28.1第3课时特殊角的三角函数值

1、28. 1 锐角三角函数 第 3 课时特殊角的三角函数 1经历探索 30、45 60。角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义； （重 点） 2. 能够进行 30、45 60。角的三角函数值的计算；（重点） 3. 能够结合 30、45 60。的三角函数值解决简单实际问题. （难点） 一、情境导入 问题 1: 一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题 2:两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为 1, 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 二、合作探究 探究点一：特殊角的三角函数值 【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 (1)

2、(1) 2cos60 sin30 .6sin45 sin60 sin30 二 sin45 (2)(2) cos60 cos45 . 解析：将特殊角的三角函数值代入求解. 解：（1）原式=2X 1 1X 1 1 .；6%严=1 1 3 3 = 1 ； 2 2 w 2 2 2 2 1 工 2 2 （2）原式=2 2 2 2 3. 尹亍 方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值. 变式训练： 见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 4 题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围 B 若 cos a = 则锐角a的大致范围是( ) 3 A. 0 V aV 30 B. 30 V aV 4

3、5 C. 45 V aV 60 D . 0 V aV 30 解析：/ COS30 =2, cos45=22, cos60=2，且 TV3 v,Acos60 cosaV cos45, 2 2 2 2 3 2 锐角a的范围是 45 VaV 60 故选 C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性.和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 0. 【类型三】 根据三角函数值求角度 EJ 若，3tan( a+ 10 )= 1，则锐角a的度数是( ) A. 20 B. 30 C. 40 D . 50 解析：T 3tan( a+ 10 )= 1,.tan(a+ 10)-3. tan3

4、O33,.a+ 10 =30 a= 20 . 故选 A. 方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键. 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 9 题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用 【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长 EJ 如图，在 ABC 中，/ ABC = 90, Z A= 30 , D 是边 AB 上一点，/ BDC = 45 AD = 4，求 BC 的长. 解析：由题意可知 BCD 为等腰直角三角形，则 BD = BC,在 RtABC 中，利用锐角三 角函数的定义求出 BC 的长即可. 解：/B = 90, Z BDC = 45 , . BCD 为等腰直角三

5、角形， .BD = BC.在 Rt ABC 中，tanZ A= tan30= BC,即迸二=半，解得 BC = 2速 + 1). 方法总结：在直角三角形中求线段的长， 如果有特殊角， 可考虑利用三角函数的定义列 出式子，求出三角函数值，进而求出答案. 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题 【类型二】 判断三角形的形状 解析：根据非负性的性质求出 tanA 及 sinB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出 Z A 及Z B 的度数，进而可得出结论. 解：/ (1 tanA)2+ |sinB于|= 0,. tanA= 1, sinB =于，Z A = 45 ,Z B= 60 ,

6、Z C = 180 45 60 = 75 ABC 是锐角三角形. 方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数， 当几个数或式的绝对值或偶次方相加已知 ABC 中的Z A 与Z B 满足(1 tanA)2+ |sinB 3 2= 0,试判断 ABC 的形状. 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 【类型三】 构造三角函数模型解决问题 解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出 CD 的长，进而得出 tan 15, BC 方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有 15和 75。的直角三角形，再根据三 角函数的定义求出 15 和 75 的三角函数值. 变式训练：见学练优本课时练习“课

7、后巩固提升”第 2 题 三、板书设计 1.特殊角的三角函数值： 30 45 60 sin a 1 亚 迟 2 2 2 COS a 込 2 曇 2 2 tan a 込 3 1 2.应用特殊角的三角函数值解决问题. 要求 tan30 的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算作 Rt ABC，使/ C =90 ,斜边 AB = 2,直角边 AC = 1,那么 BC= ；3, / ABC = 30, / tan30 3在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究 tan15与 tan75的值. AC= 1 3 tan75 BC =CD 求出即可. 解：作/ B 的平分线交 AC 于点 D ,作 DE 丄 AB,垂足为 E.v v BD 平分/ ABC, CD 丄 BC, DE 丄 AB , CD = DE.设 CD = x,贝 U AD = 1 x, 中,DE2+ AE2= AD2, x2+ (2 3)2= (1 x)2，解得 ._o ._o BC _ V V3 3 _ 2 2丄広 tan75 _ _ _ 2 2+ ,3. CDCD 2 乂 3 3 A