数列求和专题

1、*教育五环教学案日期：授课人：学生：科目：数学今日格言：柏拉图说： 数学是一切知识中的最高形式”课题数列求和专题教 学 目 标高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题.知 识 点 及 重 难 点 梳 理1.数列求和的方法技巧(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后

2、再合并.(2)错位相减法这是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中an, bn分别是等差数列和等比数列.(3)倒序相加法这是在推导等差数列前 n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列 (反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩卜制限项的和.这种 1 一一 ，1111万法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中an若为等差数列，则.anan + 1anan+1 d an an + 1常见的

3、拆项公式：小1 1 -Jn n+ 1 n n+ 1=1x( 一),n n+ k k，n n+ k;, 1=11_12n 1 2n+12(2n 1 2n+1)' . 1 j= 1h/nTk一诉).+y/nTk k考点训练分组转化求和法第一列第二列第三列A行3210第二行6414第三行9818列an中，a1, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2, a3中的任何两个数不在下表(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn=an+(1)nln an,求数列bn的前n项和Sn.在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数

4、列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并升-个公式.设数列an满足ai = 2, a2+a4=8,且对任意nCN*,函数一、，,、，神 L ,，兀Cf(x)= (anan+1 + 3n+2)x+ an+lCOS Xan+2Sin x 满足 f 20.(1)求数列an的通项公式；.1(2)若bn = 2 an+襦，求数列bn的前n项和Sn.考点二错位相减求和法例2设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2, a2n=2an+1.(1)求

5、数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 502+bn=1 去 nCN*,求bn的前 n 项和 Tn.错位相减法求数列的前 n项和是一类重要方法.在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.设数列an满足 ai = 2, an+i an= 3 22n 1(1)求数列an的通项公式；(2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.考点三裂项相消求和法均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sn= a2+i 4n 1, n C N*,且 (1)证明：a2= Wai + 5;(2)求数列an的通项公式;证明：对一切正整数n，

6、有ai+at+-+U;<2-设各项a2, a5, ai4构成等比数列.数列求和白方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解.(2)已知数列前n项和Sn或者前n项和Sn与通项公式an的关系式，求通项通常利用Si n = 1an=.已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜后证法” “化归法” “累力口 (乘)法”等.Sn-Sn 1 n>2:fx已知、G,2 ,43(x>0)成等差数列.又数列an(an>0)中,ai=3,此数列的前n项和为Sn,对于所有大于1的正

7、整数n都有Sn=f(Sn-1).(1)求数列an的第n+1项；(2)若旧是二，的等比中项，且 Tn为bn的前n项和，求Tn.规律总塔一;1 .数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键.若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：Si n= 1(1)an =Sn-Sn 1 n>2(2)递推关系形如an+1- an= f(n),常用累加法求通项.an + 1， 一 一一. (3)递推关系形如 =f(n),常用累乘法求通项. an(4)递推关系形如 “an+1 = pan+q(p、q是常数，且pw1, qw。)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定 系数

8、法.可设an+1 +p(an+ N,经过比较，求得 N则数列an+是一个等比数列.(5)递推关系形如 “an+1 = pan+qn(q, p为常数，且pw1, qw。)”的数列求通项，此类型可以将关系式两 边同除以qn转化为类型(4),或同除以pn+1转为用迭加法求解.2 .数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解.(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和.(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解.提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+1项中白前n项，哪些项构成等比数列

9、，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.3 .数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力.其中，建立数列模型是解决这类问题的核心， 在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是， 通过归纳得到结论，再用数列知识求解.押题精练1 .在一个数列中，如果？ nC N*,都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么称这个数列为等积数列，称 k为这个数 列的公积.已知数列an是等积数列，且 a1=1, a2 = 2,公积为8,则a + a2+a3+ a2=.2 .秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感.*某医院近30天每天入院治疗甲流

10、的人数依次构成数列an,已知 a=1, a2=2, 且 an+2an= 1 + ( 1)n(n C N*),则该医院 30 天入院治疗甲流的人数为3.已知公差大于零的等差数列 an的前n项和Sn,且满足：a2a4=65, ai + as = 18.(1)若1<i<21, ai, a, a2i是某等比数列的连续三项，求 i的值；(2)设bn 2n+1 s，否存在 个取小的常数m使信b+b2+ bn<m对于任忌的正思 维 拓 展一、填空题1111 一 1 .已知数列12, 34, 58, 716，则具刖n项和Sn =.2 .在等差数列an中，a1 = -2 013,其前n项和为S

11、n,若S： S；2,则S2 013的值等于.3 , 对于数列an, a=4, an+1=f(an), n=1,2,，则 a2 013=.x12345f(x)543124.设an是以2为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，记 Mn=ab1+ab2+ + abn,则数列Mn中不超过2 013的项的个数为 . Si S2S15 ,5. 在等差数列an中，其前n项和是Sn,右Si5>0, Si6<0,则在一，一，中取大的. ai a2ai5111i6. 数列an满足 ai=1,且对任息的 m, nC N 都有 am+n= am+ an+ mn,则一+ +=ai

12、a2 a3a2 012n2n为奇数， 口7. 已知函数 f(n)=_且 an = f(n) + f(n+1),则 ai +a2+a3+ a2 012=.一n2 n为偶数，8. 数列an中，已知对任意 nCN , a+a2+a3+ an=3n1,则 a2+a2+a3+ a2=. 一一、一 . .1 .9. 已知数列an满足3an+i+an= 4(n> 1)且ai = 9,其刖n项之和为 Sn,则满足不等式|Snn 6|不众的取小125整数n是.二、解答题10. 已知等差数列an满足：a5=9, a2+a6= 14.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn= an+ qan(q>0),求数列bn的前 n 项和 Sn.11. 将函数f(x) = sin ；x sin ；仅+2兀) 2x+3兀在区间(0, + 00)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列 an(nC N*).(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2nan,数列bn的前n项和为Tn,求Tn的表达式.3,12.已知首项