5.逻辑代数基本公式与化简(数字系)ppt课件

1、1回顾：回顾：1、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的表示方法逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图2、三种常用表示方法之间的转换、三种常用表示方法之间的转换（1）由真值表求逻辑函数式）由真值表求逻辑函数式（2）由逻辑函数式列出真值表）由逻辑函数式列出真值表（4）由逻辑图写出逻辑函数式）由逻辑图写出逻辑函数式（3）由逻辑函数式画出逻辑图）由逻辑函数式画出逻辑图2回顾：回顾：3、最小项的概念、最小项的概念最小项和的形式最小项和的形式积之和（积之和（“与与或或”表达式）表达式）最小项：设最小项：设 m 为包含为包含 n 个因子的乘积项，且这个因子的乘

2、积项，且这 n 个个因子以原变量形式或者反变量形式在因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出中出现且只出现一次，称现一次，称 m 为为 n 变量的一个最小项。变量的一个最小项。n变量共有变量共有2n个最小项。个最小项。最小项的编号规则：把最小项最小项的编号规则：把最小项 m 值为值为1 的输入变量的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号，记作项的编号，记作mi 。 3回顾：回顾：4、最小项的其性质、最小项的其性质最小项的性质：最小项的性质： a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最

3、小项值为个最小项值为1； b) 任意两个最小项之积为任意两个最小项之积为0； c) 全体最小项之和为全体最小项之和为1； d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。并为一项，并消去一个不同因子。41.5 逻辑代数的公式和运算规则逻辑代数的公式和运算规则二、逻辑代数的运算规律二、逻辑代数的运算规律一、逻辑代数的基本运算规则一、逻辑代数的基本运算规则5逻辑代数基本公式序号公 式序号公 式规 律1A 0=010A+0=A01律2A 1=A11A+1=101律31=0; 0=1（公理）12A=A还原律4A A= A13A+A=A重叠律5A

4、 A=014A+A=1互补律6A B=B A15A+B=B+A交换律7A （B C） = （A B） C16A+（B+C）=（A+B）+C结合律8A （B+C）=A B + A C17A+（BC） =（A+B) (A+C)分配律9A B=A+B18A+B=AB反演律德摩根（De. Morgan）定理6序号公 式规 律19A+A B=A吸收律20A+A B=A+B吸收律21A B+A B=A22A（A+B）= A23AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+AC吸收律24A AB=A B；A AB=A逻辑代数常用公式7一、一、 逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则数字电路要研

5、究的是电路的输入输出之间的数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的，相应的研究工具是研究工具是逻辑代数（布尔代数）逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（值（二值变量二值变量），即），即0和和1，中间值没有意义。，中间值没有意义。0和和1表示两个对立的逻辑状态。表示两个对立的逻辑状态。例如：电位的低高（例如：电位的低高（0表示低电位，表示低电位，1表示表示高电位）、开关的开合等。高电位）、开关的开合等。8基本运算规则基本运算规则加运算规则加运算规则:0+0=0

6、 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1乘运算规则乘运算规则:00=0 01=0 10=0 11=1非运算规则非运算规则:1001 AA 0,1,00 AAAAAAAA1, 11,0 AAAAAAAA9三个基本定理（三个基本定理（P.27） 在任何一个含有变量在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。的位置，该等式仍然成立。2. 反演定理反演定理 在一个逻辑式在一个逻辑式Y中中,若将其中所有的若将其中所有的“+”变成变成“”，“”变成变成“+”，“0”变成变成“1”，“1”变成变成“0”，原变，原变量变成反

7、变量，反变量变成原变量，所得函数式即为量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：原函数式的反逻辑式，记作：Y 。1. 代入定理代入定理3. 对偶定理对偶定理 在一个逻辑式在一个逻辑式Y中中,若将其中所有的若将其中所有的“+”变成变成“”，“”变成变成“+”，“0”变成变成“1”，“1”变成变成“0”，所得，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：函数式即为原函数式的对偶式，记作：Y。若两个函若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。数式相等，那么它们的对偶式也相等。 10二、逻辑代数的运算规律二、逻辑代数的运算规律1、交换律、交换律2、结合律、结合律3、分配律、分配

8、律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代数普通代数不适用不适用!11求证求证: （分配律第（分配律第2条）条） A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:右边右边 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 结合律结合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 结合律结合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左边左边124、吸收规则、吸收规则（1）原变量的吸收：）原变量的吸收： A+AB

9、=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：CDAB)FE(DABCDAB 被吸收被吸收吸收是指吸收多余（吸收是指吸收多余（冗余冗余）项，多余（）项，多余（冗余冗余）因子被取消、去掉因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。长中含短长中含短留下短。留下短。13（2）反变量的吸收：）反变量的吸收：BABAA 证明：证明：BAABABAA BA)AA(BA 例如：例如：被吸收被吸收长中含反，长中含反，去掉反。去掉反。A ABC DCA BC DC14（3）混合变量的吸收：）混合变量的吸收：CAABBCCAAB 证明：证

10、明：BC)AA(CAABBCCAAB CAABBCAABCCAAB 例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB 1吸收吸收正反相对，正反相对，余全完。余全完。155、反演定理、反演定理BABABABA ABAB0001111010110110010111110000BA ABBA 可以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：德德 摩根摩根 (De Morgan)定理：定理：16反演定理内容：反演定理内容：将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 + 变量与常数均取反变量与常数均取反2.运算顺序：先括号运算顺序：先括号 再乘法再乘法 后加法。后加法。3.不是一个变量上

11、的反号不动。不是一个变量上的反号不动。注意注意:用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：F1.变换时，原函数运算的先后顺序不变变换时，原函数运算的先后顺序不变17例例1：与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号DBDACBCAF 11FA BC D1FA BC D1FA B (C D)求求F1 1的反。的反。解：解：反演定理的证明及其应用反演定理的证明及其应用18例例2：求求F2 2的反。的反。2FABC CD()解：解：2FABC CD()2FABCCD()2FABACCD2FABACD2FACD19例例3：3FA BC D求求F1 1的反。的

12、反。解：解：3FA BC D3FA() ()BC D3FABCD() ()3FABCD() ()3FACADBCBD20)(EDCBA )(EDCBA 例例4：EDCBAF2 EDCBAF 2与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动EDCBAF 2EDACABAF 2解：解：求求F2 2的反。的反。211.6 逻辑函数的公式法化简逻辑函数的公式法化简n 其他其他表达式如下：表达式如下：与非与非- -与非式：与非式：CABAF 或或- -与非式：与非式：)(CABAF或非或非- -或式：或式：DCBAF或非或非- -或非式：或非式：CABAF与或非式：与或非式：CDABF与非与非- -与式：

13、与式：CAABF一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可有多种不同的形式：一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可有多种不同的形式：221.6 逻辑函数的公式法化简逻辑函数的公式法化简问：为何要对逻辑函数进行化简？问：为何要对逻辑函数进行化简？答：逻辑式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，答：逻辑式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，有利于用较少的逻辑门电路来实现这个逻辑函数，有利于用较少的逻辑门电路来实现这个逻辑函数，既能节省电子元器件，可靠性又高。既能节省电子元器件，可靠性又高。23例例1：ABAC)BC(A)BCB(AABCBA)CC(ABCBAABCCABCBAF 反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1

14、提出提出A最简与或式最简与或式乘积项的乘积项的项数最少。项数最少。每个乘积项中每个乘积项中变量个数最少。变量个数最少。1.6 逻辑函数的公式法化简逻辑函数的公式法化简24例例2：CBBCBAABF )(CBBCBAAB ）（反演反演CBAABCCCBAAB )()(配项配项CBBCAABCCBACBAAB 被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB )(CBCAAB 25结论：结论：异或门可以用异或门可以用4个个 与非门实现。与非门实现。例例3: 证明证明BABBAABABABAY BABBAA 右右边边; 摩根定律摩根定律BABBAA )BA(B)BA(A BBABBAAA 0ABBA0 ABBA 右右边边 AA; ; 展开展开BABA; 26异或门可以用异或门可以用4个与非门实现：个与非门实现：&A