平面与平面之间地位置关系(附问题详解)

1、平面与平面之间的位置关系学习目标1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示2了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.=如识梳理自主学习知识点一直线与平面的位置关系1. 直线与平面的位置关系宀护¥方 位置大糸定义图形语言付号语言直线在平面有无数个公共点a? a直线与平面相交有且只有一个公共点A7a A a= A直线与平面平行没有公共点口a / a2. 直线与平面的位置关系的分类(1)按公共点个数分类直线和平面相交有且只有一个公共点有无公共点直线在平面内有无数个公共点无公共点一一直线和平面平行(2)按直线是否在平面分类直线在平面内 所有点在平面

2、内直线与平面相交 直线在平面外直线与平面平行思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?答不是前者包括直线与平面平行及直线在平面这两种情况；而后者仅指直线与平面平行 知识点二两个平面的位置关系宀护¥方 位置大糸图形表示付号表示公共点平面a与平面卩平行/ /A_/a / 3没有公共点平面a与平面卩相交ITaCl 3= l有一条公共直线思考分别位于两个平行平面的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面尸題型探究 重点突破题型一直线与平面的位置关系例1 下列命题中，正确命题的个数是（） 如果a, b是两条直线，a/b，那么a平行于经

3、过b的任何一个平面; 如果直线a和平面a满足a /a,那么a与平面a的任何一条直线平行； 如果直线a, b满足a / a, b /a,那么a /b; 如果平面a的同侧有两点 A, B到平面a的距离相等，那么 AB /a.A. 0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体 ABCD A'B'C'D '中,BC?平面 B 'C,1 AA ' 与A D '相AA ' BB',AA '却在过BB'的平面AB故命题不正确；AA '/平面B'C, 但AA '不平行于BC,故命题不正确； AA

4、'/平面B'C, A D '/平面B'C,a,贝V a / a；a/b 其中正确0,那么这两个跟踪训练1 以下命题（其中a, b表示直线，a表示平面），若a/b , b?若 a / a, b / a,则 a /b；若 a /b, b / a,则 a / a；若 a / a, b? a,则 命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3答案 A解析 如图所示在长方体 ABCD A'B'C'D '中AB /CD ,AB?平面ABCD , 但CD?平面ABCD，故错误；A'B' /平面BCD , B'C' /平

5、面XBCD，但A'B'与B'C'相交，故错误；AB /A'B',A'B' /平面KBCD，但 AB?平面 ABCD，故错误；A B ' /平面BCD , BC?平面ABCD，但A B' 与BC异面，故错误 题型二平面与平面的位置关系例2 以下四个命题中，正确的命题有 （） 在平面a有两条直线和平面 卩平行，那么这两个平面平行； 在平面a有无数条直线和平面卩平行，那么这两个平面平行； 平面aABC的三个顶点在平面卩的同一侧面且到平面卩的距离相等且不为 平面平行； 平面a两条相交直线和平面 卩两条相交直线分别平行，那么

6、这两个平面平行答案 A解析 当两个平面相交时，一个平面有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以错误跟踪训练2 两平面a,卩平行，a? a,下列四个命题： a与供勺所有直线平行；a与卩无数条直线平行；直线a与卩任何一条直线都不垂直； a与段有公共点.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案 B解析 错误，a不是与喲所有直线平行，而是与 p的无数条直线平行，有一些是异面；正确；错误，直线 a与卩无数条直线垂直；根据定义，a与卩没有公共点，正确数学思損分类讨论思想例3 在体ABCD AiBiCiDi中，点Q是棱DDi上的动点，判断过 A, Q , Bi三点的截面 图形的形状分析

7、决定过A, Q, Bi三点的截面图形的形状的因素是动点Q,所以要对点 Q的位置进行分类讨论解 由于点Q是线段DDi上的动点，故当点 Q与点Di重合时，截面图形为等边三角形ABiDi，如图: 当点Q与点D重合时，截面图形为矩形 ABiCiD，如图: 当点Q不与点D, Di重合时，截面图形为等腰梯形AQRBi，如图:CiB-打A当堂检测自杳自纠1. 如果直线a/平面a那么直线a与平面a的（）A.条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2. 下列命题中，正确的命题是 （）A. 若直线a上有无数个点不在平面 a则a / aB. 若a/a,则直线a与平面a任意一条直线都平

8、行C. 若a? a,则a与a有无数个公共点D. 若a? a,则a与a没有公共点3. 下列命题中，正确的有（）平行于同一条 平行于同一直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两条直线平行;直线的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行4. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（）A.都平行B.都相交C.在两个平面D.至少与其中一个平面平行5. 下列命题： 两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； 若I, m是异面直线，I /a, m /卩，则a /卩.其中错误命题的序号为.课时精练一、选择题1. 若a, b是异面直线，且 a/平面a则b与a的位置关系是（）A.b / aB.

9、相交C.b? aD.b? a相交或平行2. 与同一平面平行的两条直线 （）A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3. 若直线a不平行于平面 a则下列结论成立的是（）A. a的所有直线均与a异面B. a不存在与a平行的直线C. a的直线均与a相交D.直线a与平面a有公共点4. 以下四个命题： 三个平面最多可以把空间分成八部分； 若直线a?平面a,直线b?平面卩，则“ a与b相交”与“ a与湘交”等价; 若an 3= I,直线a?平面a ,直线b?平面卩,且anb = P,则P I； 若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是（）5. 过平面外一条直线作平面的平行平面（）A.必定可以

10、并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.定不能作6. 下列命题正确的是（） 两个平面平行，这两个平面的直线都平行； 两个平面平行，其中一个平面任何一条直线都平行于另一平面； 两个平面平行，其中一个平面一条直线和另一个平面的无数条直线平行； 两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交A. B. C. D.7. 在长方体 ABCDAiBiCiDi的六个表面与六个对角面 （面AAiCiC、面ABC 1D1、面ADC 1 Bi、面BBiDiD、面Ai BCDi及面AiBiCD）所在的平面中， 与棱AAi平行的平面共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8. 如果空间的三

11、个平面两两相交，则下列判断正确的是 填序号）.不可能只有两条交线；必相交于一点； 必相交于一条直线；必相交于三条平行线.9. 下列命题正确的是.如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面的无数条直线垂直；若直线a与平面a和平面3都平行，那么all 3；若两个平面 all卩，a? a, b?卩，则a与b 一定不相交； 若两个平面aA3= b, a? a,则a与3 定相交.10. 给出下列几个说法： 过一点有且只有一条直线与已知直线平行; 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行; 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行其中正确有个.三、解答题11.如图

12、，平面a、氏丫满足a / 3, aCl 丫= a , 与卩的关系并证明你的结论越丫= b，判断a与b、a12.如图，已知平面aC 3= I，点 A a,点 B a,点 C 卩，且 A?l,B? I,直线AB与I不平行，那么平面 ABC与平面3的交线与I有什么关系？证明你的结论当堂检测答案1. 答案 D解析 直线a /平面a则a与a无公共点，与a的直线当然均无公共点.2. 答案 C解析 对于A，直线a与平面a有可能相交，所以 A错；对于B，平面a的直线和直线a可 能平行，也可能异面，所以 B错；对于D，因为直线a与平面a可能相交，此时有一个公共 点，所以D错.3. 答案 B解析 中，也有可能是相

13、交或异面，故错误；中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面的直线，故错误4. 答案 D解析 这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行5. 答案解析 对于，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故错误；对于，借助于体 ABCD AiBiCiDi , AB/ 平面 DCC1D1, Bi Ci / 平面 AAiDiD，又 AB 与 BiCi 异 面，而平面 DCCiDi与平面AAiDiD相交，故错误课时精练答案一、选择题i. 答案 D解析如图所示，选D.2. 答案 D解析 与同一平面平行的两条直

14、线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面3. 答案 D解析 若直线a不平行平面 a则ana=A或a? a故D项正确4. 答案 D解析 对于，正确；对于，逆推“ a与 湘交”推不出“ a与b相交”,也可能a lib ；对 于，正确；对于，反例：体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故错.所以正确的是.5. 答案 C解析 因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平 面.6. 答案 B解析 不正确，因为这两条直线可能是异面；都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模

15、型进行判断7. 答案 B解析 如图所示，结合图形可知 AAi l平面BBiCiC,AAi /平面DDiCiC,AAi/平面BBiDiD.二、填空题8. 答案解析 空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线， 也可能有三条交线， 这三条交线可能交于一点.9. 答案解析 对于，如图，.命题正确；对于， a、曲可能相交，不正确；对于，若a与b相交，则a与 湘交与条件矛盾，正确；对于，当a与b重合时，a在卩；当a /b时，a /卩；当a与b相交时,10. 答案 1解析 当点在已知直线上时， 不存在过该点的直线与已知直线平行，故错误；由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故错误；过棱柱的上底面的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故错误；过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故 正确.三、解答题11. 解 a /b, a/卩证明如下：由 a Q y= a 知 a? a且 a? y，由卩Ci y= b知b ?卩且b ? y,T a / 卩，a? a, b?卩，a、b无公共点.又ta? y且 b? y,a /b.Ta/ (3, - a与卩无