三类边界条件热传导方程扩散方程ppt课件

1、Dirichlet (狄利克雷边境条件)n在数学中，狄利克雷边境条件在数学中，狄利克雷边境条件Dirichlet boundary condition也被称为常也被称为常微分方程或偏微分方程的微分方程或偏微分方程的“第一类边境条件。第一类边境条件。n在热力学中，第一类边境条件的表述为：在热力学中，第一类边境条件的表述为：“将大平板看成一维问题处置时，将大平板看成一维问题处置时，平板一侧温度恒定。平板一侧温度恒定。n狄利克雷边境条件的偏微分方程表示：狄利克雷边境条件的偏微分方程表示：n其中：其中： xxguGxxfuk )( 0*连通区域的边界有界连通区域已知函数、标量场，比如温度场等笛卡尔空间

2、上拉普拉斯算子，在二维热传导系数Gfguyxk2222Neumann (诺伊曼边境条件)n在数学中，诺伊曼边境条件在数学中，诺伊曼边境条件Dirichlet boundary condition也被称为常微也被称为常微分方程或偏微分方程的分方程或偏微分方程的“第二类边境条件。第二类边境条件。n诺伊曼边境条件的偏微分方程表示：诺伊曼边境条件的偏微分方程表示：n其中：其中： 表示内积梯度拉普拉斯算子是给定的函数处（向外）的法向表示边界区域边界连通区域)()()( 0)(*xfGxxyxyxxfxyGxxfuk散度n散度散度divergence可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，可用于表

3、征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当散度的意义是场的有源性。当div F0 ，表示该点有分发通量的正源发散，表示该点有分发通量的正源发散源；当源；当div F0 表示该点有吸收通量的负源洞或汇；当表示该点有吸收通量的负源洞或汇；当div F=0，表示该，表示该点无源。点无源。n散度的运算关系：散度的运算关系：n所以有：所以有：n诺伊曼边境条件为：诺伊曼边境条件为： ）通量（稳态下为传递系数法向向量浓度其中：即0)(*)()(*)(*)()()()( gqncgqccgradnxfxvgradyxygradxvyvxxyxy)()()()()(FFFFdivgrad

4、Fdiv（或1分散方程n菲克第一定律：在菲克第一定律：在 时间内，沿时间内，沿 方向经过方向经过 处截面所迁移的物质的量处截面所迁移的物质的量 与与 处的浓度梯度成正比：处的浓度梯度成正比：n即：即：n根据上式引入分散通量概念，那么有：根据上式引入分散通量概念，那么有：n菲克第二定律：当分散处于非稳态时，各点的浓度随时间而改动，通常的菲克第二定律：当分散处于非稳态时，各点的浓度随时间而改动，通常的分散过程大都是非稳态分散，菲克从物质的平衡关系着手，建立了第二个微分散过程大都是非稳态分散，菲克从物质的平衡关系着手，建立了第二个微分方程式。分方程式。txxmxtAxcm)(xcDAdtdm)(xc

5、DJ2.1热传导方程与分散方程在分散方向上取体积元在分散方向上取体积元 ， 分别分别表示流入体积元及流出体积元的分散通量，那么表示流入体积元及流出体积元的分散通量，那么在在 时间内，体积元中分散物质的积累量为：时间内，体积元中分散物质的积累量为：那么有那么有当当 时，有时，有 将将 带入可得带入可得xJJtxAmtxxxxxJJxA,ttJAJmxxx)(0tx、xJtc)(xcDJ)(xcDxtc假设分散系数假设分散系数 与浓度无关即：与浓度无关即：在直角坐标系中的三维分散：在直角坐标系中的三维分散：当分散系数和浓度无关时候，直角坐标系中的三维分散可简记为：当分散系数和浓度无关时候，直角坐标

6、系中的三维分散可简记为：其中其中22xCDtC)()()(zCDzyCDyxCDxtCCDtC22222222zyxn傅立叶实验定律傅立叶实验定律n物体在无穷小时段物体在无穷小时段 内沿法线方向内沿法线方向 n流过一个无穷小面积流过一个无穷小面积 的热量的热量 与与n物体温度沿曲面法方向的方导游数物体温度沿曲面法方向的方导游数n成正比成正比n注：负号是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧。注：负号是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧。n在物体在物体 内任取一个封锁曲面内任取一个封锁曲面 ，它所包围的区域记为，它所包围的区域记为n 从从 时辰到时辰到 时辰流进闭曲面时辰流进闭曲面 的全部热

7、量为：的全部热量为：2热传导根本方程xyzodSn dSdtnuzyxkdQ),(tnsdQdnuG1t2t.),(21ttdtdSnuzyxkQn在时间间隔在时间间隔 温度从温度从 变化到变化到 所吸收的所吸收的热量是：热量是：n其中为其中为 比热，比热， 为密度。为密度。n由热量守恒定律，物体内部无热源时由热量守恒定律，物体内部无热源时21tt ，),(1tzyxu),(2tzyxu.),(),(),(),(12dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcc dxdydzdttuzyxzyxcdxdydzdtzukzyukyxukxtttt2121),(),( dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcdtdSnuzyxktt),(),(),(),(),(1221n交换积分次序交换积分次序n留意到留意到 都是恣意的，可得热传导的齐次方程：都是恣意的，可得热传导的齐次方程：n假设物体是均匀的，且各向同性的，那么有：假设物体是均