阻尼受迫振动振动合成——大连理工大学ppt课件

1、 一根长为L的无伸缩得细线,上端固定,下端悬挂一个很小的重物(其线度L,可视为质点),质量为m,将重物略加移动后,重物就在竖直平面内来回摆动,这种装置称为单摆。OO平衡位置平衡位置单摆右偏时单摆右偏时为正，左偏为正，左偏为负。为负。重力产生的回复力矩：重力产生的回复力矩： M=M=mgsinlmgsinl“”：力矩方向与角位移：力矩方向与角位移方向方向相反。相反。有转动定律：有转动定律： （ ） 可见，单摆的振动不是谐振动。可见，单摆的振动不是谐振动。 2mlJMsinsin2mlmgl二、单摆 0pmgcosmgsinl当当很小很小 （），则），则sinsin。lgdtd22 令令22lgl

2、g那么那么可见可见, ,当单摆的摆角很小时当单摆的摆角很小时, ,其其与与成正比而方向相反成正比而方向相反, ,具有简具有简谐振动的特征。谐振动的特征。上式写为：上式写为：0222dtdcos)(0tlgAt05三三 复摆复摆( (又称物理摆又称物理摆) )物体形状不规则物体形状不规则光滑转轴悬挂点光滑转轴悬挂点当当L与竖直线与竖直线OO成成角时角时,重力对重力对转轴的力矩转轴的力矩:sinmglM22dtdjJsinJmgl不是谐振动当小角度摆动时当小角度摆动时,sin0,sin002222JmgldtdJmgldtdoloc)cos1 (l势能零点势能零点（质心）（质心）方程的解为:mgl

3、JTJmgltJmglAt22cos)(0由初始条件决由初始条件决定定 弹簧振子因受到空气的阻力作用振幅随时间不断减小的振动叫阻尼振动或减幅振动。 设物体受到的阻尼力和物体的速度成正比而方向相反，即设物体受到的阻尼力和物体的速度成正比而方向相反，即xxrfr为阻尼系数，由实验测定物体受到的回复力物体受到的回复力F=mg-kx =kb-kx =-k(x-b) =-k物体受到的力就是回复力和阻尼力的合力：22dtdmdtdrk4.3 阻尼振动 fxboP令令mrmk2 ,20那么那么022022dtddtd阻尼阻尼因子因子振动系统的固有频率方程的解：方程的解：1.当阻尼较小当阻尼较小,即即0时时,

4、方程方程(1)的解为的解为(欠阻尼振动欠阻尼振动):(1)cos()(0tAett (2)其中其中:220(阻尼振动系统圆频率阻尼振动系统圆频率)0(系统固有频率系统固有频率)A、为积分常数、为积分常数,由初始条件决定由初始条件决定0式式(2)中包含了两项因子中包含了两项因子:tAeA( (阻尼振幅阻尼振幅) ) t = 0 时 , , t = , 另外另外, , 衰减也与衰减也与 有关有关: :tAeA 如果想减少阻尼如果想减少阻尼, ,= r/2m= r/2m当当r r一定时一定时, m, m表示振动是以表示振动是以为圆频率做周期性的变化为圆频率做周期性的变化)cos(0tAA0ATotA

5、etAeA)2(22 0220TTT阻周期(1)(1)振幅被限制在曲线振幅被限制在曲线A A 内内,t,t时时,=0,=0,振动消失振动消失. .te( (不是简谐振动不是简谐振动) )(2)(2)准周期振动准周期振动: :每一次振动不每一次振动不 能完全重复。能完全重复。（3阻尼不大时：可近似看作谐振动。阻尼不大时：可近似看作谐振动。2. 当阻尼较大，即当阻尼较大，即0 时：过阻尼状态时：过阻尼状态方程方程1的解为：的解为：ttBeAet)202()202()(A、B是由起始条件确定的常数。是由起始条件确定的常数。等式右边两项都随等式右边两项都随t增加而衰减。后一项比增加而衰减。后一项比前一

6、项衰减的快些。系统并不发生振动。前一项衰减的快些。系统并不发生振动。00t)(t)(b00,时的阻尼振动时的阻尼振动o（3 3当当 时：临界阻尼状态时：临界阻尼状态 方程方程1解为：解为：teBAtt)()(A，B由初始条由初始条件确定的常数件确定的常数（也不发生振动）（也不发生振动）例如例如 一单摆的摆球在一粘滞性很大的油中运动例蓖麻油），一单摆的摆球在一粘滞性很大的油中运动例蓖麻油），小球只会逐渐回到平衡位置，而不会摆到另一边去，当它回到小球只会逐渐回到平衡位置，而不会摆到另一边去，当它回到平衡位置时，所具有的能量都已消耗在阻尼上了。平衡位置时，所具有的能量都已消耗在阻尼上了。 如果阻尼刚

7、好大到使摆球不能振动的程度，称临界阻尼。如果阻尼刚好大到使摆球不能振动的程度，称临界阻尼。 超过这个程度：过阻尼。超过这个程度：过阻尼。 阻尼的应用：避振器避振器在机器上采用一系列的阻尼装置，使在机器上采用一系列的阻尼装置，使 振动迅速衰减。振动迅速衰减。 还有，阻尼天平，灵敏电流计装上阻尼装置节省时还有，阻尼天平，灵敏电流计装上阻尼装置节省时间，便于测量。间，便于测量。0 4.4 受迫振动、共振一、受迫振动一、受迫振动 受迫振动: 振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动。设外力设外力物体受的力：回复力，物体受的力：回复力，阻尼力，简谐外力。阻尼力，简谐外力。动力学方程为：动力学方程为：t

8、Fdtdrkdtdmcos022令mFfmrmk0020,2, 上式写成上式写成:tfdtddtdcos202022二阶常系数非二阶常系数非齐次线性微分齐次线性微分方程方程与阻尼振动方程相比与阻尼振动方程相比, ,多了一个非齐多了一个非齐次项次项f 0cost f 0cost tCOSFF0外力的圆频率外力的圆频率外力最大值，称力幅外力最大值，称力幅方程1的通解为：)cos()()(tAtt其中，其中，t）：齐次方程的通解，它也是阻尼振动方程的）：齐次方程的通解，它也是阻尼振动方程的通解。通解。阻尼振动其解有三种形式：欠阻尼、过阻尼、临界阻尼。这三种形式的解都是这三种形式的解都是tt振幅振幅

9、最后可认为最后可认为A0A0。非非齐齐次次方方程程的的特特解解 )cos( tA稳定状态下受迫振动的表达式为：稳定状态下受迫振动的表达式为：)cos()(tAt简谐振动简谐振动具有简谐振动的形式，周期性外力维持系统作等具有简谐振动的形式，周期性外力维持系统作等幅振动。幅振动。与前边讲过的简谐振动表达式的差别与前边讲过的简谐振动表达式的差别,受迫振动表达式中受迫振动表达式中: 不是系统固有频率不是系统固有频率,是强迫外力的频率是强迫外力的频率 A、不是由初始条件确定的。不是由初始条件确定的。222200)2()(fAA与与 f0、0(系统固有频率系统固有频率)、有关有关2202: arctg受迫

10、振动的初相角受迫振动的初相角与、0、有关稳态时振子的速度稳态时振子的速度:)2cos()sin(tAtAdtdv受迫振动的振幅受迫振动的振幅（3）令令)cos()cos(2tvtAvm其中其中,速度振幅速度振幅:2222020)2()(1fmAv速度的相角比外力的相角落后速度的相角比外力的相角落后,确定确定:21)()(20221222220tgctgtgtgtg温馨)cos()cos(2tvtAvm0 max02vfvm 当当 时，时，（5）（6）二二 共振共振共振共振: 外力的频率外力的频率等于振子的固有频率时等于振子的固有频率时,速度振速度振幅达到最大值的现象。幅达到最大值的现象。由由6

11、式可知式可知,当当 时时, 。共振时共振时,速度和外力同周相地随速度和外力同周相地随t变化，变化， 受迫振动的一个周期内受迫振动的一个周期内,外外力的方向与物体运动即力的方向与物体运动即 方向一致方向一致, 外界供给系统能量最多。外界供给系统能量最多。受迫振动能量也达到最大值。受迫振动能量也达到最大值。2222212121mmvAmKAE速度振幅速度振幅 也达到最大值也达到最大值-发生共振发生共振 在工程问题中，常把位移振幅达到极大值的现象叫共振。在工程问题中，常把位移振幅达到极大值的现象叫共振。为求为求 Amax,令令 0ddA求得：求得：Avm00v（受迫振动的一个重要特点：受迫振动的一个

12、重要特点：A与与密切相关）密切相关）2202r共振圆频率共振圆频率把把r代入振幅表达式，得共振振幅代入振幅表达式，得共振振幅004202022202220200244)22()2(maxfffAAArr速度振幅极大值为：速度振幅极大值为：200maxfAvvrr由7式可见越小，r越接近0由8式可知越小，Ar越大（7）（8）在一定条件下在一定条件下, 振幅出现振幅出现 极大值极大值, 振动振动剧烈的现象。剧烈的现象。(1)共振频率共振频率 :2202 r(2)共振振幅共振振幅 :假设假设 00 那么那么 称尖锐共振称尖锐共振1. 位移共振位移共振22002fAr0r)2/(00fAr当当时，时，

13、Ar这时的振动现象叫锐共振。这时的振动现象叫锐共振。共振时，共振时，r0 2.速度共振速度共振一定条件下一定条件下, 速度振幅速度振幅 A 极大的现象。极大的现象。 速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。能量最大。00vr在有强迫力作用时：在有强迫力作用时：（要（要A应使应使0（要（要A 应使应使远离远离0 （当0时，应使或，以达到加强振动或减小振动的目的。三共振现象应用举例三共振现象应用举例例如：用来测定某系统的固有频率收音机调谐）例如：用来测定某系统的固有频率收音机调谐）又例如害

14、处）又例如害处）5 简谐振动的合成简谐振动的合成一一. 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动 : 2.合振动合振动 : x = x1+ x2合振动是简谐振动合振动是简谐振动, ,其频率仍为其频率仍为)cos(222tAx)cos(111tAx)cos(tAx22112211012212221coscossinsin)cos(2AAAAtgAAAAA3.两种特殊情况两种特殊情况 (1)若两分振动同相若两分振动同相 (k=0,1,2 ) (2)若两分振动反相若两分振动反相 (k=0,1,2 )如如 那么那么 A=0那么那么两分振动相互加强两分振动相互加强那么那么

15、两分振动相互减弱两分振动相互减弱二二. 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成1. 分振动分振动k212,21AAA) 12(12k,21AAA,21AA tAx11costAx22cos 2.合振动合振动合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动当当 2 1时时 2- 1 2+ 1其中其中随缓变随缓变随快变随快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动21xxxt )2cos(12ttAxcos)(tAtA)2cos(2)(12)2cos(cos12tttAx)2)cos(2123. 拍拍 拍频拍频: :单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 n n =|n n2-n n1|合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象x1x2xy2y1y三三. 垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成1. 分振动分振动2. 合运动合运动(1) 合运动一般是在合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范围内的一个椭圆范围内的一个椭圆(2) 椭圆的性质椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) 在在 A1 、A2确定之后确定之后, 主要决定于主要决定于D D = 2- 1)cos()cos(2211tAytAx)(sin)