2010年中考数学试卷 压轴题（共30题） 人教新课标版

1、2010年中考数学试卷 压轴题（共30题） 人教新课标版1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动） j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长； k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，

2、速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。xyO11OABCDEPyx图1解：（1）拋物线y= -x2+x+m2-3m+2经过原点，m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m¹1，m=2，拋物线的解析式为y= -x2+x，点B(2，n)在拋物线y= -x2+x上，n=4，B点的坐标为(2，4)。

3、（2）j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（3a，2a），由C点在拋物线上，得2a= -´(3a)2+´3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0（舍去），OP=。 k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一

4、条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。PQ=DP=4t，t+4t+2t=10，t=。 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。OQ=10-2t，F点在直线AB上，FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10，t=2。 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。t+2t=10，图4yxBOQ(P)N

5、CDMEFt=。综上，符合题意的t值分别为，2， 。xyOAM(C)B(E)DPQFN图3ExOABCyPMQNFD图22、（2010北京）问题：已知ABC中，ÐBAC=2ÐACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当ÐBAC=90°时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出ÐDAC=15°时，可进一步推出ÐDBC的度数为 ；可得到

6、08;DBC与ÐABC度数的比值为 ； (2) 当ÐBAC¹90°时，请你画出图形，研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。ACB解：(1) 相等；15°；1：3。(2) 猜想：ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。 证明：如图2，作ÐKCA=ÐBAC，过B点作BK/AC交CK于点K， 连结DK。ÐBAC¹90°，四边形ABKC是等腰梯形， CK=AB，DC=DA，ÐDCA=ÐDAC，

7、ÐKCA=ÐBAC，BACDK123456图2 ÐKCD=Ð3，KCDBAD，Ð2=Ð4，KD=BD， KD=BD=BA=KC。BK/AC，ÐACB=Ð6， ÐKCA=2ÐACB，Ð5=ÐACB，Ð5=Ð6，KC=KB， KD=BD=KB，ÐKBD=60°，ÐACB=Ð6=60°-Ð1， ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1， Ð1+(60

8、76;-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°，Ð2=2Ð1， ÐDBC与ÐABC度数的比值为1：3。3、（2010郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 第26题图（1）图（2）解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，4）（

9、2）当b0时，直线为，由解得， 所以B、C的坐标分别为（2，2），（2，2） ，所以（利用同底等高说明面积相等亦可）当时，仍有成立. 理由如下由，解得， 所以B、C的坐标分别为（，+b），（，+b），作轴，轴，垂足分别为F、G，则，而和是同底的两个三角形，所以. （3）存在这样的b.因为所以，所以，即E为BC的中点所以当OE=CE时，为直角三角形，因为所以 ，而所以，解得，所以当b4或2时，OBC为直角三角形. 4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

10、（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?解：解：由抛物线的对称性可知AM=BM在RtAOD和RtBMC中，OD=MC，AD=BC，AODBMCOA=MB=MA设菱形的边长为2m，在RtAOD中，解得m=1DC=2，OA=1，OB=3A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）设抛物线的解析式为y=（2）2+ 代入A点坐标可得=抛物线的解析式为y=（2）2+设抛物线的解析式为y=（一2）2+k，代入D（0，）可得k=5所以平移后的抛物线的解析式为y=（一2）2+5，平移了5一=4个单位 5、（2010长沙）已知：二次函数的

11、图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，b），其中且、为实数（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1x2 |的范围解：（1）一次函数过原点设一次函数的解析式为y=kx一次函数过（1，b） y=bx （2）y=ax2+bx2过（1，0）即a+b=2 由得 方程有两个不相等的实数根方程组有两组不同的解两函数有两个不同的交点 （3）两交点的横坐标x1、x2分别是方程的解 或由求根公式得出。 a>b>0，a+b=2 2>a>1令函数 在1<a<

12、;2时y随a增大而减小 6、（2010长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比BAPxCQOy第26题图解：（1）

13、CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8）（2）S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 （3）当OPQ与PAB和QPB相似时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90° 又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP ，解得：t4 经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是：设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物线的顶点是P当时，

14、当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 7、（2010常德）如图9，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EFAC交BC于F，连接CE，当的面积是面积的2倍时，求E点的坐标；（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.ABOC图9yx解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：解得：故所求二次函数的解析式为（2）SCEF=2

15、 SBEF, ，EF/AC，BEFBAC，得故E点的坐标为(,0).（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，2）若设直线的解析式为，则有解得： 故直线的解析式为若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（则有：即当时，线段取大值，此时点的坐标为（2，3）解法二：延长交轴于点，则要使线段最长，则只须的面积取大值时即可.设点坐标为（，则有： 即时，的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（2，3）8、（2010常德）如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是

16、否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.求证：AGCH;当AD=4，DG=时，求CH的长。ABCDEF图110GAD图11FEBCGADBCEFHM图12解：（1）成立四边形、四边形是正方形， . 90°-. .（2）类似（1）可得，12 又.BACDEFG12图12HPM 即 解法一: 过作于,由题意有，则1.而12，21.，即.在Rt中，,而, 即,.再连接，显然有，. 所求的长为.BACDEFG12图12HPM解法二：研究四边形ACDG的面积，过作于,由题意有，,. 而以CD为底边的三角

17、形CDG的高=PD=1，,4×1+4×4=×CH+4 ×1.=.9、（2010丹东）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时， DMN也随之整体移动） （1）如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图

18、形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由 图图图第25题图A·BCDEF···解：（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， （2）成立证明：法一：连结DE，DFABC是等边三角形， AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线DE=DF=EF，FDE=60°又MDF+FDN=60°， NDE+FDN=60°， MDF=NDE 在DMF和DNE中，DF=DE，DM=DN， MDF=NDE，DMFDNE NCABF

19、MDENCABFMDEMF=NE 法二：延长EN，则EN过点F ABC是等边三角形， AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点， EF=DF=BF BDM+MDF=60°， FDN+MDF=60°，BDM=FDN又DM=DN， ABM=DFN=60°，DBMDFNBM=FNBF=EF， MF=EN 法三：连结DF，NF ABC是等边三角形， AC=BC=AC又D，E，F是三边的中点， DF为三角形的中位线，DF=AC=AB=DB 又BDM+MDF=60°， NDF+MDF=60°， BDM=FDN 在DBM和DFN中，DF=DB，DM=DN，

20、BDM=NDF，DBMDFN B=DFN=60°又DEF是ABC各边中点所构成的三角形，DFE=60°可得点N在EF上，MF=EN （3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）10、（2010丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线

21、段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由第26题图OMNHACEFDB8(6，4)xy解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0）（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4），则抛物线关系式为将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入

22、关系式，得，解得，所求抛物线关系式为：（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA （ 04） 当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG11、（2010德化）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的

23、速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；图2BCOADEMyxPN·图1BCO(A)DEMyx 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：（1）（2）点P不在直线ME上；依题意可知：P（,），N（，）当0t3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：=+=+=抛物线的开口方向：向下，当=，且0t3时，=当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得，=

24、3综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值 12、（2010德州）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值xyOABCPQMN第23

25、题图解：（1）二次函数的图象经过点C(0，-3)，c =-3将点A(3，0)，B(2，-3)代入得解得：a=1，b=-2配方得：，所以对称轴为x=1 (2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t点B，点C的纵坐标相等，BCOA过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB即QE=AD=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFP

26、MGQMF=MG点M为FG的中点，S=，=由=S=又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0<t20 当t=20秒时，面积S有最小值313、（2010东阳）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：（1）C的坐标为 ；COABDNMPxyRH（2）当t为何值时，ANO与DMR相似？（3）HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。解：（1）（，）；

27、（2）当MDR45时，2,点（2，0）当DRM45时，3,点（3，0）（3）（）；（1分）（）当时，当时，当时， 14、（2010恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

28、解：（1）将B、C两点的坐标代入得解得：所以二次函数的表达式为： （2）存在点P，使四边形POPC为菱形设P点坐标为（x，），PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PCPO连结PP 则PECO于E，OE=EC= 解得=，=（不合题意，舍去）P点的坐标为（，）（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC的解析式为，则Q点的坐标为（x，x3）.=当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积 15、（2010广安）如图，直线y = -x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A(-1, 0)、B(3, -4)（1）求抛物线的解析式

29、；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由解：（1）由题知，解得a=1, b= -3 ，抛物线解析式为y=x2-3x-4 （2）设点P坐标(m, -m-1)，则E点坐标(m, m2-3m-4)线段PE的长度为：-m-1- (m2-3m-4)= -m2+2m+3 = -(m-1)2+4由二次函数性质知当m=1时，函数有最大值4，所以线段PE长度的最大值为4。 （3）由（2）知P(1, -2)过P作PC的垂线与

30、x轴交于F，与抛物线交于Q， 设AC与y轴交于G，则G(0, -1)，OG=1，又可知A(-1, 0) 则OA=1，OAG是等腰直角三角形，OAG=45oPAF是等腰直角三角形，由对称性知F(3, 0)设直线PF的解析式为y=k1x+b1，则，解之得k1=1, b1= -3，直线PF为y=x-3由解得 Q1(2+, -1) Q2(2-, -1)过点C作PC的垂线与x轴交于H，与抛物线交点为Q，由HAC=45o，知ACH是等腰直角三角形，由对称性知H坐标为(7, 0)，设直线CH的解析式为y=k2x+b2，则，解之得k2=1, b2= -7，直线CH的解析式为y=x-7解方程组得 当Q(3, -

31、4)时，Q与C重合，PQC不存在，所以Q点坐标为(1, -6)综上所述在抛物线上存在点Q1(2+, -1)、Q2(2-, -1)、Q3(1, -6)使得PCQ是以PC为直角边的直角三角形。16、（2010广州）如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DEAB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点C（1）求弦AB的长；（2）判断ACB是否为定值，若是，求出ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC的面积为S，若4，求ABC的周长.CPDOBAE解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有

32、OA1FCPDOBAEHG弦AB垂直平分线段OP，OFOP，AFBF在RtOAF中，AF，AB2AF（2）ACB是定值.理由：由（1）易知，AOB120°，因为点D为ABC的内心，所以，连结AD、BD，则CAB2DAE，CBA2DBA，因为DAEDBAAOB60°，所以CABCBA120°，所以ACB60°；（3）记ABC的周长为l，取AC，BC与D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DGDHDE，DGAC，DHBC.ABDEBCDHACDG(ABBCAC) DElDE4，4，l8DE.CG，CH是D的切线，GCDACB30°，在Rt

33、CGD中，CGDE，CHCGDE又由切线长定理可知AGAE，BHBE，lABBCAC22DE8DE，解得DE，ABC的周长为17、（2010广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO解：（1）由题意得B（3，1）若直线经过点

34、A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图25-a，图1 此时E（2b，0）SOE·CO×2b×1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2图2此时E（3，），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)×1×(52b)·()×3()（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校

35、金杨建老师草制！图3由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN，DH1，HE2，设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股定理知：，S四边形DNEMNE·DH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为18、（2010桂林）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为

36、边向左侧作等边DEF，设DEF与BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）C（4，），的取值范围是：04 （2）D点的坐标是（，），E的坐标是（，）DE=-= 等边DEF的DE边上的高为： 当点F在BO边上时：=，=3 当0<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- S= 当34时，重叠部分为等边三角形S= = （3）存在，P（，0） 说明：FO，F

37、P，OP4以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，=2（12-3），=，P（，0） 19、（2010杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标； (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时. 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.（第24题）解：(1) OABC是平行四边形，ABOC，且AB = OC = 4，A，B

38、在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴， A，B的横坐标分别是2和 2， 代入y =+1得， A(2, 2 )，B( 2，2)，M (0，2)， (2) 过点Q作QH x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = xt ，由HQPOMC，得：, 即： t = x 2y , Q(x,y) 在y = +1上， t = + x 2，当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = 4，解得x = 1±，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. 分两种情况讨论： 1）当CM &

39、gt; PQ时，则点P在线段OC上， CMPQ，CM = 2PQ ，点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，t = + 0 2 = 2 2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，CMPQ，CM = PQ，点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±.当x = 时，得t = 2 = 8 , ，当x =时， 得t =8. 20、（2010红河州）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A

40、开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0t6）s.（1）求OAB的度数.（2）以OB为直径的O与AB交于点M，当t为何值时，PM与O相切？（3）写出PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.解：（1）在RtAOB中：tanOAB=，OAB=30°（2）如图10，连接OP，OM. 当PM与O相切时，有PM O=PO O=90°， PM OPO O由（1）知OBA=

41、60°OM= OBOBM是等边三角形B OM=60°可得O OP=M OP=60°OP= O O·tanO OP =6×tan60°=又OP=tt=，t=3即：t=3时，PM与O相切.（3）如图9，过点Q作QEx于点E BAO=30°，AQ=4t， QE=AQ=2t AE=AQ·cosOAB=4t×OE=OA-AE=-t Q点的坐标为（-t，2t） SPQR= SOAB -SOPR -SAPQ -SBRQ = = = （） 当t=3时，SPQR最小= （4）分三种情况：如图11.当AP=AQ1=4t时，O

42、P+AP=t+4t=t=或化简为t=-18当PQ2=AQ2=4t时， 过Q2点作Q2Dx轴于点D，PA=2AD=2A Q2·cosA=t，即t+t =，t=2当PA=PQ3时，过点P作PHAB于点H AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3tAQ3=2AH=36-6t，得36-6t=4t，t=3.6 综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，APQ是等腰三角形.21、（2010黄冈）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以

43、PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.解：（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时，PM与PN不可能相等.22、（2010济南）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E求A、B、C三个点的坐标点P为线段AB上的一个动点（与点A、点

44、B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN求证：AN=BM在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.DCMNOABPlyEx解：令，解得：，A(1，0)，B(3，0)=，抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入，得y=2，C（1，2）. 在RtACE中，tanCAE=，CAE=60º，由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，AC=BC，ABC为等边三角形， AB= BC =AC = 4，ABC=ACB= 60º，又AM=AP，B

45、N=BP，BN = CM， ABNBCM， AN=BM. 四边形AMNB的面积有最小值 设AP=m，四边形AMNB的面积为S，由可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，SABC=×42=，CM=BN= BP=4m，CN=m， 过M作MFBC,垂足为F，则MF=MCsin60º=，SCMN=，S=SABCSCMN=（）= m=2时，S取得最小值3. 23、（2010济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，

46、请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为. (2) 答：与相交.证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 24、（2010晋江）已知：如图，把矩形放置于

47、直角坐标系中，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.(1)试直接写出点的坐标；AOxBCMy(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.若以、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.AOxDBCMyEPTQ解：(1)依题意得：； (2) ，. 抛物线经过原点，设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点 解得：抛物线的解析式为.点在抛物线上，设点.1)若，则， ，解得：(舍去)或，点.2)若，则， ，解得：(舍去)或，点.存在点，使得的值最大.抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.

48、，点、点关于直线对称，要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当、三点在同一直线上时，的值最大. 设过、两点的直线解析式为， 解得：直线的解析式为.当时，.存在一点使得最大. 25、（2010）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.(1) 填空：度；(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；(3)若，以点为圆心，以5为半径作与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.ABC备用图(1)ABC备用图(2)解：(1)60；(2)与都是等边三角形，.(3)当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知，则，作于点，则，连结，则.在中，则.在中，由勾股定理得：，则当点在线段的延长线上时，与都是等边三角形，同理可得：.当点在线段的延长线上时，与都是等边三角形，.同理可得：，综上，的长是6. 26、（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若此