2010高考数学二轮复习（10）三角恒等变换学案

1、三角恒等变换【学法导航】1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等2.对于三角变换公式务必要知道

2、其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如， 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。3.三角函数恒等变形的基本策。常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。项的分拆与角的配凑。如分拆项：;配凑角(常用角变换):、等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

3、4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos= coscos（-）- sinsin（-） ，1= sin2+cos2，=tan（450+300）等。【专题综合】例1. （05天津）已知，求及解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故由和式得，因此，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，解得，即由可得

4、由于，且，故a在第二象限于是，从而以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形例2. 已知为锐角的三个内角，两向量，若与是共线向量. （1）求的大小； （2）求函数取最大值时，的大小.解：（1）， （2）小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例3. 设关于x的方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解、.(1)求的取值范围; (2)求tan()的值. 解: (1)sinxcosx2(sinxcosx)2 sin

5、(x), 方程化为sin(x).方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解, sin(x)sin . 又sin(x)±1 (当等于和±1时仅有一解), |<1 . 且. 即|a|<2且a. a的取值范围是(2, )(, 2). (2) 、 是方程的相异解, sincosa0 . sincosa0 . 得(sin sin)( cos cos)0. 2sincos2sinsin0, 又sin0, tan.tan().小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2)这一条件.例4.中，已知内角，边.设内角,面积为.(1)若，求边的长；(2

6、)求的最大值. 解：（1）由正弦定理得： （2）的内角和 ， = ，当即时，取得最大值.小结：本题将三角函数、三角恒等变换与解三角形（正、余弦定理等）综合，考查学生灵活运用知识的能力例5.已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式任取，且，则不等式恒成立，即恒成立化简得由可知：，所以上式恒成立的条件为：.由于且当时，所以 ,从而 ,有 ,故 的取值范围为.【专题突破】一、选择题1若，则的值为（）2.=（ ）A. B. C. 2 D. 3.函数是（ ）A周期为的奇函数 B周期为的偶函数C周期为的奇函数 D周期为的偶函数4求值（ ）A B C D

7、5已知，则（ ）A B C D6函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D.7在ABC中，则ABC为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法判定8设，则大小关系（ ）A B C D9函数是（ ）A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数10已知，则的值为（ ）A B C D11、已知，且，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D12、已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、二、填空题13、已知，则 14、函数的最小值是 15、函数图像的对称中心是（写出通式） 16、关于函数，下列命题：、若存在，有时，成立；、在

8、区间上是单调递增；、函数的图像关于点成中心对称图像；、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题17.求证：18. 求值：19.已知函数 （1）若，求的值； （2）求函数在上最大值和最小值20. 已知图像上相邻的两个对称轴的距离是（1）求的值；（2）求函数上的最大值和最小值21. 设向量，若，求：（1）的值； （2）的值22. 设函数学（1）求函数的最小正周期；（2）若，是否存在实数m，使函数的值域恰为？若存在，请求 出m的取值；若不存在，请说明理由专题突破参考答案一、选择题1C 2 C 3C 4C 5.D ，6.D 7.C 为钝角8.D ，9.C ，为奇函数，10.B 11.D12.A二、填空题13、 14、15、 16、三、解答题17. 解：证明：左边=右边，原题得证18解：解：原式 19. 解：（1）由题意知： ，即，即 ， ，（2） ， 即 ，20. 解：（2分）（1）因为函数的图象上相邻的两个对称轴间的距离是所以函数的最小正