢量R1和R2 °证明R1 和 R2cos = cos N cos 与 sin -1 sin -2 cos( 1 - 2)解 由R1 =exr1 sin 日1 cos电 +eyr1 sin d sin © +ezr1cos&R2 = exr2 sin % cos 2 eyr2 sin12 sin 2 ezr2 cosz 得到cos .R1此二R1 R2sin B1 cos 1 sin 22 cos 2

10、 sin 工 sin 1 sin 2s sin 2 cos-1 cos -2 =sin X sin % (cos 1 cos s 1 sin 1 sin 2) cos -1 cos-2 =sin i1 sin12 cos( 1 - 2) cos11 cosi21.11 一球面s的半径为5,球心在原点上，计算：口(e3sin6)|_dS的值。S2 二二解QBsini)© S= 1(er3sinRerdS= d 3sin 52sin 1 d I -75二2001.12 在由r=5、z =0和z =4围成的圆柱形区域，对矢量 A=err2 +ez2z验证散度定解 在圆柱坐标系中VJa =1

11、(rr2) + (2z) =3r +2r 二 r二 z42 二 5所以Lad . = dz d (3r 2)rdr =1200二000又QadS= (err2 ez2z)edSr e dS . ezdSz)=4 2 二5 2 二52 5d dz 2 4rdrd =1200二0 00 0故有1fKJAdi =1200冗=川Add Ss1.13 求(1)矢量 A - exx2 +eyX2y2 +ez24x2y2z3的散度；(2)求V|_A对中心在原点的 一个单位立方体的积分；(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。解(1) Qa=配 + 4x2y2) + m4x2y2z3) = 2x + 2

12、x2y + 72x2y2z2 / fy：:z(2) M对中心在原点的一个单位立方体的积分为121212v l_Ad =(2x 2x2y 72x2y2z2)d xd ydz =T-1 2 J 2 J 224(3) a对此立方体表面的积分1 2(-金)dydz12 121212.(<)2dydz- ! !.1 2 J2 2J2-1212 122 121 1 2x (-) d xdz -212 7 2 以12 121 Q1 1 24x y (-) d xdy -2-422412 12212i 1 2x () dxdz27 2/2以1 2 1 21 Q1.24x y (-) dxdy =7242

13、224故有.1A d =24TS1.14分。计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求 7|_r对球体积的积_ 2 二 二SJrjerdS= d-S00又在球坐标系中，sr =(r2r)=3,所以2二二 aLr d” ： N3r0 0 02sin idrd id =4二a31.15求矢量A =exx +eyx2+ezy2z沿xy平面上的一个边长为 2的正方形回路的线积分， 此正方形的两边分别与 x轴和y轴相重合。再求 vx A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。0e x:xe y金:y2 xezecz2y z2 2=ex2 yz ez2xl= xdx - xd x，i2

14、2d y - 0d y =8-13 -所以故有Add l =8 = F AJd s1.16分。CS求矢量A=exx +eyxy2沿圆周x2 + y2 = a2的线积分，再计算Vx A对此圆面积的积7| AJd l = 7|xdx+xy2dy =2 二(-a2 cos sina4 cos2 sin2 )d :0二 a41.17、AdS = ez(公 - A)_ezdS =a 2 二y2d S = r2sin2 r d d r =证明：(D Vlr =3 ； (2) Vx r = 0 ; (3) (AR) = A。其中 R = exx + eyy + ezz ,A为一常矢量。解（1）Qr=%+以+

15、包=3 衣 二 y :zI I (ex2yz ez2x)Lezd xd y = 80 0(2)e xeyez.:xfyxy.:zy(3)解在圆柱坐标系中，由可得到在球坐标系中，由f(r)C为任意常数。七二*r2皿=0设 A =exAx +eyAy +ezAz ,则 A_R = Axx + Ayy + Azz ,故(AR) -ex (Axx Ayy AzZ) ey(Axx Ayy AzZ)二 x二 y二ez (Axx Ayy Azz): exAx eyAy ezAz ' A ；z1.18 一径向矢量场F =erf(r)表示，如果V|_F =0,那么函数f(r)会有什么特点呢?.1 dk|

16、_Frf (r) -0r d r可得到1.19 给定矢量函数E =exy +e yx ,试求从点P(2,1,1)到点P2(8, 2, 1)勺线积分E d l : (1)沿抛物线x=y2；(2)沿连接该两点的直线。这个 E是保守场吗?解(1) JEUd l = fExdx+Ey d y =yd x+xd y = CCC22y d(2y2) 2y2 d y = 6y2 d y =1411(2)连接点P(2,1,1)到点B(8,2,1)直线方程为x -2 _ x -8y 7 y 22x -6y 4=02E Ld l =Exdx Ey d y = yd(6y -4) (6y -4)d y = (12y

17、 -4)d y =14CC11由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20 求标量函数 中=x2yz的梯度及手 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 ex13=+ey +ez5=定出；求(2,3,1)点的方向导数值。50、5050解=ex(x2yz) ey (x2yz) ez(x2yz) =二 x二 y二 zex2xyz eyx2z ezx2y345题1.21图故沿方向 e =ex 十e、/1一 十ez一 的方向导数为x .50y 505022二:一”也.6xyz .4xz 5xyfl'50. 50. 50点（2,3,1）处沿e的方向导数值为门361660112=+=.:1.50

18、.50.50.501.21 试采用与推导直角坐标中4A =工 iAy 追相似的方法推导圆柱坐标下的公式* jy ；z必色(入)+%十经。r crr '： z解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场 a沿er方向穿出该六面体的表面的通量为,QyQz"Z： ：.； z-z空r = JJ Arr也(r +&r)drd e 一 JJ Arrr d rd e之zzzz(r ： =r )Ar(r ： =r, , z) - rAr (r, , z)=：二z-(rAr)打工-lz =13.rrx二 rr 二 r同理r ：vr z 二zr 理 z ,七z、P = A dr

19、 dz I i A drdz :r zr zA (r, , + = ；, z) - A (r, , z)r z . rz =r；:L-r :JJ J Azz也rdrd® A A Azzrdrde*r%r%Az(r, ,z：z) -Az(r, , z)r r - -z -Az r.r _ ：=z ;一Az .：.LiL|二 z二 z因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为1 f(rAr)：A:A .甲=必 +¥4 + ¥z 叼+T+r二 rr:z故得到圆柱坐标下的散度表达式A - lim - 1- 0_1 - z"0 . . r fr r : z2221.

20、22方程u =二+ y_ +二给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。u - 2, 22a b c解由于vu =e 2x +e 2y +e红u ex 2 ey . 2 ez 2a b cA = esin 二 cos 二 - ecos 二 cos - e sin22B =ez sin e z cosez2rzsin一 _ 2_ 、2_C =ex(3y -2x) eyx ez2z(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示？(2)求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中小二好冏)部不颉巩)V4一 (r2 sin ccos ) 1-(sin c cos

21、 cos ) -1 (-sin)=r .:rr sin? Fr sin一：2 .-sin cos rcos 2sin 二 cos cosr sin 二err e1c6ArrAr r sin ) & c* r sin A<|rsin ?er1r2sin B.rsin c cosr ec0r cos - cosr sin uec*-r sin s sin故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示; 在圆柱坐标系中、j 1 ：lB=(rBr)r 二 r1 ：B 洱II =1 (rz2sin ) r ：r-:z1 f 2.:(z cos ) 一 (2rzsin

22、 ) 二 r -zz2sin z2sin2r sin =2rsin故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示; 直角在坐标系中err %ezerr eQezrrrccc1cdc=cr c* czrcr济czBr rB9 Bzz2 sinrz2cos® 2rzsinO=0,_1B = rCx：Cy；：Cz i_C = x' - zjx ；:y ；z*2:xL,L,2-2x) 一(x2) (2z) =0:x23y - 2xey-:y2 x:yeze:z2z= ez(2x-6y)-17 -故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为VLA =0，义 A =0 ；LB =

23、 2r sin M= ez(2x -6y)VC =0，Vx C1.24利用直角坐标，证明W fA) = / _A A) f解在直角坐标中f , La aI " = f(4 exAy 汛、/A f A 开 )(Ax Ay .y二 zf：AyAx-) (f .x t yA三)=二 z-yAy-) (f 2-Az Az-) -二 y cz二z一(fAx) (fAy)一(：zfAz) = 4( fA)1.25 证明(A A H ) =H|j. A -AP - H解根据算子的微分运算性质，有'、i( A H )=1 AL( A H )HA H )式中 A表示只对矢量 A作微分运算，VH

24、表示只对矢量 H作微分运算。由aL(b父c) = c_(a黑b)，可得Y aL( a H ) =H Lf , A A) =H C A)同理,1 h L( A H )= - A Ch H ) = A Q H )故有、 U A H )= H 住 A - AV： H1.26 利用直角坐标，证明解在直角坐标中、(fG) = f k G I f GFGz ：Gy ；:GX FGz ：:Gy ；:GXft G = f ex(-y) ey(- -z)ez( 一一-)cycz:z：x 二 x cy干 干干 二f阡 阡X G = ex(Gz-Gy) %(Gx-Gz) 4Gy-Gx)二 y：z二 z二 x二 x

25、二 y所以f' G " G=ex(Gz'f 乌)-(Gy 三 f9)；:yjy；z；z开FGxFf2Gzey(Gx- f x)-(Gz- f-)二 z二 zexex开 ；：Gy ；:fFGxez(Gy f,).(Gx f x)=二 x二 x二 y 二 y(fGz) ：(fGy)(fGx) fGz%ex:- ey：-:y z二 z二 xJ(fGy) ；XfGx)1ez -(fG)二xcy1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明Vx (Vu) = 0及守(守x A) = 0 ,试证明之。解(1)对于任意闭合曲线 C为边界的任意曲面 S，由斯托克斯定理有

26、(7x7 u)|_d S = Ju_d l 书d l =d u =0Scc- :l C由于曲面S是任意的，故有、 C- u) -0(2)对于任意闭合曲面 S为边界的体积T ,由散度定理有A)d . =口仆 A)_d S=0 A)_d S ( A)Jd S S6s2其中S和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有J(W A)Ud S =AJd l ,(W A)Ud S =Ad ls1Gs2c2由题1.27图可知G和C2是方向相反的同一回路，则有A d l=-JA d lC1C2l =0所以得到i( i A )d RA dl - A d l £-La d - _ A dC1"

27、C2C2C2由于体积七是任意的，故有_( x A)=0二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为P = _4 /U0d43x/'3，式中阴极板位于9x=0,阳极板位于x=d，极间电压为U0。如果U0=40V、d =1cm、横截面S =10cm 2, 求：（1） x =0和x =d区域内的总电荷量 Q ；（2）x = d/2和x = d区域内的总电荷量 Q'。d 44解（1）Q= fPd£= f（, %U°d 4 x- ）Sdx = £/U0S = Y.72x10 C.093d一 .d 441（2）Q'= Pd. （-%U0d

28、A3xN3）Sdx =-2（1-J）/U0S = -0.97父10（d 293d 3 22.2 一个体密度为P =2.32M10工C/m3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布， 试求电流密度和电流。解 质子的质量m=1.7M1027kg、电量q=1.6M10,9C。由1 2mv = qU 2得v = 2mqU =1.37 106 m s故J = ： v =0.318A, m2I = J： （d, 2）2 =10* A2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度 与绕一个直径旋转，求球内的电流密度

29、。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z轴。设球内任一点 P的位置矢量为r,且r与 z轴的夹角为日，则p点的线速度为v -r = e.y; r sin 二球内的电荷体密度为Q故2.4 一个半径为 面的面电流密度。4 二 a3 3J = ：；v=e；3 r sin - e 3 r sin4 二 a3 34二 a3a的导体球带总电荷量为Q,同样以匀角速度 0绕一个直径旋转，求球表解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点 P的位置矢量为r ,且r与z轴的夹角为0,则p点的线速度为v = r =em、asin1球面的上电荷面密度为Qa 二4 二 a2Q. Q .J S = v =

30、 e2 a sin - - esin -4二 a4二 a2.5 两点电荷q =8C位于z轴上z =4处，q2 = -4C位于y轴上y = 4处，求（4,0,0）处 的电场强度。解 电荷q1在（4,0,0）处产生的电场为E 二 qi r ri2 ex4 -ez41 4兀即 r -r；3度0 （472）3电荷q2在（4,0,0）处产生的电场为E q2 r - r21 ex4 -ey 42 40 |r -r；3加0 （472）3故（4,0,0）处的电场为E 二EiE2ex - ey -ez232.2二；02.6一个半圆环上均匀分布线电荷Pl ,求垂直于圆平面的轴线上z = a处的电场强度E（0,0,

31、 a）,设半圆环的半径也为 a,如题2.6图所示。解 半圆环上的电荷元 Rdl'=Plad但在轴线上z = a处的电场强度为dE='a一'5 二 4二；0 （，2a）3丹ez -(ex cos ''' ' ey sin )8,2二；0a在半圆环上对上式积分，得到轴线上z=a处的电场强度为E (0,0, a) = d E =8.2二；0a .二2二 2ez -(ex cosey sin )d =R( ez 二 f2)8 一 2二；0a题2.6图2.7三根长度均为L,均匀带电荷密度分别为 印、2和7地 线电荷构成等边三角形。 设Ri =2R2

32、 =2R3,计算三角形中心处的 电场强度。解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为,L3d = -tan30 = 一 L26则Ei = ey(cos30 - cos150) = ey114 二；0d2 二；°LE2 =-(excos30 eysin30)12 =一(ex-.3 - ey)li2二;0L8 二;0LE3 = (excos30v -eysin30r) 3 13 = (ex、3 -ey) 3 li2二 0L8二;0L题2.7图故等边三角形中心处的电场强度为E =EiE2 E3 =ey-ly-（ex 3 eyh3-2 （ex、3 -ey）T =ey；3-l72

33、 二；0L8 二；0L8 二；0L4 二；0L2.8 点电荷+q位于（-a,0,0）处，另一点电荷 2q位于（a,0,0）处，空间有没有电场强E =0的点？解 电荷+q在（x, y, z）处产生的电场为q ex(x a) eyy ezZE1 '222r3 24 0 (x a) y z 电荷2q在(x, y, z)处产生的电场为_ 2q ex(x-a) eyy ezZ24n% (x-a)2 +y2 +z23,2(x, y,z)处的电场则为 E =E1 + E2。令E = 0，则有ex(xa)eyyezz2ex(x - a)eyy ezz222,3 2222 3 2(x a) y z (x

34、-a) y z 由上式两端对应分量相等，可得到(x +a)( x -a)2 + y2 +z23,2 =2(x a)( x +a)2 + y2 + z23 2y(x -a)2 + y2 +z232 =2y(x + a)2 + y2 +z23 2z(x - a)2 + y2 +z23,2 =2z(x +a)2 + y2 + z232当y #0或Z=0时，将式或式代入式，得a=0。所以，当y#0或z#0时无解；当y=0且z = 0时，由式，有(x a)(x -a)3 = 2(x - a)(x a)3解得x -（-3-2. 2）a但x = _3a+2J2a不合题意，故仅在（3a _2j2a,0,0）处

35、电场强度E =0。2 . 9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的z轴上z = 4处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为:3z0的圆内的电荷产生的。解 半径为r、电荷线密度为 R =0dr的带电细圆环在 z轴上z = z0处的电场强度为d E =ezr-z0d r22、322 p(r z°)-# -题2.10图故整个导电带电面在 z轴上z = z0处的电场强度为E hez8,r、- z0drbdlaoQ22、320 2，0(rz0 )二 41Pz2；0 (r2 z2)12而半径为x04的圆内的电荷产生在 z轴上z =。处的电场强度为；3z）r-z0 dr0

36、2；°(r2 z2)32二 41*0 (r2 z2)123 .10 一个半径为a的导体球带电荷量为 Q，当球体以均匀角速度 0绕一个直径旋转，如题B。2.10图所示。求球心处的磁感应强度 解球面上的电荷面密度为一 Q'- 二 24二 a当球体以均匀角速度 e绕一个直径旋转时，球面上位置矢量 r = era点处的电流面密度为JS = <jv = ct cMr = cre co 父ea = Sz I_. TQ -一e#Q a sin 二-e sin 二4二 a将球面划分为无数个宽度为的电流为d I = JSdl =dl = ad日的细圆环，则球面上任一个宽度为dl =ade

37、细圆环- sin d4 二细圆环的半径为 b =asine ,圆环平面到球心的距离d =ac0sH，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为_L0b2dI_L0 Qa2sin31d d B=ez22 3 2 - ez2.222 3 2 =ez2(b d )8二(a sin 二 a cos m)故整个球面电流在球心处产生的磁场为,3 .星，0 'Q sinB =ez 0d i - ez2.11两个半径为b、同轴的相同线圈，各有 n匝，相互隔开距离为 d，如题2.11图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。1)求这两个线圈中心点处的磁感应强度(2)证明：在中点处

38、 d BJdX等于零;(3)求出b与d之间的关系，使中点处B =exBx；d2 Bx/d x2也等于零。解(1)由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度J Ia2B = e -° ez22322(a2 - z2)得到两个线圈中心点处的磁感应强度为B = ex0NIb2(b2 d24)32所以(2)两线圈的电流在其轴线上”NIb22(b2 x2)32x (0 < x < d)处的磁感应强度为°NIb22b2 (d -x)232dBx3%NIb2x3oNIb2(d-x)22.5 222r52dx 2(b x )2b (d -x)故在中点xdBxdx= d/2处，有30NI

39、b2d 230NIb2d 2-十 ：-=n2b2 d2 42b2 d2 4(3)d2 Bx _ 150NIb2x230NIb2次二 2(b2 x2)72 -2(b2 x2)5215、NIb2(d -x)230NIb2-21 -2b2 (d -x)27 22b2 (d -x)252令 d2Bxdx2即故解得b25d24 =b2 d = b5d2 4 d2 4 d2472 b2 d2 4522.12 一条扁平的直导体带，宽为2a ,中心线与z轴重合，通过的电流为 。证明在第Bx=上口 ， Byln匣 式中ot、r1和r2如题2.12图所示。 r1象限内的磁感应强度为则a解 将导体带划分为无数个宽度

40、为dx'的细条带，每细条带的电流dI一dx'。由安培环路定理，可得位于x'处 2a的细条带的电流dI在点P(x, y)处的磁场为口0 dI 0I dxd B =二-2二R4二aRd Bx - -d Bsin -d By = d Bcos1二所以BxUy dx: 4二a(x - x)2 y24二 a/ r x -x arctan-a口01dx4 二 a(x-x)2 y212-0Iy d x4二 a(x -x )2 y20I (x - x)d x4 二 a( x - x )2 y2" arctan4 二 a |L一 arctan止 arctan4 二 a |L一

41、arctanI y力°Ia By =.-a0I (x -x )d x+ 22 4 a(x -x) y °I=-8- a. 22ln(x-x) y (x a)2 y2Wn 28二 a (x - a) y°Iln三r12.13如题2.13图所示，有一个电矩为R的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为P2的 电偶极子，位于矢径为 r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为Fr = _3pLp24 门 sin 12 cos -2cos-1cos-2)4 二；0r式中a xr, RA, e K r, P2 >,4是两个平面(r, p)和(r, P2)间的夹角。并问两

42、个偶极子在怎电偶极子R在矢彳至为r的点上产生的电场为1 3( Pi Lr) r4 二；0r57r所以Pi与P2之间的相互作用能为We - -p?LEi -L3( Pi Lr)(P2 Lr)4 二；0题2.13图样的相对取向下这个力值最大?因为。xr, RA, 0 xr, P2 >,则Pi L r = RrcosP2Lr = P2rcos12又因为$是两个平面(r, Pi)和(r, P2)间的夹角，所以有 (r p)|_(r p2); r2Plp2sin 口 sin 12 cos另一方面，利用矢量恒等式可得(rPi)krP2)=( r r)r_P2=r2Pi-(r|_R)rJP2=r2(P

43、0)-7)(3)因此1 _(Pi I-P2) =(r Pi)L(r P2) (rPi)(r|_P2) = PiPzSinui sincos 'P1P2cosuicos力r .PiP2于是得至|JWe =3 (sin 工 sin % cos - 2coscos%)4 二；0r故两偶极子之间的相互作用力为R P2d iq=consi(sinsinRcos -2cos口 cos%) y)=4 0dr r4Plp24 (sin 弓 sin 12cos - 2coscos2)由上式可见，当q =% =0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。0IiBi 二 e2.14 两平行无限长直线电流Ii

44、和I2,相距为d ,求每根导线单位长度受到的安培力 Fm o 解 无限长直线电流Ii产生的磁场为iF mi2 = . LBidz = -ei20:0I i I 2直线电流I2每单位长度受到的安培力为式中ei2是由电流Ii指向电流I2的单位矢量。I .I C同理可得，直线电流Ii每单位长度受到的安培力为Fm2i = -Fmi2 =022二 d2.15 根通电流Ii的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d ,如题2.I5图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为-i6 -Fm - -l0Iil2(sec： -1)这里a是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解 无限长直线电

45、流Ii产生的磁场为Bi =e个0Ii圆环上的电流元12d l 2受到的安培力为由题2.15图可知J0I1I2 d Fm = I2d 12 B1 =d l2 ey -02二 xd 12 =( -exsin 二 ez cos )a d x = d acosu所以0a11120 2二(d a cos)(-ezsin- ex cos )d=0al1l2cos0 (d a cos )0al1l 222) = -ex0l1l2(sec： -1)-a-49 -某一电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为2.16 证明在不均匀的电场中， r (pD)EP E。解如题2.16图所示，设p =qdl (dlT 52 q

46、E(r2) H qE(r1)«1),则电偶极子 p绕坐标原点所受到的力矩为(r 7) qE(r ”(rd ld l万)qE(r-万户qr E(r T) E(*) qdl E(r当dl ：二1时，有E (rd lE (r -万)“ E(r)(? 1)E(r)2d l E(r)-(-、)E(r)2故得到T r (qdl ')E(r) qdl E(r)= r (pD )E p E三章习题解答3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q,试计算球赤道平面上电通密度的通量（如题3.1图所示）。解由点电荷q和-q共同产生的电通密度为赤道平面题3.1图八一一qrR

47、R一 :4二'R3R： _q_ err ez(z-a) _ er ez(z a) E%2 (z-a)232 -r2 (z a)232'则球赤道平面上电通密度的通量：，=Dd S= 口乳 乂 dS =a,0 (rS(-a)22X3 2a )22、322二 rdr =(r +a )qa2 221 2(r a )a二(0-1)q - -0.293q3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为 荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Zea的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为4n rI r23ra J,试证明之。

48、解 位于球心的正电荷 Ze球体内产生的电通量密度为原子内电子云的电荷体密度为故原子内总的电通量密度为题3. 3图（a）b。_Ze_4二六3Ze4二 r23Ze电子云在原子内产生的电通量密度则为D 2 =erD = D1D 24 二 ra3_3 _:4二 r 3Ze r二-e2r34 r4 raZe 1 e二一 4n lr3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为l_ 工2 3ra JPoC/m3,两圆柱面半径分别为a和b,轴线相距为C（c<b-a）,如题3.3图（a）所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内

49、看作同时具有体密度分别为±P0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为P0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为-P0的均匀电荷分布，如题3.3图（b）所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在r >b区域中，由高斯定律了 E bdS = -q-,可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为Ei =er.2 _. 2二 b 00b r2二；0r2 ；0r22 ,a 0QEi = er2二；0r；0a2L一 2 ；0r 2b -题3. 3图（b）点P处总的电场为P (b2 r a2r *2 ；o r2-2r在r <b且

50、r,Aa区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点点P处总的电场为二r2了 了r=er = 2 二；0r 2；oE 二 E2 E2 二r TEa2：二 er 2 二;0r2 -.二)-2 >rP产生的电场分别为:a2r2 ；°r 2在r' < a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点点P处总的电场为=er二 r2。02 二；0r70r2 ；o；o2 ；oh a -r2：0E3 -er-2二；0r0(r - r ) = c2 ；oP产生的电场分别为一上一 2；。3.4 半径为a的球中充满密度P（r）的体电荷，已知电位移分布为Dr 二r3 Ar2a5 + Aa42l r(r =a)(r -a)其中A为常数，试求电荷密度P（r）。解：由LD=P，有：(r) = DD工;d(r2Dr)r d r故在r < a区域：(r)1 d 23220 / r (r Ar ) = ；.o(5r 4Ar) r d r在r >a区域1 、1 d . 2 (a5 Aa4)1二°3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量 Q。已知球内部的电场为 E=er（r/a）4,设球内介质为