数学教学应重点关注的若干过程

1、数学教学应重点关注的若干过程山东沂南教育局（276399） 李树臣【山东教育2014第9期】义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称课标2011年版）在“教学建议”中指出“数学教学应引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。”由此可见，学生进行进行数学活动是提高其数学能力的根本条件。在教学中究竟应关注哪些数学活动过程？笔者经过长时间的思考与探索认为，这些活动过程至少包括以下几个：一、概念的建立过程数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思

2、维形式，是数学知识的核心，是数学思想方法的载体，是分析、判断、归纳与推理的重要依据，从这个意义上讲“数学在本质上是玩概念的，不是玩技巧的”。数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的。因此，在概念教学中，我们应把重点放在概念的概括过程上。数学概念的获得有两种基本形式：一种是从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，这种获得概念的方式称为概念形成；另一种是向学生展示定义，利用原有认知结构中的有关知识理解新概念，这种方式称为概念同化。概念形成主要依赖的是对具体事物的抽象概括，而概念同化主要依赖的是学生对经验的概括和新旧知识的联系，

3、无论哪种方式都与学生的“活动”密切相关。对于一些抽象数学概念的教学，要关注它的实际背景与形成过程，充分把概念形成的全过程展现给学生。这样可帮助学生理解概念的来龙去脉，在经历它形成的过程中加深对概念的理解，这种“过程化”的教学能使学生的记忆深刻、理解到位、应用灵活。案例1：“二元一次方程”概念的建立过程。在“二元一次方程”概念的建立过程中，笔者是分三步进行的：第一步，创设问题情境：雄伟的长城是中华民族的象征。据有关资料，长城西起嘉峪关，东至辽东虎山，全长约7300千米，其中西段从嘉峪关到山海关，东段从山海关到辽东虎山，西段比东段长约6100千米。长城的东、西段各长约多少千米？第二步，提出以下四个

4、小问题引导学生进行思考与探索：（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？（2）有哪些等量关系？（3）你能列一元一次方程来解这个问题吗？（4）在这个问题中有两个未知数。如果分别设长城东段的长为x千米，西段的长为y千米，那么长城的全长可以用含有未知数x，y的代数式表示为 ；西段比东段长 。学生在思考第（4）个问题的同时，很容易得到下面的两个方程：x+y=7300；y-x=6100。第三步，引导学生观察上面两个方程有什么特点？并相互交流自己的看法。教师对它们的共同特点进行概括描述。在学生回答的基础上，组织他们交流，直至概况出它们的本质特点含有两个未知数，并且每个未知数的次数都是1。这是适时的给出二元一次

5、方程的定义。学生在思考、回答、交流以上问题的同时，就经历了“二元一次方程”的建立过程，还能认识到二元一次方程这个概念是在解决实际问题的过程中产生的。这样设计有利于帮助学生形成“数学来源于生活又服务于生活”的意识。二、定理或性质的探索发现过程对于定理、性质、运算律、公式等知识的学习，应从学生已有的认知发展水平和已有的经验出发，遵循“由特殊到一般”的规律，结合具体的学习内容，精心设计一系列的问题，引导学生围绕这些问题进行实验、观察、分析、综合、计算、推理、判断等数学活动，在活动的过程中自主发现知识，从而得到有关的结论。案例2：勾股定理的发现过程。勾股定理不仅有着广泛的应用，还导致了无理数的产生，勾

6、股定理及无理数的发现都是人类文化遗产中宝贵的一部分。对于这个定理，我们可以用下面的问题引导学生进行实验探究：（1）用硬纸板剪8个图1所示的同样大小的直角三角形，设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c；（2）如图2和3所示，在白纸上画出两个边长均为（a+b）的正方形；（3）如图2所示，将已经剪出的4个直角三角形，摆放在第一个正方形内；（4）如图3所示，将另外的4个直角三角形，摆放在第二个正方形内。ABCabc图1ababaabbc图3abab图2观察图2与图3中三个小正方形，的面积之间有什么关系？同学们都能得到下面的结论：a2+b2=c2。这个结论就是通常所说的勾股定理。显然，这个定理是同学

7、们通过实验操作自己发现的。而且在探索的过程中，还受到数形结合思想的熏陶，获得了数学活动的经验。其逆定理也可以通过实验操作由学生自己发现。学习数学的最好方法是做数学。因为学生在经历有关数学活动过程的同时，不仅能发现有关的数学知识，从中领悟到这些知识的形成过程，增强学习的主动性，而且还能发展其合情推理能力和初步的演绎推理能力，有条理地、清晰地阐述自己的观点。三、展现解题思维的过程有些老师在解题教学中往往按照“成熟”的思路进行，不注意引导学生经历观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题的完整过程，删掉了从问题到结论和方法之间的探索过程。这样的教学掩盖、湮没了数学发现、数学创造、数学真实应用的思维

8、活动过程。导致“学生只知其然，不知其所以然。”正如学生所反映的那样，我们的老师“列方程总是胸有成竹，添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，一做就错(或不会)”。长此以往，学生学到的只能是死的数学知识，他们不能用数学思想和方法去观察、发现、分析、猜想数学结论，不能真正理解和领悟解题的实质，学习效率低下。为促进学生数学思维能力的发展，培养其探索、发现、创新等能力，在解题教学中，应把重点放在引导学生对解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程上。因为思考过程本身在很大程度上，就体现了这个数学问题当初被发现的过程。解题教学中要注意使学生独立思考，标新立异，学会怎样分析

9、、怎样判断、怎样推理、怎样发现、怎样解决问题。对于这些问题，教师不仅要按思考成熟的方法讲解，还要把自己猜测的心理活动坦率地告诉学生，这样做必将有利于学生的想象能力、直觉思维能力的培养和灵感的产生。关于解题思维的展现过程，笔者认为，按波里亚的“解题表”进行是非常行之有效的，具体说来，可分为以下四个步骤：（1）弄清问题我们拿到一个问题，应首先弄清它的条件和结论。所谓弄清条件，是指罗列明显条件；挖掘条件；弄清条件的等价说法；把条件作适合解题需要的转换。所谓弄清结论，是指罗列解题目标；分析多目标之间的层次关系；弄清目标的等价说法；追求目标成立的充分条件。然后弄清它的结构，判明题型。案例3：设AD是AB

10、C的一条中线，BC=a，AC=b，AB=c。acbABDFC图4求证：AD2=（b2+c2）a2。弄清问题：对照图4，明确它是证明题。已知的条件是：ABC是任意三角形，AD是BC边上的中线，BC=a，AC=b，AB=c。目标是证明BC边上的中线AD和三条边之间存在下面的关系：AD2=（b2+c2）a2。（2）探索解法，拟订计划在搞清楚问题之后，我们必须弄清已知条件和结论之间的联系，从而探索解题途径，这是整个解题过程的中心环节。为了得到问题的解法，应该制定一个计划。上例的计划是：目标的特点非常突出，是中线和三边的平方之间的关系。哪些知识与边的平方有联系呢？这就想到了勾股定理。要使用勾股定理，只要

11、作辅助线AFBC，出现直角三角形就可以了。在RtABF和RtADF中，由勾股定理得c2-（a+DF）2=AD2DF2 （1）同理在RtACF和RtADF中有b2-（a-DF）2=AD2-DF2 （2）根据以上分析，拟订解题计划如下：做辅助线AFBC；建立关系式（1）和（2）；消去DF，整理成目标的形式。（3）整理叙述，实行计划探索到解法之后，要认真的加以整理，用确切的数学语言将解题过程表述出来。在表述的过程中要求层次分明，条理清楚，文字精炼，格式规范，合乎逻辑，并仔细检查每一步骤。实行计划时分两种情况：当ABAC时，不妨设ABAC。作AFBC，交BC于F。在RtABF和RtADF中，由勾股定理

12、得：AF2=AB2BF2=c2-（a+DF）2，AF2=AD2DF2，c2-（a+DF）2=AD2DF2。同理在RtACF和RtADF中，可得b2-（a-DF）2=AD2DF2，消去DF，整理得AD2=（b2+c2）-a2。当AB=AC时，ADBC，在RtABD中，AD2=AB2BD2。即AD2=c2-（a）2=（b2+c2）-a2。（4）回顾，检查验算这是解题的最后一个环节，检查验算主要是看结果是否正确，推理是否合乎逻辑，步骤是否完整，以便及时查缺补漏，纠正错误。回顾上例：因为是证明题，所以只需保证推理的正确性就行了，从推理的每一步看，依据都充分，从讨论上看，未遗漏情况，所以证明是正确的。教

13、师在解题教学中，应把重点放在引导学生探索解法上，在探索到解法后，再鼓励学生相互讨论、交流等活动。长期坚持这样的训练，学生的解题能力必将得到极大的提高。千万不要直接讲解，否则，就会出现“学生学的快，忘得更快”的现象。四、综合实践活动的过程“综合与实践”反映了数学课程与教学改革的要求，也向学生提供了一种实践性、探索性和研究性学习的课程渠道。它沟通了生活中的数学与课堂上的数学的联系，使学生在学习过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法成为可能。它是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。它具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性等特点。是帮助学生积累数学活动经验、培养应用意识与创新意识

14、的重要途径。针对问题情境，学生综合运用所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学内容的理解。所以说，有针对性的开展综合与实践活动有益于提高学生的综合能力。案例4：蜘蛛怎样爬最近。有一个正方体硬纸盒，其棱长为a，一只蜘蛛在点A1处发现顶点C处有一只苍蝇（如图5），向急速抓住它，可是蜘蛛只能在立体表面行走。（1）蜘蛛从A1到C有无数条线路，它应如何走才是最短路线？（2）如果沿此路线走，需要走的路程是多少？（3）如果这是一个长方体纸盒，棱长分别为a、b、c且abc，情况又如何

15、？图5A1C图6A1CA1析解：（1）蜘蛛从正方体的顶点A1到顶点C有无数条线路，而最短的路线应把正方体沿某条棱展开后，从A1到C的最短距离。（2）由图6可知，最短距离为：。（3）蜘蛛从长方体的顶点A1到顶点C有无数条线路，而最短的路线应把长方体沿某条棱展开后，从A1到C的最短距离。长方体展开的方法有三种情况：如图7，把侧面A1D1DA沿棱AD展开，是它与面ABCD重合，此时，最短距离应该是长方形A1BCD1的对角线A1C的长，A1B=a+b，BC=b，所以A1C2=(a+c)2+b2=a2+b2+c2+2ac。如图8，把侧面A1B1BA沿棱AB展开，是它与面ABCD重合，此时，最短距离应该是

16、长方形A1B1CD的对角线A1C的长，所以A1C2=(b+c)2+a2=a2+b2+c2+2bc。如图9，把侧面A1B1BA沿棱BB1展开，是它与面B1C1CB重合，此时，最短距离应该是长方形A1BCD1的对角线A1C的长，所以A1C2=(a+b)2+c2=a2+b2+c2+2ab。图7A1B1C1CBA1AD1D图8A1B1C1CBA1ADB1图9A1B1C1CBAADA1要判断的大小，只要比较ac、bc、ab三个数的大小即可。因为ab，所以acbc，又因为bc，所以abacbc因此，图8所示的展开方法中的距离最短。类似这样的问题来自于课本知识与现实生活的结合，对于培养学生发现问题、提出问题

17、、分析问题、解决问题的能力有积极的教育教学价值。进行综合实践活动的教学，既是对教师教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创造精神和实践能力的重要途径。通过实践活动，能引发学生学习数学的兴趣，培养学生在开放性的环境中搜集和整理数据的能力；能让学生在实践活动中学会沟通与合作，锻炼其表达、交流等社交能力，促进他们全面发展。五、建立数学模型的过程仔细研究课标2011年版规定的课程内容可以发现，其中的绝大部分内容本身就是一个数学模型。例如，正、负数是表示“具有相反意义的量”的数学模型；有理数的加法法则是借助于数轴模型探索得到的；分式是表示两个整式相除的数学模型；方程及不等式都是在已知数和未知数之间建立的

18、一个数学模型；函数是表示两个集合之间对应关系的一个数学模型；三角形全等是描述图形重合的数学模型；相似形则是表示形状相同的数学模型；400个同学的学校里一定有两个同学是同一天出生的数学模型叫做抽贴原理；转盘游戏的评判与设计的关键就是建立概率模型；测量不可到达的两点之间的距离，就是通过建立数学模型解决实际问题的典型例子。从这个意义上来说，数学教学实际上就是教给学生前人构建的一个一个的数学模型，逐步形成数学模型思想的过程。课标2011年版指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”模型思想是在数学建模的过程中逐渐形成的，因此，数学教学要结合具体的内容充分体现“问题情境建立模型

19、求解验证”的过程。案例5：通话费用知多少？打国内长途电话，可以拨普通电话，也可以拨电话，某市的计费标准是：计费标准市话接入IP长途电话0.03元/分前3分0.22元/次以后每分钟计费一次0.11元普通长途电话0.07元/6秒不收费问题：小亮给北京的叔叔打长途电话，小莹给上海的阿姨打普通长途忙乱。虽然小亮比小莹多打了1分钟，但是小亮的通话费却比小莹少了2.60元。小亮和小莹的通话时间各是多少分？【说明】这个问题就是考查学生通过建立数学方程组模型解答实际问题的能力。为降低难度，我们可以设计下面两个小问题引导学生建立模型：1、如果你打的是IP长途电话：你打了4分钟应付通话费 元；如果你打了x分钟，你

20、应付通话费 元；2、如果你打的是普通长途电话：你打1分钟，应付通话费 元，如果你打了y分钟又应付通话费 元。学生在解答以上两个问题的基础上很容易建立模型：设小亮和小莹的通话时间分别为x分和y分，那么小亮的通话费是0.30x+0.22+0.11（x-3）=0.41x-0.11（元），小莹的通话费是0.07×60y/6=0.7y（元），根据题意，得（后面的解答省略）。数学建模教学本身是一个不断探索、创新、完善和提高的过程，我们广大的教师应不断研究新情况、新问题，努力帮助学生理解并掌握以下几种重要的数学模型：（1）方程（组）模型；（2）不等式（组）模型；（3）函数模型；（4）几何模型（或三角模型）；（5）统计模型；（6）概率模型等。学生在用上述模型解答实际问题的过程中，能体验到数学与日常生活及其它学科的联系，感受到数学的实用价值，增强数学