NOIP2004解题报告

1、NOIP2004解题报告津津的储蓄计划 <问题描述>     津津的零花钱一直都是自己管理。每个月的月初妈妈给津津300元钱，津津会预算这个月的花销，并且总能做到实际花销和预算的相同。     为了让津津学习如何储蓄，妈妈提出，津津可以随时把整百的钱存在她那里，到了年末她会加上20%还给津津。因此津津制定了一个储蓄计划：每个月的月初，在得到妈妈给的零花钱后，如果她预计到这个月的月末手中还会有多于100元或恰好100元，她就会把整百的钱存在妈妈那里，剩余的钱留在自己手中。   

2、0; 例如11月初津津手中还有83元，妈妈给了津津300元。津津预计11月的花销是180元，那么她就会在妈妈那里存200元，自己留下183元。到了11月月末，津津手中会剩下3元钱。     津津发现这个储蓄计划的主要风险是，存在妈妈那里的钱在年末之前不能取出。有可能在某个月的月初，津津手中的钱加上这个月妈妈给的钱，不够这个月的原定预算。如果出现这种情况，津津将不得不在这个月省吃俭用，压缩预算。     现在请你根据2004年1月到12月每个月津津的预算，判断会不会出现这种情况。如果不会，计算到2004年年

3、末，妈妈将津津平常存的钱加上20还给津津之后，津津手中会有多少钱。 - 输入文件    输入文件save.in包括12行数据，每行包含一个小于350的非负整数，分别表示1月到12月津津的预算。 - 输出文件    输出文件save.out包括一行，这一行只包含一个整数。如果储蓄计划实施过程中出现某个月钱不够用的情况，输出-X，X表示出现这种情况的第一个月；否则输出到2004年年末津津手中会有多少钱。 - 样例输入1290/230/280/200/300/170/340/50/90/80/200/60- 样例输出1-

4、7 - 样例输入2290/230/280/200/300/170/330/50/90/80/200/60 - 样例输出21580<算法分析>这是本次分区联赛当中最简单的题，算法也很简单：模拟法。每个月把津津手上的钱加上妈妈给的300元，再减去预算，得到当前手中的钱，假如这个钱的值是负数（出现亏损），那么就输出负的月数，接着算出存入的钱，并且将手中的钱减去。如此往复，直到最后按要求输出结果或者中间已经停止。可以边读边处理，也可以把每个月的收入都读入然后处理。模拟时只需要记录当钱手中的钱和已存入的钱即可。时间、空间复杂度均为常数。处理这种题目关键是要细心，不要丢了冤枉分。<程序代

5、码>program save;const inputfilename='save.in' outputfilename='save.out' maxmonth=12; monthget=300;var plan:array1.maxmonthof longint; ans:longint;procedure read_data;var i:integer;begin assign(input,inputfilename); reset(input); for i:=1 to maxmonth do readln(plani); close(input);e

6、nd;procedure proceed;var tim,now,bank:longint;begin now:=0;bank:=0; for tim:=1 to maxmonth do begin now:=now+monthget; now:=now-plantim; if now<0 then begin ans:=-tim; exit; end; bank:=bank+now div 100; now:=now mod 100; end; ans:=now+bank*120;end;procedure answer;begin assign(output,outputfilena

7、me); rewrite(output); writeln(ans); close(output);end;begin read_data; proceed; answer;end.合并果子<问题描述>     在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。     每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并

8、所耗体力之和。     因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。     例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。 - 输入文件  

9、;  输入文件fruit.in包括两行，第一行是一个整数n(1<n<=10000)，表示果子的种类数。第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai(1<ai<=20000)是第i种果子的数目。 - 输出文件    输出文件fruit.out包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于231。 - 样例输入3 1 2 9 - 样例输出15 - 数据规模对于30的数据，保证有n<=1000： 对于50的数据，保证有n<=5000； 对于全部的数据，保证有n<=1

10、0000。<算法分析>首先注意到一个很关键的地方，就是每次合并的两堆果子不一定相邻。也就是说这个问题与经典的石子归并是不同的。把初始时的每堆果子看成一个叶子节点，重量为wi，则合并后的堆相当于一棵子树。合并两棵子树相当于把这两棵子树中所有的叶子节点的深度di增加1，而最后的费用就是(wi + di)。这时我们突然发现，这就是经典的Huffman树构造问题。构造Huffman树问题当中需要执行的操作是：(1) 从一个集合中取出最小的数；(2) 插入一个数字到这个集合中。支持动态GetMin和Insert操作的数据结构，我们可以选择用堆来实现。堆是一种完全二叉树，且保证根结点的值小于等

11、于其子孙结点。具体实现方法可以参见本书的数据结构部分。于是整体算法的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。但是，有没有更好的方法呢？很显然，每次合并两个结点以后，得到的大小是严格递增的。于是我们可以维护两个队列QA与QB，QA记录叶子结点的权值wi，QB记录子树的权值。这样，每次就一定是在QA和QB的队首取数，在QA和QB的队尾删除。这样时间复杂度就降到了O(n)。因为ai <= 20000，所以排序也可以用计数排序在O(n)时间内实现，整体时间复杂度仅为O(n)。<程序代码>program fruit;const inputfilename='frui

12、t.in' outputfilename='fruit.out' maxn=30005;var n,tot,ans:longint; a:array1.maxnof longint;procedure read_data;var i:longint;begin assign(input,inputfilename); reset(input); readln(n); for i:=1 to n do read(ai); close(input);end;procedure sort(l,r:longint);var i,j:longint; x,y:longint;be

13、gin i:=l;j:=r; x:=a(l+r) shr 1; repeat while ai<x do i:=i+1; while aj>x do j:=j-1; if i<=j then begin y:=ai;ai:=aj;aj:=y; i:=i+1;j:=j-1; end; until i>j; if l<j then sort(l,j); if i<r then sort(i,r);end;procedure swap(i,j:longint);var t:longint;begin t:=ai;ai:=aj;aj:=t;end;procedure

14、 insert_node(x:longint);var i,j:longint;begin tot:=tot+1; atot:=x; i:=tot; while i>1 do begin j:=i shr 1; if ai<aj then begin swap(i,j); i:=j; end else i:=1; end;end;function delete_min:longint;var i,j:longint;begin delete_min:=a1; swap(1,tot); tot:=tot-1; i:=1; while i<=tot shr 1 do begin

15、j:=i+i; if (j<tot) and (aj+1<aj) then j:=j+1; if aj<ai then begin swap(i,j); i:=j; end else i:=tot; end;end;procedure proceed;var i,tmp:longint;begin tot:=n;ans:=0; for i:=1 to n-1 do begin tmp:=delete_min+delete_min; ans:=ans+tmp; insert_node(tmp); end;end;procedure answer;begin assign(out

16、put,outputfilename); rewrite(output); writeln(ans); close(output);end;begin read_data; sort(1,n); proceed; answer;end.合唱队形<问题描述> N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。    合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2，K，他们的身高分别为T1，T2，TK，  则他们的身高满足T1<.<Ti>Ti+1>

17、>TK(1<=i<=K)。    你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。- 输入文件    输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。- 输出文件    输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列

18、。- 样例输入8186 186 150 200 160 130 197 220- 样例输出4- 数据规模对于50的数据，保证有n<=20；对于全部的数据，保证有n<=100。<算法分析>假设已经确定了最高的人的位置P，那么问题就转化为求1-P的最长上升子序列与P-N的最长下降子序列。设lefti表示从左边开始到i结束的最长上升子序列长度，righti表示从右边开始到i结束的最长上升子序列长度。则答案即为N-maxlefti+righti-1，其中1<=i<=N并且lefti,righti>=2，这是因为最高的人不能在合唱队形的最左边或者最右边。现在关键

19、的问题转化为求lefti与righti。由于两者的意义类似，只是方向不同，因此只介绍lefti的求法。可以用动态规划求lefti，方程为lefti=maxleftj+1，其中0<=j<=i-1且Ti>Tj。边界条件为left0=0。这样的复杂度为O(N2)，在时限内出解绰绰有余。但事实上本题还有O(NlogN)的算法，请参见本书的动态规划部分。<程序代码>program chorus;const inputfilename='chorus.in' outputfilename='chorus.out' maxn=100;var n,

20、min:integer; t:array1.maxnof longint; up,down:array1.maxnof longint;procedure read_data;var i:integer;begin assign(input,inputfilename); reset(input); readln(n); for i:=1 to n do read(ti); close(input);end;procedure proceed;var i,j:integer;begin for i:=1 to n do begin upi:=1; downi:=1; end; for i:=2

21、 to n do for j:=1 to i-1 do if (upi<upj+1) and (tj<ti) then upi:=upj+1; for i:=n-1 downto 1 do for j:=i+1 to n do if (downi<downj+1) and (ti>tj) then downi:=downj+1; min:=0; for i:=1 to n do if min<upi+downi-1 then min:=upi+downi-1; min:=n-min;end;procedure answer;begin assign(output,

22、outputfilename); rewrite(output); writeln(min); close(output);end;begin read_data; proceed; answer;end.虫食算<问题描述> 所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子：       43#9865#045    +    8468#6633   &

23、#160;其中#号代表被虫子啃掉的数字。根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是5和3，第二行的数字是5。    现在，我们对问题做两个限制：    首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是N进制加法，算式中三个数都有N位，允许有前导的0。    其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是N进制的，我们就取英文字母表午的前N个大写字母来表示这个算式中的0到N-1这N个不同的数

24、字：但是这N个字母并不一定顺序地代表0到N-1)。输入数据保证N个字母分别至少出现一次。            BADC       +    CRDA            DCCC    上面的算式是一个4进制的算式

25、。很显然，我们只要让ABCD分别代表0123，便可以让这个式子成立了。你的任务是，对于给定的N进制加法算式，求出N个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解，- 输入文件    输入文件alpha.in包含4行。第一行有一个正整数N(N<=26)，后面的3行每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格，从高位到低位，并且恰好有N位。- 输出文件    输出文件alpha.out包含一行。在这一行中，应当包含唯一的那组解。解是这样表示的

26、：输出N个数字，分别表示A，B，C所代表的数字，相邻的两个数字用一个空格隔开，不能有多余的空格。- 样例输入5ABCEDBDACEEBBAA- 样例输出1 0 3 4 2- 数据规模对于30的数据，保证有N<10；对于50的数据，保证有N<15；对于全部的数据，保证有N<=26。<算法分析> 显然这是一道求可行解的搜索题。对于这种题，卡点是没有任何意义的，因为找不到解的话肯定会输出错误结果。最单纯的搜索即是枚举数字与字母直接的对应关系。由组合数学知识知时间复杂度为O(n!*n)，严重超时，需要优化。我们知道计算机是很“笨”的，它不会思考，在盲目搜索的过程中，很容易

27、出现这种情况：计算机在某一位搜索出了一个算式1 + 1 = 3，并且继续搜索。人眼很容易就看出这是不合法的，但计算机不会。于是，我们想到了第一个剪枝：每次搜索的时候，从最后向前判断是否有不合法的式子。这一个剪枝非常简单，但是效果却非常的好。为了配合这一种剪枝更好的实行，搜索顺序的改变也成为大大提高程序效率的关键：从右往左，按照字母出现顺序搜索，有很大程度上提高了先剪掉废枝的情况，使程序的效率得到大大的提高。有了以上两个剪枝，程序就已经可以通过大部分测试点了。但是有没有更多的剪枝呢？答案是肯定的。根据前面的剪枝，我们可以找到类似的几个剪枝：对于a + b = c的形式，假如：A*?*+ B*?*

28、?*C*?*其中*代表已知，?代表未知。那么，A + B与C的情况并不能直接确定。但是，假如(A + B) mod N与(A + B + 1) mod N都不等于C的话，那么这个等式一定是不合法的。因为它只有进位和不进位的两种情况。同样，我们在一个数组里记录了Usedi表示一个数字有没有用过，那么，对于某一位A + B = C的等式，如果已经得到了两个数，另一个数还待搜索的时候，我们还可以根据这个加入一个剪枝：例如A + ? = C的形式，考虑不进位的情况，则?处为P1 = (C - A + N) mod N假如考虑进位的情况，则?处为P2 = (C - A - 1 + N) mod N假如P

29、1、P2均被使用过，那么这个搜索一定是无效的，可以剪去。有了以上的剪枝，就可以很轻松地通过所有的测试数据了。当然，还有很多值得思考的剪枝以及其他的思路，例如枚举进位、解方程（但是可能需要枚举）等，在这里就不详细讨论了。<程序代码> program alpha;const inputfilename='alpha.in' outputfilename='alpha.out' maxn=26;var n:integer; b:array1.3,1.maxnof integer; d:array1.maxnof integer; used:array0.m

30、axnof boolean;procedure read_(var x:integer);var c:char;begin read(c); x:=ord(c)-ord('A')+1;end;procedure read_data;var i,j:integer;begin assign(input,inputfilename); reset(input); readln(n); for i:=1 to 3 do begin for j:=1 to n do read_(bij); readln; end; close(input);end;procedure answer;var i:integer;begin assign(output,outputfilename); rewrite(output); for i:=1 to n-1 do write(di,' '); writeln(dn); close(output); halt;end;function div_(x:integer)