10-分析动力学9-Kane方法

1、2021年12月19日Page 1清华大学航天航空学院清华大学航天航空学院王天舒（王天舒（）分析动力学分析动力学之之KaneKane方程方程2021年12月19日Page 2本节内容本节内容建立动力学方程的方法：建立动力学方程的方法：牛顿欧拉方法牛顿欧拉方法：方程简单，但需考虑约束力：方程简单，但需考虑约束力是否有类似于牛顿方法的最少变量方法？是否有类似于牛顿方法的最少变量方法？第二类拉氏方程第二类拉氏方程：不考虑约束力，只用到速度，要求导：不考虑约束力，只用到速度，要求导第一类拉氏方程第一类拉氏方程：可处理非完整约束，引入代数方程：可处理非完整约束，引入代数方程Apell方程方程：引入伪速度

2、，需计算加速度：引入伪速度，需计算加速度如何取得最少变量：如何取得最少变量：笛卡尔坐标笛卡尔坐标广义坐标广义坐标广义速度广义速度伪速度伪速度如何建立方程如何建立方程2021年12月19日Page 3偏速度：质点系偏速度：质点系由由N N个质点组成的系统，有个质点组成的系统，有f= =3N-r- -s个自由度个自由度，广义速度：，广义速度：12(, )iilq qq trr1kliiikkqqtrrr伪伪速度：速度：01(1,2,)fjjvjvvuqhhjl( )(0)1fviivivurvv广广义义速速率率偏偏速速度度广义速率本质上为伪速度，广义速率本质上为伪速度，标量标量偏速度的作用是赋予广

3、义速率以偏速度的作用是赋予广义速率以方向性，方向性，矢量矢量。伪速度可以看成是真实速度在偏伪速度可以看成是真实速度在偏速度上的投影速度上的投影。2021年12月19日Page 4质点系的质点系的KaneKane方程方程质点质点速度的变分可以表示为：速度的变分可以表示为：( )1fviivvurv1()0Nii iiimFrr虚功率原理：虚功率原理：定义广义主动力：定义广义主动力：( )1NvviiiFF v定义广义惯性力：定义广义惯性力：*( )1()Nvvi iiim Frv*0 (1,2,)vvvfFFKane方程：方程：各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为各广义速率所对应的广义

4、主动力和广义惯性力之和为0 0将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。2021年12月19日Page 5牛顿方法牛顿方法虚功率原理虚功率原理变量变量(坐标坐标)：Tiiiixyzrijk基本方程基本方程：0ii iimFrNKane方法方法1()0Nii iiimFrr独立变量独立变量(伪速度伪速度)基本方程基本方程：消去约束力，减少变量数消去约束力，减少变量数速度变分不一定独立速度变分不一定独立( )(0)1fviivivurvv( )( )11()0NNvviii iiiimF vrv其中其中：( )viivurv方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？方程

5、是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？ 质点系质点系KaneKane方程的基本思路方程的基本思路2021年12月19日Page 6例例1 1：质点系的质点系的KaneKane方程方程xxyABOgmAgmB广义速率：广义速率：12;ux u 质点的速度为：质点的速度为：112(cossin)ABuuluririij偏速度：偏速度：(1)(2)(1)(2);0;(cossin)AABBlvi vvi vij主动力：主动力：0;ABBm g FFj广义主动力：广义主动力：(1)(1)10ABBAFFvFv(2)(2)2(cossin)ABBBAm gl FFvFvjijsinBm lg ( )(0)

6、1fviivivurvv2021年12月19日Page 7惯性力：惯性力：*1AAAm xm u Fii广义惯性力：广义惯性力：*(1)*(1)1ABBAFFvFv2BAnllrree22( cossin )(sincos )xlliijij(1)(2)(1)(2);0;(cossin)AABBlvi vvi vij22( cossin )(sincos )ABm xmxll i iiijiji22(cossin )ABBm xm xm ll 10F22()(cossin )0ABBmmxm ll例例1 1：质点系的质点系的KaneKane方程方程2021年12月19日Page 8*(2)(2

7、)2ABBAFFvFv220( cossin )(sincos )(cossin)ABm xmxlll iiijijij2cosBBm lm l (1)(2)(1)(2);0;(cossin)AABBlvi vvi vij2sinBm g F2cossin0BBBm lm lm g22()(cossin )0ABBmmxm ll例例1 1：质点系的质点系的KaneKane方程方程2021年12月19日Page 9偏速度：刚体偏速度：刚体设刚体设刚体B上的上的P1,P2,PN点处分别作用有主动力点处分别作用有主动力F1,F2,FN。取刚体的上的取刚体的上的O点为基点，取伪速度为点为基点，取伪速度

8、为u1,u2,uf。 设刚体基点设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是：的速度、角速度与伪速度的关系是： ( )(0)1froovovuvvv( )(0)1frvvu偏角速度偏角速度偏速度偏速度刚体上的任意一点刚体上的任意一点P的速度为的速度为poopvv( )( )( )vvvpoopvv( )(0)( )(0)11ffvvpovovvvuuopvvv( )( )(0)(0)1fvvpovovop uopvvvP点的点的偏速度偏速度为为刚体上任一点刚体上任一点的的偏速度偏速度可以可以表示为基点的表示为基点的偏速度的函数偏速度的函数2021年12月19日Page 10( )1NvviiiF

9、F v广义主动力广义主动力为为: :( )( )vvvooFF vL( )( )11NNvvvioiiiiopFFvF( )( )( )rrrpioiopvv( )( )11()NNvvvioiiiiopFF vF()()V ab cabc利用体积公式利用体积公式F是外力的主矢量Lo是外力的主矩刚体的广义主动力刚体的广义主动力2021年12月19日Page 11刚体的广义惯性力刚体的广义惯性力广义惯性力广义惯性力为为: :*( )dvvPpBm Favpoopop aa *( )( )dvvvooBopopop m Fav( )dvooBopopm av ( )dvoBopopop m a令令

10、( )( )( )vvvpoopvv2021年12月19日Page 12刚体的广义惯性力刚体的广义惯性力( )( )3dvvooBopmMoc vv( )( )( )1ddvvvooooooBBmmMa vava v( )( )2( )( )dd dvvooBBvvooBopmopmop mMoc vvvv( )dvooBopopm av( )123( ) voovCoMococvMv aa2021年12月19日Page 13 ( )( )2dvvOBopopm J ( )dvoBopopopm a( )( )1( )( )dd dvvooBBvvooBopmopmop mMoc aaaa(

11、)3vOJ123( ) voOOoocM aJJ刚体的广义惯性力刚体的广义惯性力2021年12月19日Page 14*( )( )rvvCooOOoMvoc M FaaJ J广义惯性力广义惯性力为：为：当当O与质心与质心C重合时，重合时，*( )( )vvvCoCCoMv FaJ J因此因此KaneKane方程为：方程为：*( )( )0rrFF*( )*( )vvvoooF vFL ( )( )vvvooFR vL为了与广义主动力形式一样为了与广义主动力形式一样广义惯性力写为广义惯性力写为刚体的刚体的KaneKane方程方程2021年12月19日Page 15牛顿欧拉方法牛顿欧拉方法变量变量

12、(坐标坐标)：,ov 基本方程基本方程：omRvSSoOOSLvJJ随体坐标系原点取在质心上随体坐标系原点取在质心上：CCmvRCCCJJL虚功率原理虚功率原理()()0iCcCCCmRvvLJJKane方法方法独立变量独立变量(伪速度伪速度)( )(0)1fvCCvCvuvvv( )01fvvvu( )( )( )( )0vvvvCCCCCCmvR vL vJ JKane方法的方法的解题步骤：解题步骤：广义坐标广义坐标 伪速度伪速度加速度加速度 广义力广义力刚体刚体KaneKane方程的基本思路方程的基本思路2021年12月19日Page 16例例2 2：刚体定点转动：刚体定点转动解：设解：

13、设OXYZ为参考坐标系，为参考坐标系，oxyz为固连的主轴坐标系。为固连的主轴坐标系。OAJBC设外力对设外力对O点的力矩为点的力矩为LO。oxyzXYZ以欧拉角为广义坐标。以欧拉角为广义坐标。设转动惯量矩阵为设转动惯量矩阵为刚体的角速度：刚体的角速度： 123, , xyzuuuxyzijk伪速度选为：伪速度选为：（这样选伪速度保证了广义速度的（这样选伪速度保证了广义速度的反解反解存在存在）角速度用伪速度表示为：角速度用伪速度表示为：123uuuijk(1)(2)(3)ijk因此，可以因此，可以“看出看出”偏角速度为：偏角速度为：2021年12月19日Page 17刚体的角加速度：刚体的角加

14、速度： 123uuuijkddddddttt 在动系在动系oxyz中求导：中求导：123uuuijk角加速度用广义速度表示会复杂得多：角加速度用广义速度表示会复杂得多：cossincossincossinsinzyx角加速度在动系和惯性系中是一样的。角加速度在动系和惯性系中是一样的。根据定义，根据定义，广义主动力广义主动力为：为： 123xyzFLFLFL( )( )( )vvvvoooFF vLLoxyzLLLLijk(1)(2)(3)ijk由于由于因此因此例例2 2：刚体定点转动：刚体定点转动2021年12月19日Page 18例例2 2：刚体定点转动：刚体定点转动广义惯性力广义惯性力为：

15、为： *( )()vvooJJ F以以r1 1为例进行计算：为例进行计算：1122331AAuBuBuCuCuu 321231213213122300()0()(uuAuuuBuAC u uuuCCB u uuBA u u (1)i*1123()AuCB u u F因此得到因此得到*(2)23 1()FBuAC u u *(3)312()FCuBA u u 类似求出类似求出123213312()()()xyzAuCB u uLBuAC u uLCuBA u uL代入代入KaneKane方方程，得到程，得到这正是描述刚体运动这正是描述刚体运动的欧拉方程的欧拉方程2021年12月19日Page 1

16、9为什么会这样？为什么会这样？*( )()vvooJJ F( )( )( )vvvvoooFF vLL*( )( )0rrFF( )()0rOOOJJ L()OOOJJ L这的确是欧拉动力学方程。这可作为这的确是欧拉动力学方程。这可作为特例检验特例检验KaneKane方程是否正确。方程是否正确。向向i, j, k方向投影方向投影如果一个矢量向如果一个矢量向i, j, k方向投影都为零，方向投影都为零，则该矢量为零则该矢量为零。例例2 2：刚体定点转动：刚体定点转动2021年12月19日Page 20例例3 3：非完整系统：非完整系统两自由度系统两自由度系统定义广义速率：定义广义速率：121 1

17、2 2CAvluuveeee质心的速度：质心的速度：( )(0)1fviivivurvv12Auvul角速度：角速度：233ulee偏速度和偏偏速度和偏角速度：角速度：(1)(2)12(1)(2)3;0;CClve vee质心的加速度：质心的加速度：1 1112 222CCduuuudtvae ee e221 21122()()uuuuullee角加速度：角加速度：23uleOxyvACAe1e22021年12月19日Page 21*( )( )vvvCoCCoMv FaJJ( )( )vvvooFF vL外力垂直于伪速度：外力垂直于伪速度：120;0FFOxyvACAe1e2广义惯性力：广义

18、惯性力：22*2211111()()uum um ull Fe e*1222222332()Cu uum uJll Feeee221221()CJmlumlu ul 21221AJ umlu ul 系统方程：系统方程：22121200AuulJ umlu u(1)(2)12(1)(2)3;0;CClve vee221 21122()()Cuuuuullaee23ule或：或：200AAAulJmlv例例3 3：非完整系统：非完整系统2021年12月19日Page 22例例4 4：复杂平面问题：复杂平面问题q1 1q2 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP圆盘在平面上运动，质量为圆盘在平

19、面上运动，质量为M，对，对质心的转动惯量为质心的转动惯量为JC。其上有光滑。其上有光滑小槽，一小球通过弹簧可作相对直小槽，一小球通过弹簧可作相对直线运动。小球质量为线运动。小球质量为m，弹簧系数，弹簧系数为为k，原长为，原长为l0。为方便设圆盘质心。为方便设圆盘质心C在小槽中。试建立系统运动微分在小槽中。试建立系统运动微分方程。方程。解：建立坐标系。选广义坐标解：建立坐标系。选广义坐标q1,q2,q3,q4。121323113232=(cossin)(sincos)Cqqqqqqqqqq ijee运动分析运动分析121221CqAq3 3qe4 1rqe4 113234113233 42 (

20、cossin)(sincos)PCrqqqqqqqqqqq q eee2021年12月19日Page 23例例4 4：复杂平面问题：复杂平面问题q1 1q2 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP选选伪伪速速度度11323213233344cossinsincosuqqqquqqqququq 反解存在反解存在112122uqAuq111222quAqu则1122334 11412432()()CrPuuuuuuuq ueeeeee求偏速度求偏速度( )12( )3( )1( )12421123400000000vCvvrvPvqeeeeeeee2021年12月19日Page 24例例4

21、4：复杂平面问题：复杂平面问题设系统所受力、力矩为：设系统所受力、力矩为：1 122FFRee3CCLLe401()Pk ql Fe弹簧力是内力，如弹簧力是内力，如何处理？何处理？()( )vvPrvvCCFFR L11223440()CFFLk ql FFFF广义主动力为：广义主动力为：q1 1q2 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP( )12( )3( )1( )12421123400000000vCvvrvPvqeeeeeeee( )1NvviiiFF v2021年12月19日Page 25例例4 4：复杂平面问题：复杂平面问题*( )*( )*( )vvvvCCPPFRLF广

22、义惯性力力为：广义惯性力力为：*CM Ra*( )1()Nvvi iiim Frvq1 1q2 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP*()CCCC LJJJ*PPm Fa12 312132()()Cuu uuuuaee3 3u e2142 34 3124 33 41 32()(2)Puuu uq uuq uu uuuaee( )12( )3( )1( )12421123400000000vCvvrvPvqeeeeeeee*21123443*22134334*3342433413*24142343()()()()()(2)(2)()CMm uu um uq uMm uu um q uu

23、uJ umq uq uu uu um uuu uq u FFFF2021年12月19日Page 26例例4 4：复杂平面问题：复杂平面问题如何检验方程是否正确？如何检验方程是否正确？212 344 3121 34 33 423424 33 41 32142 34 340()()()()()(2)(2)()()CCMm uu um uq uFMm uuum q uu uFJ umq uq uu uuuLm uuu uq uk ql首先对方程进行量纲检查。首先对方程进行量纲检查。e1 1方向动量定理方向动量定理动量矩定理动量矩定理相对运动方程相对运动方程e2 2方向动量定理方向动量定理q1 1q2

24、 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP其次考察方程的物理意义其次考察方程的物理意义。11323213233344cossinsincosuqqqquqqqququq 2021年12月19日Page 27例例4 4：复杂平面问题：复杂平面问题12312132332142343124334132()()()(2)CPuu uuu uuuuu uq uuq uu uu uaeeeaee质心运动定理质心运动定理CpMmaaR10PPmaN Fe11rPekmmma eN Faae非惯性系中的相对运动方程非惯性系中的相对运动方程达朗贝尔原理达朗贝尔原理等价等价212 344 3121 34 33

25、 423424 33 41 32142 34 340()()()()()(2)(2)()()CCMm uu um uq uFMm uuum q uu uFJ umq uq uu uuuLm uuu uq uk ql2021年12月19日Page 28例例4 4：复杂平面问题：复杂平面问题q1 1q2 2q3 3q4 4Oe1 1e2 2ijCP2142343124334132() (2)Puuu uq uuq uu uu uaeemap2 2map1 13240CCpLJ qmaqP点惯性力对点惯性力对C点的力矩点的力矩圆盘对圆盘对C点的惯性力矩点的惯性力矩212 344 3121 34 33

26、 423424 33 41 32142 34 340()()()()()(2)(2)()()CCMm uu um uq uFMm uuum q uu uFJ umq uq uu uuuLm uuu uq uk ql2021年12月19日Page 29例例4 4：复杂平面问题：复杂平面问题根据方程的物理意义，可能容易发现根据方程的物理意义，可能容易发现（用红色表示的）错误（用红色表示的）错误2123443121343344021423234214234343()()()()()()()(2)()0CCk qluuu uqMm uu um uq uFMm uu um q uu uFJ umqLm

27、uuu uquu（1）以系统为研究对象时，弹簧力）以系统为研究对象时，弹簧力k(q4- -l0)是内力，在动量定理是内力，在动量定理中不应出现。中不应出现。（2）在）在e2方向上应用动量定理，方向上应用动量定理， 运动及外力均沿坐标正方向。运动及外力均沿坐标正方向。（3）P点惯性力对点惯性力对C点取矩时，不应出现径向分量。点取矩时，不应出现径向分量。（4）研究）研究P点相对运动时，弹簧力是外力要出现。点相对运动时，弹簧力是外力要出现。2021年12月19日Page 30例例4 4：复杂平面问题：复杂平面问题退化检查退化检查。212 344 3121 34 33 423424 33 41 32142 34 340()()()()()(2)(2)()()CCMm uu um uq uFMm uuum q uu uFJ umq uq uu uuuLm uuu uq uk ql第第1 1种情况，假设圆盘不动，只有小球相对运动种情况，假设圆盘不动，只有小球相对运动12340, 0uuuu主动力作用在主动力作用