信号与系统王明泉1-8章完整答案

1、第1章 信号与系统的概述1.1 学习要求（1）了解信号与系统的基本概念与定义，会画信号的波形；（2）了解常用基本信号的时域描述方法、特点与性质，并会灵活应用性质；（3）深刻理解信号的时域分解、运算的方法，会求解；（4）深刻理解线性是不变系统的定义与性质，会应用性质求解系统1.2 本章重点（1）基本的连续时间信号的时域描述和时域特性；（2）单位冲激信号的定义、性质与应用；（3）信号的时域运算及其综合应用；（4）线性时不变系统的性质与应用。1.3 本章的知识结构信号与系统信号系统信号的概念与表示形式信号的分类典型信号信号的运算与分解系统的概念与描述系统模型系统分类系统的分析方法作用于产生1.4 本

2、章的内容摘要1.4.1信息、消息和信号的概念所谓信息，是指存在于客观世界的一种事物形象，一般泛指消息、情报、指令、数据和信号等有关周围环境的知识。消息是指用来表达信息的某种客观对象，如电报中的电文、电话中的声音、电视中的图像和雷达探测的目标距离等等都是消息。所谓信号，是指消息的表现形式，是带有信息的某种物理量，如电信号、光信号和声信号等等。信号代表着消息，消息中又含有信息，因此信号可以看作是信息的载体。1.4.2信号的分类以信号所具有的时间函数特性来加以分类，可以将信号分为确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等等。1.4.3

3、常用信号（1）正弦型信号 (1-3)（2）指数信号 (1-8)（3）矩形脉冲（4）三角脉冲 (1-18)（5）抽样信号 (1-19)性质：（1），偶函数（2），即（3），（4），（5）该函数的另一表示式是辛格函数，其表示式为 (1-20)(6) 斜变信号 (1-24)（7）单位阶跃信号 或 如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用 下标表示其矩形脉冲宽度。利用阶跃信号还可以表示符号函数。符号函数定义如下： （8）单位冲激信号 冲激函数的性质a抽样特性（筛选特性）若普通信号在点或处是连续的，则有 或 它表明冲激函数通过与普通函数乘积的积分可将普通函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来，故称其具有抽样性

4、质。b偶函数性质 c冲激函数的尺度特性 冲激函数和阶跃函数的关系 （9）冲激偶函数冲激函数的微分为具有正、负极性的一对冲激（其强度无穷大），称作冲激偶函数，并且以表示。冲激偶函数的性质： 1.4.4信号的基本运算（1）相加 （2）相乘 （3）时移，其中为常数。（4）反褶， （5）尺度变换 （6）微分 （7）积分 1.4.5信号的分解(1) 直流分量和交流分量设原信号为，分解为直流分量与交流分量，则原信号可表示为 （2）偶分量和奇分量偶分量的定义为 奇分量的定义为 任何信号都可分解为偶分量与奇分量两部分之和。因为任何信号总可写成 信号的平均功率=偶分量功率+奇分量功率（3）脉冲分量一个信号可以近

5、似地分解成冲激脉冲分量之和的形式。常用的分解方式为：矩形脉冲分量和阶跃信号分量的叠加。（4）实部分量和虚部分量 （5）信号的正交分解假设用正交函数集在区间近似表示 方均误差为 令趋于无限大，有，则称此函数集为完备正交函数集。1.4.6 系统的概念（1）系统的定义所谓系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。（2）系统模型（a）输入-输出描述法输入-输出描述法着眼于系统激励与响应之间的关系，并不关心系统内部变量的情况。通常，连续时间系统通常是用微分方程来描述的，而离散时间系统是用差分方程描述的。 （1-92）（b）状态变量描述法描述系统状态随时间变化的一组独立变量称为系

6、统的状态变量。如果系统具有个状态变量，则可将它们看成是矢量的各个分量，称为状态矢量，并记为 （1-94）状态变量描述法不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，便于多输入-多输出系统的分析。（c）方框图表示系统模型 名称框图符号输入输出关系加法器数乘器乘法器延时器积分器移位器（3）系统的分类连续时间系统与离散时间系统系统的输入和输出是连续时间变量的函数，叫做连续时间系统。系统的输入、输出信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散系统。由两者混合组成的系统称为混合系统。连续时间系统的数学模型是微分方程，而离散时间系统则用差分方程来描述。记忆系统与即时系统如果系统在任意时刻的响

7、应仅决定于该时刻的激励，而与它过去的历史无关，则称之为即时系统(或无记忆系统)。全部由无记忆元件(如电阻)组成的系统是即时系统。如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史有关，则称之为记忆系统(或动态系统)。含有动态元件(如电容、电感)的系统是记忆系统。集总参数系统与分布参数系统集总参数系统仅由集总参数元件(如、等)所组成。 含有分布参数元件的系统是分布参数系统（如传输线、波导等）。 可逆系统和不可逆系统如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的系统称为可逆系统。 假如一个系统对两个或两个以上不同的输入输出能产生相同的输出，则系统是不可逆的

8、，称为不可逆系统。如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统,则称后者是前者的逆系统。1.4.7系统的性质(1) 线性具有叠加性与均匀性（也称齐次性）的系统称为线性系统。即，如果 那么 线性系统特性（a）微分特性 （2）积分特性。（3）频率保持性信号通过线性系统后不会产生新的频率分量。（2）时不变性若则对连续系统有，（3）因果性一个系统，如果激励在时为零，相应的零状态响应在时也恒为零，就称该系统具有因果性，并且称这样的系统为因果系统；否则，为非因果系统。（4）稳定性如果一个系统对于每一个有界的输入，其输出都是有界的，则称该系统是稳定的。若其输出是无界的，则该系统是不稳定的。1.4.8线

9、性时不变系统的分析方法时间域方法是直接分析时间变量的函数，研究系统的时间响应特性变换域方法是将信号与系统模型的时间变量函数变换成相应变换域的某种变量函数。综上所述，系统分析的过程是从实际物理问题抽象为数学模型，经数学解析后再回到物理实际的过程。1.5典型考试试题解析题1、下列各表示式正确的是（ ）。(a) (b) (c) (d) 答案：（b）分析：可以采用验证法，得所以答案b符合题2、 答案：分析：当时，所以当时， 所以，题3、计算解：题4、计算解：题5、积分等于（ ） （a） (b) (c) (d) 答案：（b）题6、是（ ）运算的结果。 (a) 右移5 (b)左移5 (c) 右移 (d)左

10、移答案：（c）题7、画出下图7所示信号f（t）的偶分量与奇分量。图7解：1.6本章习题全解1.1已知信号波形，写出信号表达式。 (a) (b)解：（a）（b）1.2已知信号的数学表达式，求信号波形。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1）信号区间在1，2之间，振荡频率为，周期为1，幅值按趋势衰减，波形如图1-2-1；（2）信号区间在-1，1之间，在-1，0区间呈上升趋势，在0，1区间呈下降趋势，波形如图1-2-2；图1-2-1 图1-2-2（3）信号为正弦信号经时移的叠加而成，由于每次时移间隔为半个周期，所以偶次时移与奇次时移的结果相抵消，结果如图1-2-3；（4）结果如图1

11、-2-4图1-2-3 图1-2-4（5）结果如图1-2-5图1-2-5（6）结果如图1-2-6图1-2-61.3分别求下列各周期信号的周期(1) (2) (3) (为正整数，T为周期)解：（1）当满足（k为整数）时，即k=1时，为的周期，同理，的周期为；所以的周期为。（2）当满足（k为整数）时，即，即k=1时，为的周期（3）根据表达式，可画出信号的波形为从图中可以看出周期为2T。1.4求下列表示式的函数值(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 已知 求解：（1）(2) (3) (4) (5) (6) 上式中为偶函数，为奇函数(7) 1.5已知信号的波形如下图1.5所示，试画出下

12、列各信号的波形(1)(2)(3) 题图1-5解：（1）先将在横坐标轴上向右平衡3，再进行压缩，得波形如图1-5-1；图1-5-1（2）过程及结果如图1-5-2所示；图1-5-2（3）过程及结果如图1-5-3所示；图1-5-31.6已知的波形如图1-6所示,试画出的波形。题图1-6解：本题有两种求解方式：解法一：（1）将信号以纵坐标为轴翻褶，得波形（2）将的波形在横坐标上扩伸2倍，得波形（3）将的波形向右移动5，得的波形图1-6-1解法二：（1）将信号以波形向右移动5/2，得波形（2）将波形的在横坐标上扩伸2倍，得波形（3）将的波形以纵坐标为轴翻褶，得的波形；图1-6-21.7求下列函数的微分和

13、积分（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）1.8试证明: 证明：1.9粗略画出题图1.7所示各波形的奇、偶分量题图1.7解：（1）根据信号的奇、偶分量的定义，现求出 图1-9-1图1-9-21.10试证明因果信号的奇分量和偶分量之间存在关系式证明：因为为因果信号所以，所以，所以，证毕1.11分别求出下列各波形的直流分量(1) 全波整流; (2) 升余弦函数解： 求解信号波形的直流分量，实际上即为求解信号的平均值，对于周期信号，只需求一个周期内的平均值即可。（1）的周期为，所以其直流分量为： （2）因为在一个周期内均值为0，所以1.12画出下列系统的框图(1) (2) 解：（1）系统方程两边同

14、除以2，得图1-13-1（2）图1-13-21.13判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果性(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 解： （1），即系统非线性即系统为时变系统由于任意时刻的输出只与时刻的输入有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。所以，该系统是非线性、时变、因果系统。（2），即系统线性即系统为时变系统由于任意时刻的输出只与时刻的输入有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。所以，该系统是线性、时变、因果系统。（3），即系统线性即系统为时不变系统由于任意时刻的输出只与时刻的输入的微分有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。所以

15、，该系统是线性、时不变、因果系统。(4) ，即系统非线性即系统为时不变系统由于任意时刻的输出只与时刻输入的平方有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。所以，该系统是非线性、时不变、因果系统。(5) ，即系统线性即系统为时变系统当时，说明系统在的输出与时刻以后的输入有关，所以系统为非因果系统。所以，该系统是线性、时变、非因果系统。(6) ，即系统线性即系统为时不变系统系统在的输出与时刻和时刻的输入有关，所以系统为非因果系统。所以，该系统是线性、时不变、非因果系统。(7) ，即系统非线性即系统为时不变系统系统在的输出只与时刻的输入有关，与时刻以后的输入无关，所以系统为因果系统。所以，该系

16、统是非线性、时不变、因果系统。(8) ，即系统线性即系统为时变系统系统在的输出只与时刻的输入有关，与时刻以后的输入无关，所以系统为因果系统。所以，该系统是线性、时变、因果系统。1.14 将以下信号分类为功率信号、能量信号，或者两者都不是。在可能的情况下，求出信号的功率和能量。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：(1) 所以为能量有限信号，信号的能量为1/4。(2) 该信号为有限区间信号，所以为能量信号(3) 根据题（1）的求解可得，E=1,所以信号为能量有限信号。(4) 采用分布积分可得所以，信号为能量有限信号(5) 所以信号为能量有限信号。(6) ，所以不是能量有限信号所以该

17、信号为功率有限信号，功率为11.15判断下列系统是否是可逆的。若可逆，则给出它的可逆系统；若不可逆，指出使系统产生相同输出的两个输入信号。（1）（2）（3）（4）解：对不同的激励信号能产生不同响应的系统是可逆的。（1）该系统可逆，其逆系统为（2）当激励信号为常数时，输出均为0。即不同的激励产生相同响应，所以系统不可逆。（3）该系统可逆，（4）该系统可逆，1.16 有一线性时不变系统,初始时刻系统无储能，当激励为时，响应为试求当激励为时，系统的响应。解：第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响

18、应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应；（4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应；（5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况；（7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。；2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立；（2）用时域经典法求系统的响应；（3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是函数形式与其它信号的卷积；（5）利用零输入线

19、性与零状态线性，求解系统的响应。2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻： 电感： 电容： 2.4.2 系统微分方程的求解齐次解和特解。齐次解为满足齐次方程 当特征根有重根时，如有重根，则响应于的重根部分将有项，形如 当特征根有一对单复根，即，则微分方程的齐次解 当特征根有一对重复根，即共有重的复根，则微分方程的齐次解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。激励函数响应函数的特解(常数)注:(1)表中、是待定系数。 (2)若由几种激励组合而成，则特解也为其相应的组合。 (3)若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：倍乘表中特解。假如这种重复形式有次（

20、特征为次），则依次增加倍乘，诸项。2.4.3起始点的跳变-从到状态的转换在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号加入后系统的状态变化区间。一般激励都是从时刻加入，此时系统的响应区间定义为。当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。如果包含有及其各阶导数项，说明相应的到状态发生了跳变，即或等等。这时为确定、等状态，可以用冲激函数匹配法。2.4.4系统的零输入响应与零状态响应（1）零输入响应系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。零输入响应是满足及起始状态的解,它是齐次解的一部分 由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变，所以中

21、的常数可由确定。（2）零状态响应所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应。零状态响应由起始状态为零时的方程 所确定。系统的零状态响应为 其中和分别为齐次解和特解。系统的线性：条件1 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和。 条件2 零输入线性，即零输入响应与初始状态或之间满足线性特性。条件3 零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性。 2.2.5连续时间系统的冲激响应与阶跃响应（1）冲激响应系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号时系统的零状态

22、响应。在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。因果系统的冲激响应为 （2）阶跃响应一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应阶跃响应与冲激响应之间的关系为 或 2.2.6 卷积积分（1）卷积积分的概念一般情况下，如有两个信号和做运算 此运算定义为和的卷积(Convolution)，简记为 或 （2）卷积积分的图解法用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号和的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出和波形，将波形图中的轴改换

23、成轴，分别得到和的波形。第二步，将)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到波形。 第三步，给定一个值，将波形沿轴平移。在时，波形往左移，在时，波形往右移，这样就得到了的波形。 第四步，将和相乘，得到卷积积分式中的被积函数。 第五步，计算乘积信号波形与轴之间包含的净面积。第六步，令变量在范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号。（3）卷积运算的性质性质1 乘法运算中的交换律、结合律和结合律适应于卷积运算交换律 结合律 分配律性质2 信号与奇异信号的卷积信号与冲激信号的卷积等于信号本身，即 信号与冲激偶的卷积等于的导函数，即 信号与阶跃信号的卷积等于信号的积分,即 性质3 卷积

24、的微分与积分如果，则有 如果，则。设，则有 2.2.7 用卷积积分法求系统的零状态响应对于任一时刻系统的零状态响应为 2.2.8 相关如果和是两个能量有限的信号，且均为实函数，则它们之间的相关函数（又称为互相关函数）定义为和 互相关性质：。当和是同一个信号时，即，则它们之间的相关函数（又称为自相关函数）定义为自相关函数性质：（1）（2）时，相关性最强，最大。如果和是功率有限信号，且均为实函数，那么互相关函数定义为 和 自相关函数定义为 2.2.9用算子符号表示微分方程（1）算子符号的基本性质如果把经常出现的微分和积分用下述算子符号表示 式中，称为微分算子，称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应

25、用微分或积分算子简化表示微分和积分运算。例如 对于微分方程式(2-4)则可表示为 性质1 以的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。性质2 设A(p)和B(p)是的正幂多项式，则 性质3 微分算子方程等号两边的公因式不能随便消去。性质4 算子的乘除顺序不可以随意颠倒。（2）用算子符号建立微分方程 对于LTI连续系统，其输入输出方程是线性、常系数微分方程，用输入-输出法描述系统时，由式(2-62)可得出输入激励与输出响应之间的关系是 其中 令，代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称为响应对激励的传输算子或系统的传输算子。 2.5典型考试试

26、题解析题1、 已知系统微分方程为，若，解得全响应为，t0。全响应中为（      ）（a）零输入响应分量      (b)零状态响应分量 (c)自由响应分量  (d)稳态响应分量答案：（d）分析：响应中不含齐次解，所以答案(a)(b)(c)都不是题2、两线性时不变系统分别为S1和S2，初始状态均为零。将激励信号先通过S1再通过S2，得到响应；将激励信号先通过S2再通过S1，得到响应。则与的关系为_。答案：分析：该题是考查级联系统的交换率：两级联系统交换保持不变题3、计算，其中

27、“*”表示卷积。解： 题4、已知信号和如图4所示 图4试计算，并画出的波形。解： 波形如下图：题5、 已知，可以求得（ ） (a) (b) (c) (d) 答案(c)分析：采用卷积的定义，直接积分求得题6、_。答案：分析：采用卷积的微分性质：题7、 一起始储能为零的系统，当输入为时，系统响应为，则当输入为时，系统的响应为 。答案：分析：线性系统的微分特性的题8、一线性时不变系统在相同的初始状态下，当激励为时，其全响应为；当激励为时，其全响应为。试求在同样初始条件下，激励为时系统的全响应。解： （1） （2），两种输入的初始条件一样， （3）根据（1）（2）（3）式，可得，初始条件不变，2.6本

28、章习题全解2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为。刚体与地面间的摩擦系数为，外加牵引力为，求外加牵引力与刚体运动速度间的关系。题图2-1解：由机械系统元件特性，拉力与位移成正比，即又所以，刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得整理得2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源，试列出电流及上电压为输出响应变量的方程式。题图2-2解：由电路的基尔霍夫电流定律可得： （1）根据电容特性， （2）由电路的基尔霍夫电压定律可得： （3）将代入（2）得（4）代入（4）得，整理得， （

29、5）将，即代入（5）得整理得，2.3某连续系统的输入输出方程为 已知，,，试计算和值。解：将输入代入系统方程可得采用冲激函数匹配法求和方程右端的冲激函数项最高阶数为，设，则有：，将其代入原系方程，得所以2.4 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下， ，,试求其完全响应。解：（1）求齐次解特征方程为：特征根为：所以，（2）求特解（3）全响应将代入系统方程得 （1）将初始条件代入得：所以全响应为：2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为，当激励为时，系统的完全响应为，。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。解：由全响应得初始条件，（1）求零输入响应特征方程为，特征根为，所

30、以代入初始条件，解得，所以， （2）求零状态响应（3）2.6 已知某线性时不变系统的方程式为试求系统的冲激响应h(t)。 解：方程右端的冲激函数项最高阶数为，设，则有：，将其代入原系方程，得2.7若描述系统的微分方程为试求系统的阶跃响应。解：由题可知：阶跃响应：2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中，,试求该系统的冲激响应。 题图2.8解：利用系统串联与系统并联的冲激响应求解2.9 设系统的微分方程表示为，求使完全响应为时的系统起始状态和，并确定常数。解：引入微分算子，则原微分方程可变换为：又由原微分方程知特征根为：所以：2.10 已知某连续系统的微分方程为 若系统的初

31、始条件和，输入信号，求系统的零输入响应，零状态响应和完全响应。（1）零输入响应满足方程其值方程特征根，故零输入响应将初始值代入上式及其导数，得由上式解得，所以（2）零状态响应是初始状态为零，且时，原微分方程的解，即满足方程即 及初始状态。先求和，由于上式等号右端含有，令积分(从到)得将、和代入微分方程可求得。对以上三式等号两端从到积分，并考虑到，可求得解上式，得，。对于,微分方程可写为不难求得其齐次解为，其特解为。于是有将初始值代入上式及其导数，得由上式可求得，所以系统的零状态响应为（3）全响应2.11已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为时，其全响应为 ；当激励为时，其全响应为 求

32、：(1)初始条件不变，当激励为 时的全响应，为大于零的实常数。 (2)初始条件增大1倍，当激励为时的全响应。解：系统的全响应是由零输入响应和零状态响应组成的，零输入响应与系统的状态呈线性关系，零状态响应与系统的输入呈线性时不变关系。设 （1）则根据零状态响应线性可得 （2）联立（1）、（2）得（1）初始条件不变，激励为 时，则（2）初始条件增大1倍，当激励为时2.12 求下列各函数和的卷积（1） 和 （2） 和 （3） 和 （4） 和 （5） 和 （6）,解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）当即时，当即时，故有2.13已知某线性时不变系统数学模型为且，试用卷积积分法求当输入激励为的零状态响

33、应。解：冲激响应满足不难求得其值分别为特征方程为其特征根，。故系统的冲激响应将初始条件，代入上式，得，所以，由此，故不含。零状态响应是冲激响应与激励的卷积积分，即2.14某LTI连续系统有A、B、C三部分组成，如题图2.14所示。已知子系统A的冲激响应 子系统B和C的阶跃响应分别为，系统输入试求系统的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。 题图2.14解：根据LTI系统的微分特性，可得所以系统的单位冲激响应根据LTI系统的积分特性，系统的阶跃响应零状态响应2.15已知某LTI连续系统的冲激响应，输入。 若以为初始观察时刻，试求系统的零输入响应和零状态响应，并画出波形。解：（1）由系统零输入响应的定义

34、可知在之前的激励为可知零输入响应为（2）由系统零输入响应的定义可知在开始的激励为可知零状态响应为2.16已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如题图2.16所示，求该系统对激励的零状态响应。题图2.16解：对激励和响应分别微分一次，得当激励为响应为即当激励为时的零状态响应为2.17 利用卷积的性质证明冲激响应与阶跃响应的关系是微积分的关系。证明：设冲激响应的傅立叶变换为 阶跃响应为 利用卷积定理可知阶跃响应傅理叶变换为由傅立叶变换的积分性质可知冲激响应与阶跃响应的关系是微积分的关系2.18解：（1）由对应 而令得可得（2）状态响应为 （3）由图可知系统的冲击响应为零状态响应 2.19解：首先求

35、方程的特征根，得因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，冲激响应为对上式求导，得将 以及上述三个等式带入原微分方程整理得得 解得 代入得阶跃响应2.20（1）解： （2）解：对有又则有2.21解：第3章 傅里叶变换与连续系统的频域分析3.1 学习要求（1）了解函数正交条件及完备正交函数集的概念；（2）能用傅里叶级数的定义、性质及周期信号的傅里叶变换，求解信号的频谱、频谱宽度，画频谱图，深刻理解周期信号频谱的特点；（3）能用傅里叶变换的定义、性质，求解非信号的频谱、频谱宽度，画频谱图，会对信号求正反傅里叶变换；（4）深刻理解周期信号的傅里叶变换及周期信号与非周期信号傅里叶变换的关系；（5）

36、深刻理解频域分析法的内涵，并掌握其求解系统的零状态响应的方法；（6）深刻理解系统的无失真传输的意义和条件；（7）掌握系统的物理可实现性。3.2 本章重点（1）傅里叶级数的定义、周期信号的频谱及性质；（2）傅里叶变换的定义、性质；（3）周期信号的傅里叶变换；（4）频域分析法分析系统；（5）系统的无失真传输；（6）理想低通滤波器；（7）系统的物理可实现性；3.3 本章的内容摘要3.3.1信号的正交分解两个矢量和正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：如果和为相互正交的单位矢量，则和就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量能满足。在二维矢量空间中的任一矢量

37、可以精确地用两个正交矢量和的线性组合来表示，有 式中，系数、分别为 仿照矢量正交的概念，可以定义函数正交的条件。若有一个定义在区间的实函数集，在该集合中所有的函数满足则称这个函数集为区间上的正交函数集。式中为常数，当时，称此函数集为归一化正交函数集。若实函数集是区间内的正交函数集，且除之外中不存在满足下式且则称函数集为完备正交函数集。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。若在区间上找到了一个完备正交函数集，那么，在此区间的信号可以精确地用它们的线性组合来表示各分量的标量系数为系数只与和有关，而且可以互相独立求取。3.3.2周期信号的傅里叶级数任一个满足狄利克雷条件的周期信号可展开傅里叶级数

38、。（1）三角形式的傅里叶级数式中，n为正整数；称为基波角频率。直流分量：余弦分量幅度： 正弦分量幅度：若将同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：这两种三角形式系数的关系为 在信号与系统中，定义：为直流信号，为基数，为基波，为n次谐波。各参数、以及都是（谐波序号）的函数，也可以说是（谐波频率）的函数。如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴绘出和等的变化关系，便可直观地看出各频率分量地相对大小和相位情况，这样的图分别称为信号的幅度频谱图和相位频谱图。周期信号的频谱只出现在0，等离散的频率点上，这样的频谱叫做离散谱。（2）指数形式的傅里叶级数复数频谱根据欧拉公式可以找到指

39、数形式傅里叶级数与三角形式傅里叶级数的关系（3）波形对称与谐波特性的关系对于偶函数，满足，即偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。复振幅是实数，其初相位为零或。对于奇函数，满足，即偶函数的傅里叶级数中不含余弦项和直流项，只可能包含余弦项。复振幅是虚数，其初相位为或。对于奇谐函数，满足，当为偶数时，；当为奇数时，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均

40、值定义为均方误差，即。式中，。研究表明，越大，越小，当时，。当选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形种出现的峰值起伏越靠近的不连续点。但是对任何有限的值，部分和所呈现的峰值的最大值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为吉布斯（Gibbs）现象。周期信号展开傅里叶级数，必须满足狄利克雷（Dirichlet）条件：条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件3:在一周期内，信号绝对可积，即（5）周期信号频谱的特点第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一

41、条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。第三：收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的增大而减小，当时，。3.3.3非周期信号的傅里叶变换（1）傅里叶变换定义傅里叶变换： 傅里叶逆变换： 一般为复函数，可写成，其中，为幅度频谱，为相位频谱。（2）典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期函数和常用函数的傅里叶变换如表3.1所示。表31 常用信号的傅里叶变换序号名称时间表示式傅里叶变换矩形脉冲信号单边指数信号，双边指数信号三角脉冲信号抽样脉冲信号钟形脉冲信号余弦脉冲信号升余弦脉冲信号符号

42、函数单位冲激函数1直流信号1单位阶跃函数冲激偶信号单位斜变信号3.3.4连续时间信号傅里叶变换的性质如表3.2所示。表3.2 傅里叶变换性质序号性质名称时域频域1线性性质2尺度变换特性，3奇偶虚实性为实函数，为虚函数4时移特性5频移特性6对偶性7时域微分特性8时域积分特性9频域微分特性10频域积分特性11时域卷积特性12频域卷积特性13帕塞瓦尔定理3.3.5周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱由无限多个冲激函数组成，各冲激函数位于周期信号的各次谐波处，且冲激强度为的倍，即其中， 还可以用下式求得：上式表明：周期信号的傅里叶级数的系数等于单脉冲信号的傅里叶变换在频率点的值乘以。所以可利用单脉冲的傅

43、里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。3.3.6 调制与解调调制的意义：第一，使调制后信号的波长与发射天线的长度匹配，从而便于信号的发射；第二，把不同的信号搬移到不同的频段，使其各自占据不同的频率从范围。幅度调制的过程：设载波信号为，调制信号为，二者的傅里叶变换分别为和。已调信号为，其频谱为这样，信号的频谱被搬移到载频附近。解调及解调的过程：由已调信号恢复原始信号的过程称为解调。选用与载波信号相同的本地载波信号与接收到的已调信号相乘，有，其频谱为利用一个低通滤波器可以取出。3.3.7线性时不变系统的频域分析法频域分析是在频域中求解系统的响应，它反映输入信号的频谱通过系统后，输出信号频谱

44、随频率变化的情况。（1）系统函数及意义对于一个线性时不变系统，零状态响应等于激励与系统单位冲激响应的卷积，即。根据卷积定理，有，其中，表征的是系统频域特性，称为系统频率响应函数，简称频响函数或系统函数，定义为 即系统函数是系统零状态响应的傅里叶变换与激励信号傅里叶变换之比。式中，是系统的幅（模）频特性，是系统的相频特性。为了书写方便，在以后的频域分析中，省略零状态响应符号的下标。工程实际中有相当广泛的线性时不变系统其输入输出关系可以由一个线性常系数微分方程表述 对上式两端同时求傅里叶变换，由时域微分性质，可得 可见，通过傅里叶变换，可以把常系数线性微分方程变成关于激励和响应的傅里叶变换的代数方程，从而使问题得以简化，于是得出系统的频率响应函数 上式表明，只与系统本身有关，而与激励无关。（2）系统的频域分析根据傅里叶逆变换的定义，由于任意信号可以表示为无穷多个基本信号的线性组合，因而应用线性叠加性质不难得出任意信号激励下系统的零状态响应。其推导过程如下：根据线性特性可得所以由此可得用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为：第一步，求激励信号的傅里叶变换；第二步，求系统的频率响应函数；第三步，求零状态响应的傅里叶变换；3.3.8 无失真传输（1）信号失真及其原因一类是线性失真，包括两方面。一是振幅失真：系统对信号中各频