第六章大数定律与中心极限定理PPT课件

1、第六章第六章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 . 62 . 63 . 64 . 65 . 6 为了确定事件为了确定事件A的概率的概率p, 进行了进行了10000次的重复独立试验次的重复独立试验. 试用切比雪夫不等式估计试用切比雪夫不等式估计: 用用A在在10000次试验中发生的频率作为概率的近似次试验中发生的频率作为概率的近似值时值时, 误差小于误差小于0.01的概率的概率.6.1 6.2 利用切比雪夫不等式估计随机变量利用切比雪夫不等式估计随机变量 X与与其期望的差不小于其期望的差不小于3倍标准差的概率倍标准差的概率.解答返回解答 设在每次试验中事件设在每次试验中事件 A 发

2、生的概率发生的概率p=0.75, 试用下面两种方法估计试用下面两种方法估计n取多大时才能取多大时才能以以90的把握保证的把握保证n次重复独立试验中次重复独立试验中A发生的发生的频率在频率在0.740.76之间之间:6.3(1) 利用切比雪夫不等式估计利用切比雪夫不等式估计;(2) 利用中心极限定理估计利用中心极限定理估计.解答返回 已知一本已知一本 300 页的书中每页印刷错误的页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布个数服从泊松分布P(0.2), 求这本书的印刷错误不求这本书的印刷错误不多于多于70个的概率个的概率.6.4 6.5 某单位设计一台电话总机某单位设计一台电话总机, 共共200个分

3、机个分机. 设每个分机有设每个分机有5的时间要使用外线通话的时间要使用外线通话, 并且每个并且每个分机使用外线与否是相互独立的分机使用外线与否是相互独立的. 问该单位至少需问该单位至少需要多少根外线才能保证每个分机要用外线时可供使要多少根外线才能保证每个分机要用外线时可供使用的概率达到用的概率达到90？解答返回解答 如果用如果用X1, X2, , X10000 表示表示10000次重复次重复独立试验的各次试验中事件独立试验的各次试验中事件A发生的次数发生的次数, 则事件则事件A在在10000次试验中发生的频率为次试验中发生的频率为 为了确定事件为了确定事件A的概率的概率p, 进行了进行了100

4、00次的重复独立试验次的重复独立试验. 试用切比雪夫不等式估计试用切比雪夫不等式估计: 用用A在在10000次试验中发生的频率作为概率的近似次试验中发生的频率作为概率的近似值时值时, 误差小于误差小于0.01的概率的概率.6.1解解121000010000XXXX 且满足且满足100001000011111000010000kkkE XEXpp 1000010000221111(1)(1)100001000010000kkkppDXDXpp 于是于是, 由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得0.010.01 10.01P XpP XEXP XEX 221311(1)()0.0124DXppp 3

5、4 利用切比雪夫不等式估计随机变量利用切比雪夫不等式估计随机变量 X与其期望的差不小于与其期望的差不小于3倍标准差的概率倍标准差的概率.6.2解解 因为因为 2139(3)DXPXEXDXDX 所以随机变量所以随机变量 X与其期望的差不小于与其期望的差不小于3倍倍标准差的概率为标准差的概率为1/9. 如果用如果用X1, X2, , Xn 表示表示n次重复独立试验次重复独立试验的各次试验中事件的各次试验中事件A发生的次数发生的次数, 则则 设在每次试验中事件设在每次试验中事件A发生的概率发生的概率p=0.75, 试用下面两种方法估计试用下面两种方法估计n取多大时才能以取多大时才能以90的把的把握

6、保证握保证n次重复独立试验中次重复独立试验中A发生的频率在发生的频率在0.740.76之间之间:6.3(1) 利用切比雪夫不等式估计利用切比雪夫不等式估计;(2) 利用中心极限定理估计利用中心极限定理估计.解解于是事件于是事件A在在n次试验中发生的频率为次试验中发生的频率为12( ,0.75)nXXXB n12nXXXXn 且满足且满足2(1)(1)0.18750.75,nppppEXpDXnnn (1) 利用切比雪夫不等式得利用切比雪夫不等式得 故要以故要以90的把握保证的把握保证n次重复独立试验中次重复独立试验中A发发生的频率在生的频率在0.740.76之间之间, 即即0.740.760.

7、9PX 187510.9,18750nn 只只需需或或0.740.760.01PXP XEX 10.01P XEX 21875110.01DXn 根据德莫佛拉普拉斯中心极限定理根据德莫佛拉普拉斯中心极限定理, 近近似地有似地有(2)(0,1)(1)/XpNppn 从而从而0.740.760.01PXP Xp 0.011875(1)/(1)(1)/XpXpnnPPpp npppp n 211875n 故要以故要以90的把握保证的把握保证n次重复独立试验中次重复独立试验中A发发 生的频率在生的频率在0.740.76之间之间, 即即0.740.760.9PX 只需只需210.9,0.95187518

8、75nn 或或(1.645)0.95,1.6451875n 查查表表知知因因此此只只需需5074n 或或 比较上述两种方法的估计结果可比较上述两种方法的估计结果可知知: 中心极限定理较切比雪夫不等式中心极限定理较切比雪夫不等式效果好效果好. 事实上事实上, 在在X1X2,Xn独立同独立同分布的情况下分布的情况下, 应用中心极限定理计应用中心极限定理计算算Pa X1X2,Xnb往往能得到相当往往能得到相当精确的近似值精确的近似值, 而用切比雪夫不等式而用切比雪夫不等式给出的估计往往比较粗糙给出的估计往往比较粗糙. 如果用如果用X1,X2,X300表示表示300页书中各页印页书中各页印刷错误的个数

9、刷错误的个数, 则这则这300个随机变量相互独立且都个随机变量相互独立且都服从泊松分布服从泊松分布P(0.2), 它们的数学期望和方差均为它们的数学期望和方差均为0.2, 据林德伯格列维中心极限定理据林德伯格列维中心极限定理, 近似地有近似地有 已知一本已知一本 300 页的书中每页印刷错误的页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布个数服从泊松分布P(0.2), 求这本书的印刷错误不求这本书的印刷错误不多于多于70个的概率个的概率.6.4解解30030011300 0.260(0,1)300 0.260kkkkXXN 这本书的印刷错误总数不多于这本书的印刷错误总数不多于70个的个的概率为概率为于

10、是于是, ,30030011607060706060kkkkXPXP 706060 1.29 0.9015 用用 X 表示这表示这200个分机中同时需要使用外线个分机中同时需要使用外线的台数的台数, 则则 X B(200,0.05). 如果设该单位安装的外如果设该单位安装的外线数为线数为k , 那么据德莫佛拉普拉斯中心极限定理那么据德莫佛拉普拉斯中心极限定理, 近似地有近似地有 某单位设计一台电话总机某单位设计一台电话总机, 共共200个分机个分机. 设每个分机有设每个分机有 5 的时间要使用外线通话的时间要使用外线通话, 并且每并且每个分机使用外线与否是相互独立的个分机使用外线与否是相互独立的. 问该单位至少问该单位至少需要多少根外线才能保证每个分机要用外线时可供需要多少根外线才能保证每个分机要用外线时可供使用的概率达到使用的概率达到 90？6.5解解10(0,1)(1)9.5XnpXNnpp 于是于是1010109.59.59.5XkkP XkP 故欲保证这些分机要用外线时可供使用的概率故欲