材料力学高教第二版范钦珊习题答案要点

1、习题6-1图150(a) (F)l(F)l解：(i)uC uA NAB2AB NBC2BC九d兀dEsEs材料力学高教第二版范钦珊第6章习题答案第6章杆件横截面的位移分析6- 1直径d = 36mm的钢杆ABC与铜杆CD在C处连接，杆受力如图所示。若不 考虑杆的自重，试：1.求C、D二截面的铅垂位移；Fl2.令FP1 = 0,设AC段长度为11,杆全长为1,杆的总伸长1 P?,写出E的 表达式。EA44 0 uD uC150 103 2000 100 103 30002物3622,947mm(FN)CDlCD：tdEc4LJ947,100 10 2500 4105 103 n 3625.286

2、mm(2)FP21H1H 11)1 1AC 1CD P21 P2EAEsAEcA1 1EEsEclEcEs令 1Ilk (1 )Es JI AOx IFPtj62承受自重和集中载荷作用的柱如图所示，其横截面积沿高度方向按Afx) AOc材料的比重。试作下列量的变化曲线：1.轴力FNx(x); 2.应力 X(X)； 3.位移 u(x)0 解：(1)0, (FN变化，其中为dl'N) A( )d IX 0FP dl-N A( )d AO c dFN(x)(a)FN(x) FP (FPcFPFP) FPcFPA0FPAOx(2) (x) FN(x) FPc I AQx IA(x)A0eFPF

3、P89 一AOx (3) du I'MMdx EA(x) ITcEAUcFP A0FPdx x FPdxEAOFPxFIF C,当 u|x 0。P,则心)P(1 x)q EA0EA0EA06 -3图示连接件由两片宽 20mm、厚6mm的铜片与一片同样宽厚的 钢片在B处连接而成。已知钢与铜的弹性模量分别为 Es = 200GPq Ec = 105GPa,钢片与铜片之间的摩擦忽略不计。试求 E和B处的位移。symr一 24k& ¥I "kNTSitieiiF习题6-3图I 12W “则口 .(a)(b) 3(1'N>M31AB12 10 0.3 1

4、03解：i出 uA 00.2857mm lx Ad 05 103 20 6 u(PN)BE1BE24 103 0.9 103 uE uB 0.2857 U86mmEs As200 103 20 66- 4长为1.2m、横截面面积为|L10_10_3n12_1铝制筒放置在固定刚块上，直 径为15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作 用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为kNEs = 200Gpa, Ea = 70GPa, FP = 60kN。试求钢杆上 C 处位移。Am EkN（a）习题6-4图（b）FP1AB 解：质 uB （其中 uA = 0） EaAa

5、LlB 60 103 12 10370 W3 LIU 10 3 lD6nn）35mnHFP1BC60 103 2J 10309354.50mm 钢杆 ul： uB EsAs城期 W 1546- 5变截面圆锥杆下端B处固定，上端A处承受外力偶矩T作用，如图所示，试证明A端扭转角表达式为7T1 A 12 咐4解：Mx=TBA 1OMxdx 兀4G2r(x)32 1044M31r x3 125irG 祖 1 HI。）U 01 习题 6-5图6- 6试比较图示二梁的受力、内力（弯矩）、变形和位移，总结从中所得到的结 论。（a）解：施ax (b) wmaxFPl3 48EIF1EI90 一两者弯矩相同，

6、挠曲线曲率相同，但（b）梁的最大挠度比（a）梁要大，即不相(a) (b)习题6-6图max(b) wmax vvmax(a-1) (b-1) M(a-2) (b-2)6- 7对于图a、b、c、d所示的坐标系，小挠度微分方程可写成 d2w/dx2M/E形式有以下四种。试判断哪一种是正确的。(A)图b和c；(B)图b和a；(C)图b和d;(D)图c和do正确答案是D。习题6-7图©6 8图示悬臂梁在BC二处承受大小相等、方向相反的一对力偶，其数值为 M0o试分析判断下列挠度曲线中哪一种是正确的。正确答案是D。此此0 J -余z | I j /I - 十 习题6-9图D1(A) (B) C

7、1A 1(a) (C) (D) fmaxd2wM(x)解：作 2 对应的弯矩图 EIdx而截面A:wA = 0, A 。AB和CD为直线挠曲线BC段为上凹的曲线(见图a 所示)。6 9图示简支梁承受一对大小相等、方向相反的力偶，其数值为M0o试分析判断四种挠度曲线中哪一种是正确的。正确答案是。一习题91 图6-9(A) (B) (C) (D)610图示外伸梁受集中力和集中力偶作用，挠度曲线有四种形状。试分析判断 其中哪一种是正确的。l习题6-10图(a) (b) (c) (d)2dwM(x)解：作2 对应的弯矩图。EIdxMd2w AB段0,即00,挠曲线为直线。EIdxMd2w 0,即2 0

8、,挠曲线为下凹的曲线。EIdx正确答案是611简支梁承受间断性分布载荷，如图所示。试用奇导函数写出其小挠度微分 方程，并确定其中点挠度。x习题6-11图15ql ql 122 3ql 解：采用左手系： MA 。，FREMt 孙.mr定初参数 E, wA wx 41 OBCD 段 3qlqqq4(41)3 (41 1)4 (41 21)4 (41 31)4 0E1 E(41) 3!4!4!4!T EI E _w(x) 21ql3 1621ql3qlqqql x x 0 3 xI 4 x 21 4 x 31 4J EH682424245ql4wC vvW TJ:k21(。3EI612具有中间钱的梁

9、受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并用奇异函 数表示其挠度曲线方程。d2M dx292 一习题6-12图解：(1)作弯矩图(a),确定d2wdx2图，画出挠曲线形状，由边界，中问钱和连续，以及 AB上凹，BD 下凹可画出图示挠曲线图(b)。(2)求支座反力：FRA = FP ( 0 , MA = FPl (顺)，FRC = 2FP ( 1)ab 段：(M)B 1 1P121P133 1P1(。| 1 El 2!3!3EIFPl3由连续条件：(wl)B (M)B ( T) 3EI由wl|x 1 (wl)C 0,定初参数同(1)BOF1FP13(El El( 1)B 1 P13； OE13E

10、13!1T12 EI( 1)B6AB段挠曲线方程(原点在点A) : wg) 1 1T121T3 (Jxl)EI 26FP13FP12 FF x Px3Pxi 36633 6 -3变截面悬臂梁受力如图所示。试用奇异函数写出其挠度方程，并说明积分常数如何确定(不作 具体运算)。MA 习题6-13图解：将阶梯梁化为等直截面梁(图 a) MA支反力FRA = FP ( T) , MA = 2FPl (逆)挠度方程，积分常数由固定端的挠度和转角均为零确定。21'PL21T31;PlhPll 23 w(x) 0 0 x x x 1 x 12E1 2!3!2!3!FF1F 1 FPIx2 Px3 P

11、 x 1 2 P x 1 3 2EI 626 IBD 段挠曲线方程(原点在点B) : wl(x) EI 6- 14、EI等为已知。(a)习题6-14图B)2)2(b-1) (b-1) (b-3) 3iw 03q(D qi (逆) 解：(i) 6EIEI12E1 14ql212qll3 1212 0()我)q( )7ql482222222EI3EI 2EI384EI Bbl ql)卬3EI16EI12EIql2(2l)q!4(ql)(21)25ql4212(4) wA (wA)l (wA)2 (wA )2ql3( 3)3( 03EI8EI16EI24EI615结构受力简图如图所示，D、E二处为刚

12、结点。各杆的弯曲刚度均为 EI, 且F、1、EI等均为已知。试用叠加法求加力点 C处的挠度和支承B处的转角， 并大致画出AB部分的挠度曲线形状。)Pw) (a) (b)(c)FP )(w) ()1 习题6-15图(f) (e) (d)解：(1) B的转角3C14C2D2FPl l 1P(21)1;P122(2) C处挠度(垂直位移)2w(T7vvC)l ( D)21HwE)3 任)4 1Fl (P)l333Fl(Fl)lF(2l)5Fl匚 1 p (J) PPI P(g)3EIEI48EI3EI3EI616由两根横截面均为a a正方形的所组成的简单结构，受力如图所示。已知 a =51mm。FP

13、 = 2.20kN, E = 200GPa试用叠加法求点 E的挠度。wI灿w)1E习题6-16图BFPwE)22.20 100( 4.4k 5004.4 103 (1200)32,81mm (wE)l 21VB 2 4(51)48 200 103 12 解：卜肘(wE)2 (2.2 103 10(H) 500卜1)433 哪 KorqwE (wE)l (avE)2 12.57mm100() 2.2 103 (10()0)3(51)433 200 1() 12 <Z76mm617结构简图如图所示，其中ABC为刚架，杆BC上承受均布载荷q, B处为 刚结点，各杆的弯曲刚度均为 EI, BD为

14、拉杆，拉压刚度为EAo q、1、EI、EA 等均为已知。用叠加法试求：1 .截面C的铅垂位移；2 .在什么情形下可以忽略拉杆变形对截面C铅垂位移的影响，什么情形下则不能。用解：1. MA 0, FRD 2 q!461(7 2)24EIAl)2当A121时，可忽略拉杆变形ql习题6-17图)(b) (c)618结构受力与支承如图所示，各杆具有相同的EI, B、C、D三处为刚结点F、1、EI等均为已知。用叠加法试求 E处的水平位移(略去轴力影响)。P 习题 6-18 图(a) (b)解：厂MA 0,得FRE = 0C3RE Fx 0,得 fra = fpAB杆没横力，所以该杆不弯曲，所以略去其轴力

15、变形并利用对称性。EI3E1 3EI6-19已知长度为l的等截面直梁的挠度方程 qOxvv(x)(3x4 1012x2 714)360回 95试求：1.梁的中间截面上的弯矩；2 .最大弯矩(绝对值)；3 .分布载荷的变化规律；4 .梁的支承状况。qx 解：典1012x2 714)360回(1)M(x) Eld2wq0x3q01xdx2 61 6q(l)3ql00l M(l()q22)61 6 0116 (2) FdMq0x2q0lQ(x) dx 21 6令 F = 0,q0221 qQ()I6 (),33lM M(3 31) q。|61(31)3 qOl61311 3q0l2max27(3)

16、q(x) dlQ qO dxlx ( J)最后得载荷，支座如图(a)。6- 20已知长度为l的等截面直梁的挠度方程为w(x) qOx4 狂 1(2x3 31x2 13)试求：1.梁内绝对值最大的弯矩和剪力值；2.端点x = 0和x = l处的支承状况。解：(1) |M(x) Eld2wq 13x23 dx2 LI0El(2x2 8x1)q0(2 8x1)FdM3Qfx) dx q0( 81)令F得3Q(x) 081M31323l39q0l2max M 网)8(切| 12H(F35Q)max FQx I q()(l Hl)卸(2) Mx 0 0, FQ|3x 0 8q01左端可动较支座。M|q2

17、015X 8FQ|x 1风1右端固定。6 21已知刚度为EI的简支梁的挠度方程为w(x) q0x(13 21x2 x324EI)据此推知的弯矩图有四种答案。试分析哪一种是正确的 正确答案是A。习题6-21图96 一习题6-19解图习题6-20解图(c)(d) (a)(b)6- 22具有微小初曲率的悬臂梁，如图所示，梁的 EI为已知。若欲使载荷FP沿 梁移动时，加力点始终保持相同的高度，试求梁预先应弯成怎样的曲线。(提示：可近似应用直梁的公式计算微弯梁的挠度。)FPx3解：当FP在x位置的挠度w(k) 3E!FPx3预先弯成曲线y y(x),使y(x) w(x)，则力FP始终能保持相同高度。3E

18、I习题6-22图6- 23重为W的直梁放置在水平刚性平面上，受力后未提起部分仍与平面密合， 梁的EI为已知。试求提起部分的长度 a。(提示：应用截面A处的变形条件。) w解：B处弯矩为零W12MB a qa 0 32W1W2a a。3212 a。，得 a 1 习题 6-23 图 3 6 24图示等截面直杆两端固定，承受轴向载荷。试分析下列轴力图中哪一个是正确的。正确答案是。解：由于对称1X2 (HP X) UIll JEAEA2X FP (拉)f 3作轴力图(利用对称)。P 2F F习题6-24图FP FP33 6- 25图示超静定结构中，若杆1、2的伸长量分别 为11和12,且AB为刚性梁，

19、则求解超静定问题的变形协调方程有下列四种 答案。试判断哪一种是正确的。(A) L Hsin 2 12疝；(B) Hsin212sin；|(C) 11 cos212cos；(D) 11 cos212cos。正确答案是解：由刚性梁uC = 0, uD = 097 习题6-25图1 杆：。vC sin(360) vD 11 (伸长)2杆：sin vC 0 vD 12 (缩短)刚梁：2vC D 0 整理vD 11 0 vC sinvC 0 vD 12 sin2v v 0D CI 二 IvC、vD非全零解应满足：I。sm I 口 在 12 0 | (a) 2 10 展开变形协调方程：Hsin 2 12s

20、in6- 26等截面直杆两端固定，无外力及初始应力作用。当温度升高时，关于杆内 任意横截面上任意点的正应力和正应变有如下论述，试判断哪一种是正确的。(A)0,0；0，L 0； (C)0,0；(D)匚 0，t 0。正确答案是习题6-26图 du解：各点的轴向位移u u u 。，0dx6- 27钢杆BE和CD具有相同的直径d = 16mm,二者均可在刚性杆 ABC中自由 滑动，且在端部都有螺距h = 2.5mm的单道螺纹，故可用螺母将两杆与刚性杆ABC连成一体。当螺母拧至使杆 ABC处于铅垂位置时，杆BE和CD中均未产生 应力。已知弹性模量E = 200GPa试求当螺母C再拧紧一圈时，杆CD横截面

21、上 的正应力以及刚体ABC上点C的位移。解：平衡方程 MA Q150N1 = 250N2 (1) h 11J2501502.5 12 11即2515FN-1_3000 _103_ 0.0746FN1物理方程I 11 九32 200 10 16 4F 103 20002UU 1U 164、（4）代入（2）4.97j1'1N1 1,淞FN2 10U 协调方程*73 10瑞4皿氏（拉）瑕 164ul h 12 2,5 0,0497 9Ts 21）16mm3（2）（3）习题6-27图（4） （5）联立（5）、（1）得 FN2 = 9.73kN （拉）、FN1 = 16.22kN （拉）CD 杆

22、正应力6- 28铜芯与铝壳组成的结构如图所示，轴向载荷通过两端刚性板加在结构上。 已知结构总长减少了 0.24mm。试求：1.所加轴向载荷的大小；2.铜芯横截面上的正应力。解：设铜芯与铝壳之间无内压0.24轴向应变 8 10 4300冗冗FP 8 10 4 105 103252 10 3 8 10 4 70 103 （602 252） 103 172JkN44铜芯应力 C 8 10 4 105 103 84Mp。98 一习题6-29图(a)习题6-28图6- 29由铝板和钢芯组成的组合柱上端承载、下端固定，如图所示。载荷 FP = 38kN通过刚性板沿着柱的中心线方向施加于其上。试确定钢芯与铝

23、板横截面上 的正应力。解：设钢芯正应力为s,铝板正应力a315厂厂(2DFT51kF 38 103200 (1)(2)L2M2巫1 丽D031解(1)、(2)得 厂 1727Ei、 a= 6.05MPa s a6- 30组合柱由钢和铸铁制成，其横截面面积宽为 2b、高为2b的正方形，钢和 铸铁各占一半(b 2b)o载荷fp通过刚性板加到组合柱上。已知钢和铸铁的弹 性模量分别为Es = 196GPq Ei = 98.0GP3今欲使刚性板保持水平位置，试求加 力点的位置x =?b3 解：M0 0, (b 2b s) (x ) (b 2b) i(b x)222x b i (D 3b 2x ssEs

24、面（2）於1 sl%2 （2）代入（1）得/x 2b 3b 2x习题6-30图5 ；x b66 31铜片AB固定在A端，静置于B端，并有重 W = 980N的重块压在B端 上。铜的Ec = 105GPa,20 10 6。假定铜片与支承B表面之间的摩擦因数为0.6。试求温度降低多少度（C）时，铜片开始滑动。解：|_ 0$ 习题 6-31 图 980 0,6 400世 W 20 3 | 姗 0,6 t 467 c 3105 10 20 3 2Q IQ 6 J6- 32图示结构中,杆 AC为铝材Aa = 200mm2, Ea = 70GPa26 10 61C,杆 DB 为不锈钢，As = 80mm2

25、, Es = 190GPa,18 10 61C。两杆间在室温20c下的间隙为0.5mm,然后升温达140Cc 试求铝杆横截面上的正应力以及铝杆的最终长度。解：平衡方程FNa = FNs协调方程us ua 0.5物理方程us 20 10 61 400FNs 250190 ioi 803 18 10 6 120 250 0.54 1.65 10 5FNs99 一uaFNa 3003370 ID 200代入 054 1.65 10岫 0536 214 10 5以 代FN25752N 25752I a 128,8MPa ,200 ID 6La 300(0936 2.14 1() 5 25752) 3(

26、)().3S5mm(a)习题6-32图EEJE6 33圆轴受扭如图所示，其扭矩图有四种答案。试判断哪一种是正确的。正确答案是解：过轴中点处，垂直轴线平面为轴的对称面，则受扭轴在该面反对称的扭矩必 为零。习题6-33图6- 34轴AB和CD在B处用法兰连接，在A、D二处为固定约束，受力及尺寸 如图所示，材料的G = 80GPa试求轴AB和CD中的最大切应力和最大拉应力。解：|MA MD I 0MA VID 4 W6N mm |MA 25UMD0o44G 60G 50323226 W 6 120 300 0536 2J4 10 5岫(1)(2)(2)代入(I) im iu 3MA=罚85Nn】32

27、22878.575.99MPaAB： 1呻皿X九36016(3)习题6-34图mju代入(i)MD 4 106 3222878.5 77712L5N mm 777121.5QT.66MPal九3匚。16 I6- 35试求图示梁的约束力，并画出剪力图和弯矩图。解：(a)变形协调方程cd： max max nI A ( A)1 (A)2 0 IX1M010 3EI6EI4MM08 9Mo 支反力 FRA FRB181剪力图、弯矩图见图a-1。Fq11(b) 1 B。：IMAI ()31 0300空 f250-T4(1)lMA2FRA3q 即 1 () 0E12!3!4!22192MA 641PRA

28、 qlwB-0：(2)5MA q12192联立(1)、(2)解得 一(3) 1' qlRA 32其剪力图、弯矩图见图(b-1)。MA(a-1)习题 6-35 图(a) FQ8l(a-3) (a-4)习题6-35图(b)M (b-1) (b-2)6- 36梁AB和BC在B处用钱链连接，A、C两端固定，两梁的弯曲刚度均为EI,受力及各部分尺寸均示于图中。FP = 40kN, q =20kN/m。试画出梁的剪力图和弯矩图。解：变形协调(wB)lO(a-2)8l (a-5)7M (a-6)2q 44FX 43(wBjl8EI3EIFP(22)FX 43(wB)2 0 上 2) 6B13B1FP 42q 443 代入l',X 4H368