初中数学辅助线添加技巧：角平分线(共18页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上初中数学辅助线添加技巧：角平分线方法总结与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型已知P是平分线上一点，（1）若于点A，可以过P点作于点B，则可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”（2）若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造OPBOPA，可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对折以后关系现”（3）若于点P，可以延长AP交ON于点B，构造AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”（4）若过P点作交OM于点Q，可以构造POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”典例

2、精析例1如图，在ABC中，AD平分，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm（2）如图，已知，求证：AP平分解：（1）2（提示：作交AB于点H）（2）证明：过点P分别作于M，于点N，于点Q，AP平分例2如图1，RtABC中，垂足为DAF平分，交CD于点F（1）求证：（2）将图（1）中ACD沿AB向右平移到的位置，使点E'落在BC边上，其它条件不变，如图2所示试猜想，与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论解：（1）证明：，AF平分，（2）解：证明：过点E作于点G又AF平分，由平移的性质可知：，于D，在RtCEG与Rt中，CEG由（1）可知，点拨：以上两例使用了辅助线方

3、法（1），“可向两边作垂线”，其中例2还可以过点F作AB的垂线例3读下面的材料：如图1所示，OP平分，A为OM上一点，C为OP上一点连接AC，在射线ON上截取OB=OA，连接BC，如图2所示，易证AOCBOC 根据以上材料，解答下列问题：（1）如图3所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由（2）如图4所示，AD是ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小并说明理由解：（1）证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接PEAD是BAC的外角平分线，在ACP和AEP中，ACPAEP，在BPE中，

4、（2）证明：在AC上取一点E，使，连接PEAD平分，APEAPB，在EPC中，即，点拨：本例使用了辅助线方法（2），“对称以后关系现”例4如图，已知等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为点E，求证：BD=2CE解：证法一：延长BA交CE延长线于点F，BCFBFE又，FCADBA，证法二：过点D作交AB于H过点H作，垂足为点F，HF是BD的垂直平分线又，RtBFHRtCED，即证法三：作的平分线CF，交AB于点F过点D作于点H，连接FD，BD平分，CF平分，BFCCDB，DH是CF的垂直平分线， 又，DC为公共边，DCEDCH，即证法四：作BD

5、的垂直平分线GH，交BC于H，连接DH，则，从而，即又，即RtCEDRtBGH，即证法五：作BC的中线AM，则，AM平分，取CD的中点F，连接MF、ME，则ME是RtBCE斜边上的中线，又，即AMFMEC ，即，所以点拨：本题是一个一题多解题，其中方法一体现了角平分线+垂线构造等腰三角形由于作辅助线的方法不同，此题还有其它解法，可以自行研究例5 （1）如图1，和分别是的外角平分线，过点A作，垂足分别为D、E求证：（1） ；（2） ；（2）如图2，BD、CE分别是的内角平分线，其它条件不变；（3）如图3，BD为的内角平分线，CE为的外角平分线，其它条件不变则在图2、图3两种情况下，DE与BC还平

6、行吗？它与的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明解：（1）证明：分别延长AD，AE交直线BC于点F 、G，同理：DE是中位线，（2）DE与BC平行；证明：延长AE交BC于点M，延长AD交BC于点N，由（1）同理可得，E是AM中点，D是AN中点，（3）DE与BC平行；，辅助线作法如下，证法同（2）点拨：本例常见辅助线方法（3），角平分线+垂线构造等腰三角形举一反三：1在中，的平分线交BC于点D，过点B作于点E，求证：例6如图1，BD、CD分别平分问：（1）图1中有几个等腰三角形？（2）过D点，如图2，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图

7、3，若将题中改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？写出EF与BE、CF有什么关系？（4）如图4，BD平分，CD平分外角交AB于点E，交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由（5）如图5BD、CE为外角、的平分线，交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？解：（1）图1中有两个等腰三角形：、（2）图2中又增加三个等腰三角形：、（3）图3中有两个等腰三角形：、由于，所以（4）图4中有两个等腰三角形：、证明：BD平分，（5），证法与同（3）点拨：本题利用的是角平分线+垂线，等腰三角形必呈现例7如图，已知中，AD平分，求证：解：证法一

8、：过点D作于点E，又，为等腰直角三角形，证法二：延长AC到点E，使，连接ED，又，点拨：线段之间的关系通常有以下几种提问方式：（1）若问两条线段之间的关系时，一般要回答数量关系和位置关系；（2）若问线段之间的数量关系时，一般情况下要写等量关系，或是和差倍分关系；（3）若问线段之间的大小关系时，必须填大（等）于或小（等）于；当所求线段关系为和差倍分关系时，一般情况我们作辅助线的方法是截长补短举一反三1如图，中，平分交于点求证：2如图，中，平分，求证：例8如图(1)所示，OP是MON的平行线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)

9、 如图(2)，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系(2)如图(3)，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其他条件均不变，请问，你在(1)中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由解：图略(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD (2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立证法一：如图，在AC上截取AG=AE，连接FG 因为1=2，AF为公共边，可证AEFAGF所以AFE=AFG，FE=FG 由B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，可

10、得2+3=60°所以AFE=CFD=AFG=60°所以CFG=60° 由3=4及FC为公共边，可得CFGCFD所以FG=FD所以FE=FD证法二：如图，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H 因为B=60°，且AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，所以可得2+3=60°，F是ABC的内心所以GEF=60°+1，FG=FH又因为HDF=B+1，所以GEF=HDF因此可证EGFDHF所以FE=FD点拨：本题的辅助线，作垂直和对称皆可当我们证明两条线段相等时，可以用以下方法：（1）两条线段共端点且共线时，证明公共端点是中点或在这条线段

11、的垂直平分线上；（2）两条线段共端点但不共线时，证明底角相等；（3）两条线段既不共端点又不共线时，可通过找到中间等量代换一下或者放到两个三角形当中，直接证明三角形全等，如果不存在这样的三角形，那么就需要你去构造三角形跟踪训练1（1）如图1，在ABC中，ABC与ACB的角平分线相交于点F，过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为 （2）如图2，在ABC中，BD、CE分别平分ABC与ACB，DEAB，FDAC，如果BC=6，求DEF的周长2如图，BAD=CAD，AB>AC，CDAC于点D，H是BC中点，求证：3如图，四边形ABCD中，求证：AC平分4如图，的外角的平分线CP与内角的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若，求的度数5如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分，求证：6在平行四边形ABCD中，BAD的平分线直线BC于点E，交直线DC于